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2020-2021 学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共10小题）
1.在比例尺为1：n的某市地图上，A，B两地相距5cm，则A，B之间的实际距离为（ ）
A. n cm B. cm C. 5ｎcm D. 25 cm
【答案】C
【解析】
【详解】设A、B之间的实际距离为xcm，则1：n=5：x，解得x=5ncm，故选C．
点睛：本题考查了比例尺的性质，解题的关键是根据比例尺的性质列方程，解方程即可，注意统一单位．
2.如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从上边看第一层一个小正方形，第二层在第一层的正上方一个小正方形，右边一个小正方形，
故选B．
【点睛】简单组合体的三视图．从上边看得到的图形是俯视图．
3.有三张正面分别写有数字1，2，﹣3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机
抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片
上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ）
A. B. C. D.
1【答案】D
【解析】
【分析】
可用列树状图的方法分析出共有几种情况，再找出符合题意的情况即可得出答案.
【详解】根据题意画图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有5种，
则记录的两个数字乘积是正数的概率是 ；
故选：D．
【点睛】本题考查的是概率的问题，能够画出树状图分析出具体情况是解题的关键.
4.若菱形的一条边长为5cm，则这个菱形的周长为（ ）
A. 20cm B. 18cm C. 16cm D. 12cm
【答案】A
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可知菱形四边都相等，继而可求周长.
【详解】∵菱形的四条边都相等，
∴其边长都为5cm，
∴菱形的周长＝4×5＝20cm．
故选：A．
【点睛】本题考查的是菱形的性质和周长，能够知道菱形四边都相等是解题的关键.
5.一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个
一元一次方程是【 】
A. B. C. D.
【答案】D
2【解析】
将 两边开平方，得 ，则则另一个一元一次方程是 ．故选D．
6.如图， 中， 、 分别在 、 上，下列条件中不能判断 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：
A.∠ADE=AC，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故此选项错误；
B. ，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故此选项错误；
C. ，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故此选项错误；
D. ，不能判定△ADE∽△ACB，故此选项正确.
故选：D.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，
另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则
可列方程为（ ）
3A. （x+1）（x+2）=18 B. x2﹣3x+16=0 C. （x﹣1）（x﹣2）=18 D. x2+3x+16=0
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据
长方形的面积公式列方程可得 =18．
故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴的负半轴上，∠ABC＝
90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝ （x＜0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1”
可知∠BAC＝∠BAO＝45°，继而可知OA，OB与AC的长，从而可以确定点C的坐标，然后根据点C在函数
图像上，代入求解即可.
4【详解】∵等腰直角三角形ABC 的顶点A、B分别在x轴、y轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝
1，
∴∠BAC＝∠BAO＝45°，
∴OA＝OB＝ ，AC＝ ，
∴点C的坐标为 ，
∵点C在函数 的图象上，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是直角三角形与坐标的关系和反比例函数，能够确定点C的坐标是解题的关键.
9.在一个不透明的袋子里装有 个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提
下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再
随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸 次，其中 次摸到黑球．根据上述数据，
小明估计口袋中白球大约有（ ）
A. 10个 B. 12 个 C. 15 个 D. 18个
【答案】B
【解析】
试题分析：小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之
比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．
解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，
∴有80次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，
∴口袋中黑球和白球个数之比为1：4，
3÷ =12（个）．
5故选B．
点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
10.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交点都在点（﹣3，0）
的右边，下列结论：①b2＞4ac，②abc＞0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0，其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①②④ C. ②③ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图像与x轴的交点个数可知二次函数有两个不相等的实数根，所以 >0，可判断①；根据图像开口放
向，对称轴与y轴的关系和与y轴的交点在正半轴可判断a，b，c的正负，从而可以判断②；根据对称轴
为x=-1可判断③；然后即可选出答案.
【详解】①由图可知，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则b2＞4ac，故符合题意；
②由图可知，抛物线对称轴在y轴左侧，则a、b同号，即ab＞0．又抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＞0，故符合题意；根据对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x＜﹣2可判断④.
1
③由图可知，对称轴x＝ ＝﹣1，则b＝2a．
∴2a+b﹣c＝4a﹣c，
∵a＜0，4a＜0，
c＞0，﹣c＜0，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，
故不符合题意；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x＜﹣2，
1
∴抛物线与x轴另一个交点0＜x＜1，
2
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故符合题意；
6综上所述，正确的结论是：①②④．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图像的综合问题，能够根据二次函数图像分析出各系数的情况是解题的关
键.
二．填空题（共6小题）
11.将二次函数 化成 的形式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用配方法整理即可得解．
【详解】解： ，
所以 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式： 为常数)；
(2)顶点式： ；
(3)交点式(与 轴)： ．
12.如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，
点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_____．
7【答案】P．
【解析】
【分析】
把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心.
【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P．
故答案为：P．
【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位
似中心.
13.反比例函数y＝ （k≠0）的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位
得到点Q．若点Q也在该函数的图象上，则n＝_____．
【答案】3．
【解析】
【分析】
根据“将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q”可知点Q的坐标，再根据P，Q都在函数
图像上即可解得n的值.
【详解】∵点P的坐标为（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．
∴点Q的坐标为（3，n﹣1），
依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），
解得：n＝3，
为
故答案 ：3．
【点睛】本题考查的是反比例函数和几何变换，掌握坐标系中点的坐标向右平移横坐标加，向下平移纵坐
8标减的变化是解题的关键.
14.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程 -6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____
【答案】4
【解析】
【分析】
求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形
三边关系定理；求出即可．
【详解】解：x2-6x+8=0，
（x-2）（x-4）=0，
x-2=0，x-4=0，
x=2，x=4，
1 2
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是4，
故答案为4．
【点睛】本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理，
三角形的两边之和大于第三边．
15.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面
积为_____cm2．
【答案】54.
【解析】
【分析】
根据位似比等于相似比，相似比的平方等于相似图形的面积比列式计算即可.
【详解】设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78﹣x）cm2，
∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，
∴x：（78﹣x）＝4.52：32，
解得x＝54．
故答案为：54.
【点睛】本题考查的是位似与相似，知道位似比就是相似比，相似比的平方就是相似图形的面积比是解题
的关键.
16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD边上且不与点A和点D重合，点O是对角线BD
9的中点，当 OED是等腰三角形时，AE的长为_____．
△
【答案】 或5﹣ ．
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，连接OA，根据勾股定理可求BD，根据点O是中点
可知OD＝OB＝OA，进而可证得△ODE∽△ADO，得到相似比即可求出答案；②DE＝OD，继而可知AE=AD-
OD；③OD＝OEE与点A重合，不合题意舍去，故此可得出最终答案.
【详解】
①当OE＝DE时，△OED是等腰三角形，如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠BAD
＝90°，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝ ，
∵O是BD中点，
∴OD＝OB＝OA＝ ，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OE＝DE，
∴∠EOD＝∠ODE，
∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴ ，∴DO2＝DE•DA，
∴设AE＝x，
10∴DE＝5﹣x，
∴ ＝5（5﹣x），
∴x＝ ，
即：AE＝ ；
②如图2，当DE＝OD＝ 时，当△OED是等腰三角形，
∴AE＝5﹣ ；
③当OD＝OE＝ 时，当E与点A重合，不合题意舍去，
综上所述，当△OED是等腰三角形时，AE的长为 或5﹣ ；
故答案为： 或5- ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和相似三角形的判定与性质，能够分情况讨论是解题的关键.
三．解答题（共9小题）
17.如果 ，那么 ＝________．
【答案】-5．
【解析】
11【分析】
把 变形为 ，代入比例式即可求解答案．
【详解】解：∵
∴
∴ ．
考点：比例的性质．
18.解方程:x2－5x＋1=0.
【答案】x=2±
【解析】
试题分析：先找出a，b，c，求出△=b2-4ac的值，再代入求根公式x= 计算即可．
试题解析：∵a=1，b=−5，c=1， =b2−4ac=25−4=21，
△
∴x= ，
∴x= ，x= .
1 2
19. 如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，
两弧相交于点D，连接DE，DF．
（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；
（2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长．
12【答案】（1）详见解析
（2）EF= 8
【解析】
【分析】
（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形，
（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长.
【详解】解：（1）菱形，理由如下：
∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）连接EF，
∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等边三角形，
∴EF=AE=8厘米.
20.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，请用树状图或列表法求：“关于x的一
元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率．
【答案】关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率为 ．
【解析】
【分析】
根据树状图可以得出共有12种情况，再根据判别式与根的情况列式，即可得出满足条件的有6种情况，从
而的得出答案.
【详解】解：画树状图为：
13共有12种等可能的结果数，其中满足△＝16﹣4ac≥0，即ac≤4的结果数有6，
则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率 ．
【点睛】本题考查的判别式与二次方程根的情况和概率的知识，能够根据判别式与跟的关系得出ac的范围
是解题的关键.
21.如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点M，连接OB，求 OBM的面积；
（3）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），△连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线
AB于点C，连接OC，若 POC的面积为3，请直接写出点P的坐标．
△
【答案】（1）y＝ ；（2）△OBM的面积为6；（3）点P的坐标为（5， ）或（1，4）或（2，2）．
【解析】
【分析】
（1）根据点B在一次函数上可以求出点B的坐标，在将点B代入反比例函数中即可求出反比例表达式；
（2）先确定点M的坐标，再结合点B的坐标即可求出△OBM的面积；
（3）先联立一次函数与反比例函数解析式求出点A坐标，再根据点P在第一象限反比例函数上，可设点P
坐标为（m， ）（m＞0），从而可知点C的坐标，根据两点之间的距离公式可知PC之间的距离，再根据
三角形的面积公式列式解答即可.
【详解】（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1
14∴B（﹣1，﹣4）
将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数 中得：k＝4
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）由一次函数y＝x﹣3可知：M（3，0），
∴OM＝3，
∵B（﹣1，﹣4），
∴△OBM的面积：
（3）解 得 或 ，
∴A（4，1）
如图：
设点P 坐标为（m， ）（m＞0），则C（m，m﹣3）
的
∴ ，点O到直线PC的距离为m
∴△POC的面积＝
解得：m＝5或﹣2或1或2
15∵点P不与点A重合，且A（4，1）
∴m≠4
又∵m＞0
∴m＝5或1或2
∴点P的坐标为（5， ）或（1，4）或（2，2）．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，能够熟练掌握相关知识是解题的关键.
22.如图，四边形ABCD中，AC⊥BD垂足为点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM
于点N，AB＝AC＝BD，连接NF．
（1）判断线段MN与线段BM的位置关系与数量关系，说明理由；
的
（2）如果CD＝5，求NF 长．
【答案】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN＝BM，理由见解析；（2）NF＝ ．
【解析】
【分析】
（1）根据AB=AC，点M是BC的中点，可证MN⊥BM，AM平分∠BAC，再根据BN平分∠ABE可得出∠MNB的度
数，从而可得MN=BM；
（2）连接FM，可证FM∥AC，FM＝ AC，从而可得 ，结合（1）可得 ，再根据等式的性
质通过倒角的关系可知∠NMF＝∠CBD，从而可证△MFN∽△BDC，从而即可求出答案.
【详解】（1）位置关系：MN⊥BM，数量关系：MN＝BM，
理由如下：∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，
即MN⊥BM，
16∵BN平分∠ABE，
∴∠EBN＝∠ABN，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝ （∠EAB+∠EBA）＝45°，且AM⊥BC，
∴∠MBN＝45°＝∠MNB，
∴MN＝BM；
（2）连接FM，
∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM＝ AC，
∵AC＝BD，
∴FM＝ BD，即 ，
由（1）知△BMN是等腰直角三角形，
∴MN＝BM＝ BC，即 ，
∴ ，
∵AM⊥BC，
∴∠NMF+∠FMB＝90°，
∵FM∥AC，
17∴∠ACB＝∠FMB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠FMB＝90°，
∴∠NMF＝∠CBD，且 ，
∴△MFN∽△BDC，
∴ ，且CD＝5，
∴FN＝ ．
【点睛】本题是一道综合题，考查了等腰三角形的三线合一，三角形中位线性质，平行线的性质和相似三
角形的判定等知识，能够数量掌握这些知识解题的关键.
23.某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x
（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获
得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
【答案】（1） ；（2） 时，w最大 ；（3） 时，每天的销售量为20件.
【解析】
【分析】
（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
18（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
，
解得： ，
故函数的表达式为：y=-2x+160；
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量y=-2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知
识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
24. ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D是平面内不与点A和点B重合的一点，连接DB，将线段DB绕
点D△顺时针旋转α得到线段DE，连接AE、BE、CD．
（1）如图①，点D与点A在直线BC的两侧，α＝60°时， 的值是 ；直线AE与直线CD相交所成
的锐角的度数是 度；
19（2）如图②，点D与点A在直线BC两侧，α＝90°时，求 的值及直线AE与直线CD相交所成的锐角
∠AMC的度数；
（3）当α＝90°，点D在直线AB的上方，S ＝ S ，请直接写出当点C、D、E在同一直线上时，
ABD ABC
△ △
的值．
【答案】（1）1，60；（2）∠AMC＝45°；（3） 的值为2﹣ 或2+ ．
【解析】
【分析】
（1）延长 AE，CD 交于点 H，根据旋转的性质可知 DE=BD，∠BDE=60°，从而可知△BDE，从而可证
△ABE≌△CBD，从而可知 ，再根据角的关系即可求出∠AHB；
（2）先证△ABE∽△CBD，可以得到 ，∠BAE＝∠BCD，继而可以求出∠AMC的度数；
（3）分两种情况讨论即可：①点D，点A在直线BC两侧，②点A，点D在直线BC同侧.
【详解】（1）如图1，延长AE，CD交于点H，
∵将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE，
∴DE＝BD，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，
20∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，且BE＝BD，AB＝BC，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝CD，∠DCB＝∠BAE，
∴ ＝1，
∵∠BAC+∠ACB＝120°，
∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，
∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°
∴∠CAE+ACH＝120°，
∴∠AHB＝60°，
故答案为：1，60．
（2）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AB＝ BC，∠ABC＝45°，
∵将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，
∴DE＝BD，∠BDE＝90°，
∴BE＝ BD，∠DBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBD，且 ，
∴△ABE∽△CBD，
∴ ，∠BAE＝∠BCD，
∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE，
∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，
∴∠AMC＝45°；
（3）①若点D，点A在直线BC两侧，如图3，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，
21∵ ，
∴点D在直线GH上，
∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝ BD，
∵点G，点H分别是AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∴∠DHB＝∠ABC＝45°，
∵点C、E、D三点共线，
∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，
∴DH＝CH＝BH，
∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，
∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，
∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，
∴BE＝CE＝ BD，
∴CD＝CE+DE＝（ +1）BD，
∴ ；
②若点A，点D在直线BC同侧，如图4，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，
22∵ ，
∴点D在直线GH上，
∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝ BD，
∵点G，点H分别是AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∴∠DHC＝∠ABC＝45°，
∵点C、E、D三点共线，
∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，
∴DH＝CH＝BH，
∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，
.
∴∠HBD＝∠HDB＝225°，
∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，
∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，
∴BE＝CE＝ BD，
∴CD＝CE﹣DE＝（ ﹣1）BD，
∴ ，
综上所述： 的值为 或 ．
【点睛】本题是一道相似综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似
三角形的性质与判定等相关知识，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.
2325.如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a是常数，且
a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D
与点O在直线AC两侧．
（1）求点A，B的坐标；
（2）当CD∥x轴时，求抛物线的函数表达式；
（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．
【答案】（1）点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）；（2）y＝ x2﹣ x+ ；（3）y＝
x2﹣ x+ ．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线解析式求解与x轴的交点坐标即y=0是x的值，即可得出A，B的坐标；
（2）根据三角形ACD是等边三角形可知∠OCA的度数，根据三角函数值可求点C坐标，从而可求答案；
（3）过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，
根据点E坐标进一步求△CFE∽△EGD，进而可求答案.
【详解】（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，则x＝1或4，
∵点A在点B的左边
故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；
（2）∵点A坐标为（1,0），∴OA=1
∵△ACD是等边三角形，∴∠DCA=60°
当CD∥x轴时，∠DCO=90°
24∴∠ACO=30°，则∠OCA＝60°，
则OC＝OAtan60°= ，故点C（0， ），
即 ＝4a，解得：a＝ ，
故抛物线的表达式为： ；
（3）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于
点G，
∵△ACD为等边三角形，则点E为AC的中点，则点E（ ，2a），AE＝CE＝ ED，
∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF，
∴△CFE∽△EGD，∴ ，其中EF＝ ，CF＝2a，
解得：GE＝ a，DG＝ ，故点D（ ），
BD2＝（ ，
故当a＝ 时，BD最小，
25故抛物线的表达式为：y＝ ．
【点睛】本题是一道二次函数综合题，考查等边三角形的性质，三角函数值，相似三角形的判定与性质，
二次函数综合问题等知识，能够充分调动所学知识是解题的关键.
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