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2018-2019学年福建省漳州市台商投资区八年级（下）期中数学
试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（4分）若等腰三角形的顶角为 ，则它的底角度数为
A． B． C． D．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．（4分）不等式 的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
4．（4分）如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
的是
A． B． C． D．
5．（4分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点 的对应
点 的坐标是A． B． C． D．
6．（4分）如图所示，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于 ，
交 于 ，连接 ，则 的度数是
A． B． C． D．
7．（4分）下列说法中，错误的是
A．不等式 的解集是
B．不等于 的正数解有有限个
C． 不是不等式 的解
D．若 ，则
8．（4分）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金
不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
9．（4分）如图，直线 经过点 和点 ，直线 过点 ，则不
等式 的解集为
A． B． C． D．
10．（4分）如图， 中， ， ， ，且 在直线 上，将 绕点 顺时针旋转到 位置①，可得到点 ，此时 ；将位置①的三角形绕
点 顺时针旋转到位置②，可得到点 ，此时 ；将位置②的三角形绕点 顺
时针旋转到位置③，可得到点 ，此时 ； 按此规律继续旋转，直到点
为止，则 等于
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分） 与3的和是负数，用不等式表示为 ．
12．（4分）用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于 时，假设“ ”，则与
“ ”矛盾，所以原命题正确．
13．（4分）如图， 是 内一点，且点 到 ， 的距离 ， 相等，则
的依据是 ．
14．（4分）如图，在 中， ，点 为 边的中点， 于 ，
若 ，则 的长为 ．
15．（4分）如图所示，在 中， ，在同一平面内，将绕 点逆时针旋转到△ 的位置，使 ，则 ．
16．（4分）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
三、解答题（共86分）
17．（12分）解不等式：
（1） ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式 的正整数解．
18．（8分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
19．（8分）如图，已知 中， ， 为 上一点， 求证：
．请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
证明：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ．
， ．
，（已知）
又 ， ，
．20．（6分）如图，在钝角 中，过钝角顶点 作 交 于点 ．请用尺规
作图法在 边上求作一点 ，使得点 到 的距离等于 的长．（保留作图痕迹，
不写作法）
21．（8分） 在平面直角坐标系 中的位置如图所示．
（1）作 关于点 成中心对称的△ ．
（2）将△ 向右平移4个单位，作出平移后的△ ．
（3）在 轴上求作一点 ，使 的值最小，并写出点 的坐标（不写解
答过程，直接写出结果）
22．（10 分）如图 1 、图 2 ， ， 均是等腰直角三角形，，
（1） 在图 1 中， 与 相等吗？请说明理由；
（2） 若 绕点 顺时针旋转一定角度后， 到达图 2 的位置， 请问
与 还相等吗？为什么？
23．（10分）定义运算 ， ：当 时， ， ；当 时， ，
；如： ， ； ， ； ， ．根据该定义运算完
成下列问题：
（1） ， ，当 时， ， ；
（2）若 ， ，求 的取值范围；
（ 3 ） 如 图 ， 已 知 直 线 与 相 交 于 点 ， 若 ，
，结合图象，直接写出 的取值范围是 ．
24．（12分）市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买 ， 两种风景树共900棵．
， 两种树的相关信息如下表：
品种 项目 单价（元 成活率
棵）
80
100
若购买 种树 棵，购树所需的总费用为 元．
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）若购树的总费用不超过82 000元，则购 种树不少于多少棵？（3）若希望这批树的成活率不低于 ，且使购树的总费用最低，应选购 ， 两种树
各多少棵？此时最低费用为多少？
25．（12分）如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动
不与 、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于 ．
（1）当 时， ， ；点 从 向 运动时，
逐渐变 （填“大”或“小” ；
（2）当 等于多少时， ，请说明理由；
（3）在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出
的度数．若不可以，请说明理由．2018-2019 学年福建省漳州市台商投资区八年级（下）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（4分）若等腰三角形的顶角为 ，则它的底角度数为
A． B． C． D．
【考点】 ：等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是 ，
所以其底角为 ．
故选： ．
【点评】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三
角形的两个底角相等．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】 ：轴对称图形； ：中心对称图形
【分析】根据 把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解： 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选： ．【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是掌握轴对称和中心对称图形
的概念．
3．（4分）不等式 的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
【考点】 ：在数轴上表示不等式的解集； ：解一元一次不等式
【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
，
故选： ．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来 ，
向右画； ， 向左画），注意在表示解集时“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“
”，“ ”要用空心圆点表示．
4．（4分）如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
的是
A． B． C． D．
【考点】 ：全等三角形的判定
【分析】要判定 ，已知 ， 是公共边，具备了两组边对应相等，
故添加 、 、 后可分别根据 、 、 能
判定 ，而添加 后则不能．【解答】解： 、添加 ，根据 ，能判定 ，故 选项不符合题
意；
、添加 ，根据 ，能判定 ，故 选项不符合题意；
、添加 时，不能判定 ，故 选项符合题意；
、添加 ，根据 ，能判定 ，故 选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、
、 、 、 ．
注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，
若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（4分）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点 的对应
点 的坐标是
A． B． C． D．
【考点】 ：坐标与图形变化 平移
【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问
题；
【解答】解：由题意 ，向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点 的对应点
的坐标是 ，
故选： ．
【点评】本题考查坐标与平移，解题的关键是记住平移规律：横坐标，右移加，左移减；
纵坐标，上移加，属于中考常考题型．
6．（4分）如图所示，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于 ，
交 于 ，连接 ，则 的度数是A． B． C． D．
【考点】 ：等腰三角形的性质； ：线段垂直平分线的性质
【分析】先根据 中， ， 求出 的度数，再根据线段垂直平分
线的性质可求出 ，即 即可解答．
【解答】解： 等腰 中， ， ，
，
是线段 垂直平分线的交点，
， ，
．
故选： ．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平
分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
7．（4分）下列说法中，错误的是
A．不等式 的解集是
B．不等于 的正数解有有限个
C． 不是不等式 的解
D．若 ，则
【考点】 ：不等式的性质； ：不等式的解集
【分析】根据不等式的解集，不等式的解的定义可判断出 、 、 的正误，根据不等式
的性质可得到 的正误．
【解答】解： 、不等式 的解集是 正确；
、不等式 的正数解有有限个错误，应为无限个；
、不等式 的解集为 ，故 不是不等式 的解正确；
、若 ，则 ，所以 ，即 正确；
故选： ．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，和解的定义 ，以及不等式的性质，题目比较基础，关键是熟记不等式的性质，注意在不等式两边同时除以或乘以同一个负数时要改变
不等号的方向．
8．（4分）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金
不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
【考点】 ：一元一次不等式的应用
【分析】设买篮球 个，则买足球 个，根据购买足球和篮球的总费用不超过3000
元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：设买篮球 个，则买足球 个，根据题意得：
，
解得： ，
为整数，
最大取16，
最多可以买16个篮球．
故选： ．
【点评】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立不等式的
不等关系是解答本题的关键．
9．（4分）如图，直线 经过点 和点 ，直线 过点 ，则不
等式 的解集为
A． B． C． D．
【考点】 ：一次函数与一元一次不等式
【分析】根据不等式 体现的几何意义得到：直线 上，点在点 与
点 之间的横坐标的范围．
【解答】解：不等式 体现的几何意义就是直线 上，位于直线上方， 轴下方的那部分点，
显然，这些点在点 与点 之间．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组 的关系及数形结合思想的应用．解决此类问
题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
10．（4分）如图， 中， ， ， ，且 在直线 上，
将 绕点 顺时针旋转到 位置①，可得到点 ，此时 ；将位置①的三角形绕
点 顺时针旋转到位置②，可得到点 ，此时 ；将位置②的三角形绕点 顺
时针旋转到位置③，可得到点 ，此时 ； 按此规律继续旋转，直到点
为止，则 等于
A． B． C． D．
【考点】 ：含30度角的直角三角形；38：规律型：图形的变化类； ：旋转的性质
【分析】仔细审题，发现将 绕点 顺时针旋转，每旋转一次， 的长度依次增
加2， ，1，且三次一循环，按此规律即可求解．
【解答】解： ， ， ，
， ，
将 绕点 顺时针旋转到①，可得到点 ，此时 ，
将位置①的三角形绕点 顺时针旋转到位置②可得到点 ，此时 ，
将位置②的三角形绕点 顺时针旋转到位置③，可得到点 ，此时 ，，
，
故选： ．
【点评】本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到 的长度依次增加2， ，
1，且三次一循环是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分） 与3的和是负数，用不等式表示为 ．
【考点】 ：由实际问题抽象出一元一次不等式
【分析】理解： 与3的和，即 ；负数，即小于0．
【解答】解：根据题意，得 ．
故答案是： ．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准关键字，把文字语言转换为数学
语言．
12．（4分）用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于 时，假设“ 三角形的三个
内角都小于 ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．
【考点】 ：反证法
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于 时，假设“三角形的三个
内角都小于 ”，则与“三角形的内角和是 ”矛盾，所以原命题正确．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情
况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．（4分）如图， 是 内一点，且点 到 ， 的距离 ， 相等，则
的依据是 ．【考点】 ：全等三角形的判定； ：角平分线的性质
【分析】根据 证明 即可．
【解答】解： ， ，
，
在 和 中，
，
．
故答案为 ．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
14．（4分）如图，在 中， ，点 为 边的中点， 于 ，
若 ，则 的长为 4 ．
【考点】 ：等边三角形的性质； ：含30度角的直角三角形
【分析】根据直角三角形的性质得到 ，求出 ，根据等边三角形的判定定
理和性质定理解答即可．
【解答】解： ， ，
，
，
点 为 边的中点，
，
，为等边三角形，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握在直角三角形中，
角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
15．（4分）如图所示，在 中， ，在同一平面内，将
绕 点逆时针旋转到△ 的位置，使 ，则 ．
【考点】 ：平行线的性质； ：旋转的性质
【分析】由旋转性质可知 ， ，从而可得出 为
等腰三角形，且 和已知 ，得出 的度数．则
可得出答案．
【解答】解： 绕 点逆时针旋转到△ 的位置
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转
角；旋转前、后的图形全等．解题的关键是抓住旋转变换过程中不变量，判
断出 是等腰三角形．
16．（4分）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
【考点】 ：解一元一次不等式组
【分析】先把 当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出 的取值范
围即可．【解答】解： ，
不等式组无解，
．
解得：
故答案为： ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
三、解答题（共86分）
17．（12分）解不等式：
（1） ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式 的正整数解．
【考点】 ：一元一次不等式的整数解； ：在数轴上表示不等式的解集； ：解一
元一次不等式
【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，把 系数化为1，求出解集，表示在数
轴上即可；
（2）求出不等式的解集，找出正整数解即可．
【解答】解：（1）去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
（2）去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
则不等式的正整数解为1，2，3．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．18．（8分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】 ：在数轴上表示不等式的解集； ：解一元一次不等式组
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的
解集．
【解答】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解集是： ，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来 ， 向右
画； ， 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集
的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在
表示解集时“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表示．
19．（8分）如图，已知 中， ， 为 上一点， 求证：
．请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
证明：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ．
， ．
，（已知）
又 ， ，
．【考点】 ：等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及垂直定义可得结论．
【解答】证明：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ．
， ．
，（已知）
等量代换）
又 ， ，
，
垂直定义）．
故答案为： ，等量代换， ， ，垂直定义．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及垂直定义等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（6分）如图，在钝角 中，过钝角顶点 作 交 于点 ．请用尺规
作图法在 边上求作一点 ，使得点 到 的距离等于 的长．（保留作图痕迹，
不写作法）
【考点】 ：角平分线的性质； ：作图 基本作图
【分析】根据题意可知，作 的平分线交 于点 即可．
【解答】解：如图，点 即为所求．【点评】本题考查的是作图 基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．
21．（8分） 在平面直角坐标系 中的位置如图所示．
（1）作 关于点 成中心对称的△ ．
（2）将△ 向右平移4个单位，作出平移后的△ ．
（3）在 轴上求作一点 ，使 的值最小，并写出点 的坐标（不写解
答过程，直接写出结果）
【考点】 ：轴对称 最短路线问题； ：作图 平移变换； ：作图 旋
转变换
【分析】（1）延长 到 ，使得 ，延长 到 ，使得 ，
即可得出图象；
（2）根据△ 将各顶点向右平移4个单位，得出△ ；
（3）作出 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，再利用相似三角形的性质求出 点坐标即可．
【解答】解；（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：作出 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，
可得 点坐标为： ， ．
【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用
轴对称求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握．
22．（10 分）如图 1 、图 2 ， ， 均是等腰直角三角形，
，
（1） 在图 1 中， 与 相等吗？请说明理由；
（2） 若 绕点 顺时针旋转一定角度后， 到达图 2 的位置， 请问
与 还相等吗？为什么？
【考点】 ：全等三角形的判定与性质； ：等腰直角三角形； ：旋转的性质
【分析】（1） 根据等腰三角形的两腰相等进行解答 ．
（2） 证明 ，根据全等三角形的对应边相等进行说明 ．
【解答】解： （1） 相等 ．
在图 1 中， ， 均是等腰直角三角形， ，
， ，
，
；
（2） 相等 ．
在图 2 中， ，
， ，
在 和 中，
，
，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、 全等三角形的性质以及旋转问题，
在旋转的过程中要注意哪些量是不变的， 找出图形中的对应边与对应角 ．
23．（10分）定义运算 ， ：当 时， ， ；当 时， ，
；如： ， ； ， ； ， ．根据该定义运算完
成下列问题：
（1） ， ，当 时， ， ；
（2）若 ， ，求 的取值范围；
（ 3 ） 如 图 ， 已 知 直 线 与 相 交 于 点 ， 若 ，
，结合图象，直接写出 的取值范围是 ．【考点】 ：一次函数与一元一次不等式
【分析】（1）由定理可知： ， 的值就是取 和2的最小值，即 ；同理可得另
一个式子的结果；
（2）由定义列不等式解出即可；
（3）根据图象可知：当 ， ．
【解答】解：（1） ， ，当 时， ， ；
故答案为： ， ；
（2）由题意得： ，
，
；
（3） ， ，
，
由图象得： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新
定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便．
24．（12分）市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买 ， 两种风景树共900棵．
， 两种树的相关信息如下表：
品种 项目 单价（元 成活率
棵）
80
100
若购买 种树 棵，购树所需的总费用为 元．（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）若购树的总费用不超过82 000元，则购 种树不少于多少棵？
（3）若希望这批树的成活率不低于 ，且使购树的总费用最低，应选购 ， 两种树
各多少棵？此时最低费用为多少？
【考点】 ：一次函数的应用
【分析】（1）根据购树的总费用 买 种树的费用 买 种树的费用，化简后便可得出
与 的函数关系式；
（2）根据（1）得到的关系式，然后将所求的条件代入其中，然后判断出购买 种树的数
量；
（3）先用 种树的成活的数量 种树的成活的数量 树的总量 平均成活率来判断出
的取值，然后根据函数的性质判断出最佳的方案．
【解答】解：（1）
且为整数）；
（2）由题意得： ，
解得： ，
又因为计划购买 ， 两种风景树共900棵，
所以 ，
即购 种树为： 且为整数．
（3）
随 的增大而减小．
当 时，购树费用最低为 （元 ．
当 时， ，
此时应购 种树600棵， 种树300棵．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．
注意根据自变量的取值范围来判断所要求的解．
25．（12分）如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动不与 、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于 ．
（1）当 时， 25 ， ；点 从 向 运动时，
逐渐变 （填“大”或“小” ；
（2）当 等于多少时， ，请说明理由；
（3）在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出
的度数．若不可以，请说明理由．
【考点】 ：全等三角形的判定； ：等腰三角形的判定与性质
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 以 及 ， 即 可 得 出
，进而求出 的度数，
（ 2 ） 当 时 ， 利 用 ， ， 求 出
，再利用 ，即可得出 ，
（3）当 的度数为 或 时， 的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1） ，
，
逐渐变小；
故答案为： ， ，小；
（2）当 时， ，
理由： ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
（3）当 的度数为 或 时， 的形状是等腰三角形，
理由： 时，，
，
， ，
，
的形状是等腰三角形；
当 的度数为 时，
，
，
，
，
的形状是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练地应用等
腰三角形的性质是解决问题的关键．
