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九江市 2018—2019 学年度下学期期末考试试卷八年级数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将这个
正确的选项填在下面表格中．）
1.下面四张扑克牌其中是中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合，难度
一般．
2.下列式子： ， ， ， ，其中分式的数量有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式进行分析即可．
1【详解】解： ， 是分式，共2个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不
含字母，亦即从形式上看是 的形式，从本质上看分母必须含有字母．
3.若 ，则下列不等式中一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，两边同时除以5进行计算，判断出结论成立的是哪个即可．
【详解】解：∵5x＞-5y，
∴x＞-y，
∴x+y＞0
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以（或除以）同一个
数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向
必须改变．
4.已知 ，则 的值是（ ）
A. B. 5 C. D. 6
【答案】D
【解析】
2【分析】
利用非负性，得到 ，解出 与 的值，即可解得 .
【详解】由
得：
则：
所以： ,故答案选D.
【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性，解答即可.
5.小明和小莉同时从学校出发，按相同路线去图书馆，小明骑自行车前往，小莉前一半路程先乘坐公共汽
车到图书馆站，然后步行剩下的路程走到图书馆．已知小明骑车的速度是小莉步行速度的2倍，小莉乘坐
公共汽车的速度是小明骑车速度的2倍．则比较小明与小莉到达图书馆需要的时间是（ ）
A. 一样多 B. 小明多 C. 小莉多 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
分别设出小明、小莉的速度路程，然后用代数式表示时间再比较即可.
【详解】设小明的速度是v，则小莉乘坐公共汽车的速度2v, 小莉步行的速度 ，总路程是s.
小明的时间是：
小莉的时间是：
所以，小莉用的时间多，答案选C.
3【点睛】本题是对用字母表示数的实际应用，能找到本题当中数量与数量之间的关系是解决本题的关键.
6.已知锐角三角形 中， ，点 是 、 垂直平分线的交点，则 的度数是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OA、OB，由 ，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=115°，根据线段的垂直平分线
的性质得到OA=OB，OA=OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】
解：如图，连接OA、OB，
∵∠BAC=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=65°，
∴∠OBC+∠OCB=115°-65°=50°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=25°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：线段的
垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
4二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
7.命题“若 ，则 ．”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】
写出该命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：命题“若 ，则 ．”的逆命题是若a＞b，则 ，
例如：当a=3，b=-2时错误，为假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是交换命题的题设写出该命题的逆命题．
8.把多项式 分解因式的结果是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可.
【详解】
【点睛】此题主要考查因式分解的运算，解题的关键是先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解.
9.已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 。
【答案】5
【解析】
试题分析：∵多边形的每一个内角都等于108°，∴每一个外角为72°。
∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的边数是：360÷÷72=5。
10.如图，在 中， ， 平分 ，点 为 中点，则 _____．
5【答案】5
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得到∠ADC=90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，点E为AC中点，
∴DE= AC=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于
斜边的一半是解题的关键．
11.已知实数 、 满足 ，则 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：等式的右边= =等式的左边，
∴ ,
6解得：
，
∴A+B=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则以及二元一次方程组的解法．
12.在 中， ， ，点 在 上， ．若点 是 边上异
于点 的另一个点，且 ，则 的值为______．
【答案】24或36或
【解析】
【分析】
情况 1：连接 EP 交 AC 于点 H，依据先证明 是菱形，再根据菱形的性质可得到
∠ECH=∠PCH=60°，然后依据 SAS 可证明 ECH≌△PCH，则∠EHC=∠PHC=90°，最后依据
EP=2EH=2sin60°•EC求解即可． △
情况2：如图2所示： ECP为等腰直角三角形，则 = EC=2 ．此时， =24
△
情况3：如图2：过点P′作P′F⊥BC．通过解直角三角形可以解得FC ，EF，再在Rt△P′EF中，利用勾股
定理可以求得 .
【详解】解：情况1：如图所示：连接EP交AC于点H．
7∵在 中，
∴ 是菱形
∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴∠BCD=120°，∠ECH=∠PCH=60°．
在 ECH和 PCH中
△ △
，
∴△ECH≌△PCH．
∴∠EHC=∠PHC=90°，EH=PH．
∴EP=2EH=2sin60°•EC=2× ×2 =6．
∴ =36
情况2：如图2所示： ECP为等腰直角三角形，则 = EC=2 ．
△
∴ =24
情况3：如图2：过点P′作P′F⊥BC．
∵P′C=2 ，BC=4，∠B=60°，
∴P′C⊥AB．
8∴∠BCP′=30°．
∴FC= ×2 =3，P′F= ，EF=2 -3．
∴ = ，
故答案为：24或36或 ．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形和勾股定理得结合，
是综合性题目，难度较大．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）分解因式： ；
（2）解方程：
【答案】（1） ；（2）原方程无解．
【解析】
【分析】
（1）首先利用平方差公式进行分解因式，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）观察可得最简公分母是2（2x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：
经检验： 是原方程的增根．
∴原方程无解．
【点睛】此题主要考查了解分式方程以及分解因式，正确掌握解方式方程的方法和因式分解的方法是解题
9关键．
14.解不等式组，并将不等式组的解集在下面的数轴上表示出来： ．
【答案】 ，将不等式组的解集在数轴上表示见解析.
【解析】
【分析】
分别解两个不等式得两个不等式的解集，然后根据确定不等式组解集的方法确定解集，最后利用数轴表示
其解集．
【详解】
由（1）可得
由（2）可得
∴原不等式组解集为
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到．
15.在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是 ， ， ．
10（1）将 绕点 旋转 ，请画出旋转后对应的 ；
（2）将 沿着某个方向平移一定的距离后得到 ，已知点 的对应点 的坐标为 ，
请画出平移后的 ；
（3）若 与 关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）延长BC到B 使B C=BC，延长AC到A 使AC=AC，从而得到 AB C ；
1 1 1 1 1 1 1
（2）利用点A 和A 的坐标特征得到平移的规律，然后描点得到 AB△C ；
1 2 2 2 2
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征进行判断． △
【详解】（1） AB C 如图所示；
1 1 1
（2） AB C △如图所示；
2 2 2，
△
（3）∵ ， ， ， ， ，
∴ 与 关于原点对，对称中心坐标为 ，
11【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，
由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
16.如图，经过点 的一次函数 与正比例函数 交于点 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）请直接写出不等式组 的解集．
【答案】（1） ， ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点（3，0）和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函
数解析式即可求得a的值；
（2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可．
【详解】（1）∵正比例函数 与过点 的一次函数 交于点 ．
∴
∴
∴
12∴
∴
∴
∴
（2）直接根据函数的图象，可得不等式 的解集为：
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关
待定系数的值，难度不大．
17.如图， 于点 ， 于点 ， 与 相交于点 ，连接线段 ， 恰好平分
．
求证： ．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
由角平分线的性质得出OE=OD，证得 BOE≌△COD，即可得出结论．
△
【详解】∵ 于点 ， 于点 ， 恰好平分
∴ ，
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质、证明
三角形全等是解题的关键．
13四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分）
18.已知 是不等式 的一个负整数解，请求出代数式
的值．
【答案】 ，原式
【解析】
【分析】
先根据分式的运算法则进行化简，再求出不等式的负整数解，最后代入求出即可．
【详解】∵
求解不等式 ，解得
又当 ， 时分式无意义 ∴
∴原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式，不等式的整数解等知识点，能求出符合题意的
m值是解此题的关键．
19.如图，在平行四边形 的对角线 上存在 ， 两个点，且 ，试探究 与 的关
系．
14【答案】见解析.
【解析】
【分析】
由 ，得到 BQ=DP,再根据平行四边形性质可得 AD=BC，AD∥BC，可证△ADP≌△CBQ
（SAS），即可得：AP=CQ，∠APD=∠CQB．可得∠APB=∠DQC，结论可证．
【详解】解：AP=CQ，AP∥CQ；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC
∴∠ADP=∠CBQ，
∵BP=DQ，
∴DP=BQ
∴△ADP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，∠APD=∠CQB．
∵∠APB=180°-∠APD，∠DQC=180°-∠CQB
∴∠APB=∠DQC
∴AP∥CQ．
∴AP=CQ，AP∥CQ
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，能利用平行四边形找到证明全等的条
件是解答此题的关键.
的
20.甲、乙两家旅行社为了吸引更多 顾客，分别推出赴某地旅游的团体（多于4人）优惠办法．甲旅行社
的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：所有人都打七五折优惠．已知
这两家旅行社的原价均为每人1000元，那么随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠．
【答案】当团体人数超过8人时，选甲旅行社收费更优惠；当团体人数为8人时，两家旅行社收费相同；
15当团体人数少于8人时，选乙旅行社收费更优惠．
【解析】
【分析】
设团体有x人，收费y元，得出y =4000+500（x-4）=500x+2000，y =750x，再分情况列不等式和方程求
甲 乙
解可得．
【详解】设团体有 人，收费 元
∴ ，
∵当 时， ，解得 ；
∴当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
∴当团体人数超过8人时，选甲旅行社收费更优惠；
当团体人数为8人时，两家旅行社收费相同；
当团体人数少于8人时，选乙旅行社收费更优惠．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系与不
等关系．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）
21.在 中， ， ，点 是 的中点，点 是射线 上一点，
于点 ，且 ，连接 ，作 于点 ，交直线 于点 ．
（1）如图（1），当点 在线段 上时，判断 和 的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），当点 在线段 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求
16出当 和 面积相等时，点 与点 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1） ，证明见解析；（2）依然成立，点 与点 之间的距离为 ．理由见解
析.
【解析】
【分析】
（1）做辅助线，通过已知条件证得 与 是等腰直角三角形．证出 ，利用全
等的性质即可得到 .
（2）设AH，DF交于点G，可根据ASA证明 FCE≌△HFG，从而得到 ，当 和
△
均为等腰直角三角形当他们面积相等时， ．利用勾股定理可以求DE、CE的长，即可求出
CE的长，即可求得点 与点 之间的距离．
【详解】（1）
证明：延长 交 于点
∵在 中， ， ，
∴
∵ 于点 ，且 ，
∴ ， 与 是等腰直角三角形．
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，∴ ，∴
∴
∵ 于点 ，∴ ，∴
∴
∴
∴ ；
17（2）依然成立
理由：设AH，DF交于点G，
由题意可得出：DF=DE，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D为AC的中点,DF∥BC，
∴DG= BC,DC= AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在 FCE和 HFG中
△ △
，
∴△FCE≌△HFG(ASA)，
∴HF=FC.
由（1）可知 和 均为等腰直角三角形
18当他们面积相等时， ．
∴
∴
∴点 与点 之间的距离为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等
腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.
22.某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间又用2800元购进这种水果，所购数量是第一次购
进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．
（1）求该商店第一次购进水果多少千克？
（2）该商店两次购进的水果按照相同的标价销售一段时间后，将最后剩下的50千克按照标价半价出售．
售完全部水果后，利润不低于3100元，则最初每千克水果的标价是多少？
【答案】（1）第一次购进水果200千克；（2）最初每千克水果标价12元．
【解析】
【分析】
（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进
的价格贵了2元，列出方程求解即可；
（2）设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于3100元列出不等式，然
后求解即可得出答案．
【详解】（1）设第一次购进水果 千克，依题意可列方程：
解得
19经检验： 是原方程的解．
答：第一次购进水果200千克；
（2）设最初水果标价为 元，依题意可列不等式：
解得
答：最初每千克水果标价12元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关
系是解决问题的关键．
六、解答题（本大题共1小题，12分）
23.【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于 的角）与旋转角的关系．
【问题初探】线段 绕点 顺时针旋转得线段 ，其中点 与点 对应，点 与点 对应，旋转角
的度数为 ，且 ．
（1）如图（1）当 时，线段 、 所在直线夹角为______．
（2）如图（2）当 时，线段 、 所在直线夹角为_____．
（3）如图（3），当 时，直线 与直线 夹角与旋转角 存在着怎样的数量关系？请
说明理由；
【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____．
20【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题：
（4）如图（4），四边形 中， ， ， ， ， ，
试求 的长度．
【答案】（1）90°；（2）60°；（3）互补，理由见解析；相等或互补；（4） .
【解析】
【分析】
（1）通过作辅助线如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，可以通过旋转性质得到AB=CD，OA=OC，
BO=DO，证明 AOB≌△COD，进而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90°
（2）通过作辅△助线如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，同（1）得∠BFE=∠EOD=60°
（3）通过作辅助线如图3，直线 与直线 所夹的锐角与旋转角 互补， 延长 ， 交于点
通过证明 得 ，再通过平角的定义和四边形内角和定理，证得
；
形成结论：通过问题（1）（2）（3）可以总结出旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线
的夹角与旋转角相等或互补；
（4）通过作辅助线如图：将 绕点 顺时针旋转，使得 与 重合，得到 ，连接 ，
延长 ， 交于点 ，可得 ，进一步得到 BDF是等边三角形，
△
，再利用勾股定理求得 .
【详解】（1）解：（1）如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，
21∵α=90°
∴∠BOD=90°
∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=90°
故答案为：90°
（2）如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，
∵α=60°
∴∠BOD=60°
∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=60°
故答案为：60°
（3）直线 与直线 所夹的锐角与旋转角 互补，
延长 ， 交于点
22∵线段 绕点 顺时针旋转得线段 ，
∴ ， ，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴直线 与直线 所夹的锐角与旋转角 互补；
形成结论：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补；
（4）将 绕点 顺时针旋转，使得 与 重合，得到 ，连接 ，延长 ， 交于
点 ，
∴旋转角为 ，
∴ ， ， ，
∴△BDF是等边三角形，
∵ ， ，
∴ ，
23.
∴
【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质
等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
2425
