反比例函数(含中考真题解析)_1、初中学习资料_4-2、数学_北师大版_北师大版初中数学9上_2022秋九数上(BS)--各阶段精品试题_复习资料_期末拔高专题

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 反比例函数 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 反比例 1.反比例函数概念 会判断一个函数是否为反比例函数。 函数概 念、图 象和性 2.反比例函数图象 知道反比例函数的图象是双曲线，。 质 3.反比例函数的性质 会分象限利用增减性。 4.一次函数的解析式确定 能用待定系数法确定函数解析式。 反比例函5.反比例函数中比例系数的几何 会用数形结合思想解决此类问题． 数的应用 意义 能根据图象信息，解决相应的实际问题． 能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。 ☞2年中考 k y  1．若反比例函数 x 的图象经过点（2，－6），则k的值为（ ） A．－12 B．12 C．－3 D．3 【答案】A． 【解析】 k y  试题分析：∵反比例函数 x 的图象经过点（2，﹣6），∴ k 2(6)12 ，解得k=﹣ 12．故选A． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2 y 2．若点A（a，b）在反比例函数 x的图象上，则代数式ab﹣4的值为（ ） A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6 【答案】B． 【解析】 2 2 y b 试题分析：∵点（a，b）反比例函数 x上，∴ a ，即ab=2，∴原式=2﹣4=﹣2．故选B． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（ ） www.youyi100.com 第 1 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A ． B ． C ． D ． 【答案】C． 考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象． m y  4．反比例函数 1 x（ x0 ）的图象与一次函数 y 2 xb 的图象交于A，B两点，其中 y  y A（1，2），当 2 1时，x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B． 【解析】 试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时， y  y 2 1．故选B． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． www.youyi100.com 第 2 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 k y  1 k 0k y k x1 5．已知 1 2，则函数 x 和 2 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 2 y  6．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数 x 的 图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D． 【解析】 2 2 y  y  试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入 x 得 3 ，所以此 时P点有1个； 2 2 2 (x3)2 ( )2 (x3)2 ( )2 ②当∠APB=90°，设P（x， x ），PA2 = x ，PB2 = x ，AB2 = 2 2 (x3)2 ( )2 (x3)2 ( )2 (33)2 =36，因为PA2 PB2  AB2 ，所以 x x =36，整理得 9 65 9 65 x2  x2  x4 9x2 40 ，所以 2 ，或 2 ，所以此时P点有4个； 2 2 y  y  ③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入 x 得 3 ，所以此时P点有1个； 综上所述，满足条件的P点有6个．故选D． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题． 1 y   x y x y x y 7．若点（ 1， 1），（ 2， 2），（ 3， 3），都是反比例函数 x 图象上的点，并且 www.youyi100.com 第 3 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 y 0 y  y 1 2 3，则下列各式中正确的是（ ） x  x  x x  x  x x  x  x A． 1 2 3 B． 1 3 2 C． 2 1 3 D． x  x  x 2 3 1 【答案】D． 【解析】 1 y   x y x y x y 试题分析：由题意得，点（ 1， 1），（ 2， 2），（ 3， 3）都是反比例函数 x 上的点， y 0 y  y x y x y x  x 且 1 2 3，则（ 2， 2），（ 3， 3）位于第三象限，y随x的增大而增大， 2 3， x y x x x x x  x  x （ 1， 1）位于第一象限， 1最大，故 1、 2、 3的大小关系是 2 3 1．故选D． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 8．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲 3 y  线 x 经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C． 考点：反比例函数系数k的几何意义． k y  9．如图，A、B是双曲线 x 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若 △ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ） 4 8 A．3 B．3 C．3 D．4 www.youyi100.com 第 4 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【答案】B． 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正 k y  方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 x 与正方形ABCD有公共点，则k的取 值范围为（ ） A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C． 【解析】 试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的 k y  坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线 x 经过点（1，1）时， k y  k=1；当双曲线 x 经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C． www.youyi100.com 第 5 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题． 1 y  11．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数 x 的图象上． k y  若点B在反比例函数 x 的图象上，则k的值为（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】A． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题． 104 12．如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为 m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的 底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（ ） www.youyi100.com 第 6 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A． B． C． D． 【答案】A． 考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象． 2 y  13．如图，已知点A是双曲线 x 在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另 一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运 动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（ ） 2 4 n n A． n2m B． m C． n4m D． m 【答案】B． 【解析】 2 试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n ，∴点A的坐标为（ www.youyi100.com 第 7 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 2 n ，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B的坐标为（m， 2 n m  2 2 m 2 2 2 mn  n m），又∵ n ，∴ m n ，∴ m2n2 4 ，又∵m＜0，n＞0，∴ mn2 ，∴ m ，故选B． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 12 y  14．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数 x 图象上的概率是（ ） 1 1 1 1 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D． 考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征． OA 3  15．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，OB 4．∠AOB的角平分线与 k y  OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数 x 的图象过点C．当以CD为边 2 的正方形的面积为7 时，k的值是（ ） www.youyi100.com 第 8 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D． 考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的 3 y  x 纵坐标分别为3，1．反比例函数 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（ ） 2 2 4 2 A．2 B．4 C． D． 【答案】D． 【解析】 www.youyi100.com 第 9 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 3 y  x 试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数 2 2 的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB= ，S菱 2 2 4 2 形ABCD=底×高= ×2= ，故选D． 考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 1 y y x2 17．在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 x的图象有唯一公共点，若直线 1 y y xb 与反比例函数 x的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ） A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2 【答案】C． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与 1 2 y y 函数 x 、 x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（ ） www.youyi100.com 第 10 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变 【答案】D． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点 坐标是 ． 【答案】（﹣1，﹣3）． 【解析】 试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个 交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）． 考点：反比例函数图象的对称性． k y  k 0 20．点（a﹣1， y 1）、（a+1， y 2）在反比例函数 x 的图象上，若 y 1  y 2，则a的范围 www.youyi100.com 第 11 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 是 ． 【答案】﹣1＜a＜1． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论． 2 3 k y  y  21．如图，点A在双曲线 x （ x0 ）上，点B在双曲线 x （ x0 ）上（点B在点A 的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ． 6 3 【答案】 ． 【解析】 2 3 2 3 y  试题分析：因为点A在双曲线 x （ x0 ）上，设A点坐标为（a， a ），因为四边形 2 3 a OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a， ），可得：k= 2 3 3a a = 6 3 ，故答案为： 6 3 ． 考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点 k y  x A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数 的图象交BC于D，连接AD， 则四边形AOCD的面积是 ． www.youyi100.com 第 12 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【答案】9． 考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． y  x1 23．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线 上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线 1 y  x 上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴， a 1 BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若 1 ，则a2015= ． 【答案】2． www.youyi100.com 第 13 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4． 综合题． y y 24．如图，过原点O的直线与反比例函数 1， 2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A 1 y  1 x y 为OB的中点，若函数 ，则 2与x的函数表达式是 ． 4 y  【答案】 2 x ． 【解析】 1 y  1 x 试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数 上，∴ 1 1 a a 设A（a， ），∴OC=a，AC= ，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△OBD，∴ AC OC OA AC OC OA 1 2      BD OD OB ，∵A 为 OB 的中点，∴ BD OD OB 2，∴BD=2AC= a ， www.youyi100.com 第 14 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 k 2 4 y  2a 4 y  OD=2OC=2a，∴B（2a， a ），设 2 x ，∴k= a ，∴ y 2与x的函数表达式是： 2 x ． 4 y  故答案为： 2 x ． 考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题． k y  x k 0 25．如图，若双曲线 （ ）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB 分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为 ． 36 3 25 【答案】 ． www.youyi100.com 第 15 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题． 9 3 y (x＞0) 26．如图，点 A 1， A 2依次在 x 的图象上，点 B 1， B 2依次在x轴的正半轴上，若 △ AOB △ A BB B 1 1， 2 1 2均为等边三角形，则点 2的坐标为 ． 6 2 【答案】（ ，0）． www.youyi100.com 第 16 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2015南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是 3 y  x x0 △OAB的中线，点B，C在反比例函数 （ ）的图象上，则△OAB的面积等于 ． 9 2 【答案】 ． www.youyi100.com 第 17 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2015烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数 k y  x （x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE， DE，则△ODE的面积为 ． 15 4 【答案】 ． www.youyi100.com 第 18 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． k y  y 2x10 x k 0 29．（2015玉林防城港）已知：一次函数 的图象与反比例函数 （ ）的 图象相交于A，B两点（A在B的右侧）． （1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标； （2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角 边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一 BC 5  点C，连接BC交y轴于点D．若 BD 2，求△ABC的面积． 8 1 y   x 2 【答案】（1） ，B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16， ）；（3）10． 【解析】 k y  x 试题分析：（1）把点A的坐标代入 ，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比 例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标； www.youyi100.com 第 19 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣ 2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2， ∴ HE=5﹣4=1 ． ∵ AH⊥ OE ， ∴ ∠ AHM=∠ AHE=90° ． 又 ∵ ∠ BAP=90° ， ∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴ AH MH 2 MH   EH AH ，∴1 2 ，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为 y mx ，则有  1 y  x   2  1 1  8 x4 y  x y   4m2 ，解得m= 2 ，∴直线AP的解析式为 2 ，解方程组  x ，得： y 2 或 x4  y 2 ，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）． 1  2 ②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16， ）． 1  2 综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16， ）； （3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT， www.youyi100.com 第 20 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 CD CT BC 5 CT CD 3     ∴△CTD∽△BSD，∴ BD BS ．∵ BD 2，∴ BS BD 2 ．∵A（a，﹣2a+10），B（b， ﹣ 2b+10 ） ， ∴ C （ ﹣ a ， 2a﹣ 考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的 交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题． 【2014年题组】 4 y 1.（ 2014年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线 x 上，分别经过A、B两点向轴作垂线段， 已知S阴影=1，则S1+S2=（ ） www.youyi100.com 第 21 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D． 【解析】 4 y 试题分析：∵点A、B是双曲线 x 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，∴根 据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∵S阴影=1，∴S1+S2=4+4﹣ 1×2=6．故选D． 考点：反比例函数系数k的几何意义． k y 2.（ 2014年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数 x（k＞0，x＞0）的图 象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的 2倍，则点A的坐标为（ ）  3 4,  A. （2，2） B. （2，3） C. （3，2） D.  2 【答案】C． 考点：1.切线的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系． 3.（ 2014年江苏连云港）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）.若函数 k y x 在第一象限内的图像与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ） www.youyi100.com 第 22 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 49 25 A. 2≤k≤ 4 B. 6≤k≤10 C. 2≤k≤6 D. 2≤k≤ 2 【答案】A． ． 考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法的应用；23.曲线上点的坐标与方程的 关系；一元二次方程根的判别式． k y 4.（ 2014年江苏盐城）如图，反比例函数 x（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作 AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l 为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ） 1 5 3 4 1 5 A. 2 B.2 C.3 D. 2 【答案】A． 【解析】 www.youyi100.com 第 23 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1.反比例函数的综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.等腰直角三角形的性质；4. 轴对称的性质；5.方程思想的应用． 5. （2014年重庆市B卷）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数 k 2 y (k 0) x 在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n， 3 ），过点E的直 线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，－2），则点F的坐标是（ ） 5 7 9 11 ( ,0) ( ,0) ( ,0) ( ,0) A、 4 B、 4 C、 4 D、 4 【答案】C． 【解析】 www.youyi100.com 第 24 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 试题分析：∵A（m，2），∴正方形ABCD的边长为2.∵E（n，3），∴nm2.∵反比例函数 k y (k 0) x 在 第 一 象 限 的 图 象 经 过 A ， E ， ∴  k 2 k2m①   m 2 2m  把①代入②  m1 2 k 3 m2 2   ② 3 m2 .∴ nm23，即点E的坐标为（3，3  2  8 3ab a  3 9 yaxb  b2  b2 ）.设直线EG的解析式为 ，∵G（0，－2），∴ .∴直线EG的解 8 8 9 9  y x2 x20x  , 0  析式为 9 .令y=0得9 4.∴点F的坐标是 4  .故选C． 考点：1.反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的 关系；4.正方形的性质． k y 6. （2014年广西北海）如图，反比例函数 x（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点 D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为 【答案】20． www.youyi100.com 第 25 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.相似三角形的判定和性质． 7.（ 2014年广西崇左）如图，A（4，0），B（3，3），以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过 C点的反比例函数的解析式为 ． 3 y 【答案】 x ． 考点：1.平行四边形的性质；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系． 8.（ 2014年广西玉林、防城港）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第 k k y 1 y 2 一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线 x 和 x 的一支上，分别过点A、C作 x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论： AM k  1 CN k ① 2 ； 1 k k  ②阴影部分面积是2 1 2 ； k  k ③当∠AOC=90°时 1 2 ； ④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称． www.youyi100.com 第 26 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 其中正确的结论是 （把所有正确的结论的序号都填上）． 【答案】①④． 考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性 质和菱形的性质． www.youyi100.com 第 27 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 y 9.（ 2014年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线 x 在第一象限的分支上的一个动点，连结 AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动， k y 点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线 x（k＜0）上运动，则k的值是 ． 【答案】﹣6． 考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的 判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值． www.youyi100.com 第 28 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 k y 10.（ 2014年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数 x（x＞0）的图象 上，（1）k的值为 ； （2）当m=3，求直线AM的解析式； （3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线 BP与直线AM的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）6；（2）y=﹣2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，． www.youyi100.com 第 29 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三 角形的判定和性质；5.平行的判定． ☞考点归纳 归纳 1：反比例函数的概念 基础知识归纳： 一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以 写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 基本方法归纳：判断一个函数是否是反比例函数关键是看它的横纵坐标的乘积k是否为一个 非零常数． 注意问题归纳：当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k  0及指数为-1． k x 【例1】（2014·株洲）已知反比例函数y= 的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这 个函数图象上的是（ ） A．（﹣6，1）B．（1，6）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2） 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵反比例函数y=的图象经过点（2，3），∴k=2×3=6，A、∵（﹣6）×1=﹣6≠6，∴此 点不在反比例函数图象上； B、∵1×6=6，∴此点在反比例函数图象上； C、∵2×（﹣3）=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上； D、∵3×（﹣2）=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上． 故选B． 考点：反比例函数的定义． 归纳 2：反比例函数的性质 基础知识归纳：当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x 的 增大而增大． 基本方法归纳：关键是熟练掌握反比例函数的性质． www.youyi100.com 第 30 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 注意问题归纳：准确抓住“在每个象限内”是解答关键． 5 y P(x，y ) P (x ，y ) 【例 2】（2014·宁夏）已知两点 1 1 1 、 2 2 2 在函数 x 的图象上，当 x  x 0 1 2 时，下列结论正确的是（ ） 0 y  y 0 y  y y  y 0 y  y 0 A. 1 2 B. 2 1 C. 1 2 D. 2 1 【答案】A． 考点：反比例函数的性质． 归纳 3：反比例函数图象上点的坐标与方程的关系 基础知识归纳：反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等都等于k． 基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合． 注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意 坐标与线段间的转化时符号的处理． 1 y x 【例3】（2014·呼和浩特）已知函数 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点 B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2 判断正确的是（ ） A．x1 ＋ x2 >1，x1·x2 > 0 B．x1 ＋ x2 < 0，x1·x2 > 0 C．0 < x1 ＋ x2 < 1，x1·x2 > 0 D．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定 【答案】C． www.youyi100.com 第 31 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 归纳 4：反比例函数与一次函数的综合运用 基础知识归纳：一次函数与反比例函数的交点坐标为对应方程组的解 基本方法归纳：列方程组是关键． 注意问题归纳：坐标要准确，利用增减性时要分象限考虑． 【例4】【山东省聊城市】如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2= 的图象交于A （1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ） A．x＜1 B． x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2 或 0 ＜x＜1 【答案】D． 【解析】 试题分析：一次函数图象位于反比例函数图象的下方．，x＜﹣2，或0＜x＜1，故选D． 考点：反比例函数与一次函数交点问题． 归纳 5：反比例函数的图象和k的几何意义 基础知识归纳：主要涉及到与三角形、四边形面积问题，线段长度和坐标． 基本方法归纳：数形结合思想，坐标线段间的相互转化. 注意问题归纳：在确定k的值时一定要注意符号问题． www.youyi100.com 第 32 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 k y 【例5】（2014·遵义）如图，反比例函数 x（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F 两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为 ． 【答案】8． 考点：反比例函数系数k的几何意义． ☞1年模拟 1．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标互为 相反数，则该点一定不在（ ） 1 x A．直线y=-x上 B．直线y=x上 C．双曲线y= D．抛物线y=x2上 【答案】C． 【解析】 试题解析：A、若此点坐标是（0，0）时，在直线y=-x上，故本选项错误； B、若此点坐标是（0，0）时，在直线y=x上，故本选项错误； 1 x C、因为双曲线y= 上的点必须符合xy=1，故x、y同号与已知矛盾，故本选项正确； D、若此点坐标是（0，0）时，在抛物线y=x2上，故本选项错误． 故选C． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．二次函数图 象上点的坐标特征． 2．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）下列函数中，在0≤x≤2上y随x的增大而增大的 是（ ） 2 x A．y=-x+1 B．y=x2-4x+5 C．y=x2 D．y= www.youyi100.com 第 33 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【答案】C． 考点：1．二次函数的性质；2．一次函数的性质；3．反比例函数的性质． k y  x 3．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）一次函数y=-kx+4与反比例函数 1 1 2k2 9 y  2 2 x 的图象有两个不同的交点，点（- ，y1）、（-1，y2）、（ ，y3）是函数 图象上的三 个点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【答案】D． 【解析】 k k y  x x 试题分析：一次函数y=-kx+4与反比例函数 的图象有两个不同的交点，即：-kx+4= 2k2 9 y  x 有解，∴-kx2+4x-k=0，△=16-4k2＞0，k2＜4，∴2k2-9＜-1＜0，∴函数 图象在二、 1 1 2 2 四象限，如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵-1＜- ，0＜y2＜y1，∵当x= 时，y3 ＜0，∴y3＜y2＜y1，故选D． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．反比例函数与一次函数的交点问题． 4．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，等边△ABC的边长是2，内心O是直角坐 k x 标系的原点，点B在y轴上．若反比例函数y= （x＞0），则k的值是（ ） www.youyi100.com 第 34 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 3 2 3 3 2 2 A． B． C． D． 【答案】A． 考点：1．三角形的内切圆与内心；2．反比例函数图象上点的坐标特征． 5．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两 4 x 点，与反比例函数y＝ 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足 为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论： ①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD． 其中正确的结论是（ ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C． www.youyi100.com 第 35 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：反比例函数综合题． a y  x 6．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）函数 （a≠0）与y=a（x﹣1）（a≠0）在同一坐标 系中的大致图象是（ ） 【答案】A． www.youyi100.com 第 36 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 7．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）点A为双曲线y= （k≠0）上 一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为（ ） A．2 B．±2 C． D．± 【答案】D． 【解析】 试题分析：当点A在第一象限时，过A作AC⊥OB于C，如图1，∵OB=2，∴B点的坐标是 3 （2，0），∵∠AOC=60°，AO=BO=2，∴OC=1，AC=AOsin60°=2sin60°= ，∴A点的坐标是 k 3 x 3 （1， ），∵点A为双曲线y= （k≠0）上一点，∴k= ； 当点A在第二象限时，过A作AC⊥OB于C，如图2，∵OB=2，∴B点的坐标是（﹣2，0）， 3 3 ∵∠AOC=60°，AO=BO=2，∴OC=1，AC=2sin60°= ，∴A点的坐标是（﹣1， ），∵点A k x 3 为双曲线y= （k≠0）上一点，∴k=﹣ ；故选D． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．分类讨论． 8．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反 k 2 x 3 比例函数y= （k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n， ），过点E 的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，-2），则点F的坐标是（ ） www.youyi100.com 第 37 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 5 7 9 11 4 4 4 4 A．（ ，0）B．（ ，0）C．（ ，0）D．（ ，0） 【答案】C． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． k 3 x x 9．（2015届河北省中考模拟二）如图，两双曲线y= 与y=- 分别位于第一、四象限，A是y 3 k x x 轴上任意一点，B是y=- 上的点，C是y= 上的点，线段BC⊥x轴于点 D，且4BD=3CD， k x 则下列说法：①双曲线y= 在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为3，则 4 3 点C的坐标为（3，- ）；③k=4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． www.youyi100.com 第 38 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．反比例函数图象上点的坐 标特征． k y  x 10．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，反比例函数 （k＞0）与一次函数 1 y  xb 2 的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB交y轴与C，当|x1﹣x2|=2且 AC=2BC时，k、b的值分别为（ ） 1 4 1 1 4 1 2 9 3 3 9 3 A．k= ，b=2 B．k= ，b=1 C．k= ，b= D．k= ，b= 【答案】D． 【解析】 试题分析：首先由AC=2BC，可得出A点的横坐标的绝对值是B点横坐标绝对值的两倍．可 2 3 设B（m， m+b），则A（﹣2m，﹣m+b），再由|x1﹣x2|=2，可求出m= ，从而得出A点与B点 1 k y  xb y  2 x 的横坐标，然后根据点A、点B既在一次函数 的图象上，又在反比例函数 www.youyi100.com 第 39 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 4 1 9 3 （k＞0）的图象上，可求出k= 、b= ．故选D． 考点：反比例函数综合题． 3 x 11．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）设函数y=x+5与y= 的图象 1 1  a b 的两个交点的横坐标为a、b，则 的值是 ． 5 3 【答案】 ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 1 x 12．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）双曲线y= （x＞0）与直线y=x在坐标 系中的图象如图所示，点A、B在直线上AC、BD分别平行y轴，交曲线于C、D两点，若 BD=2AC 则4OC2-OD2的值为 ． 【答案】6． 【解析】 1 1 1 1 a b a b 试题分析：设A（a，a），B（b，b），则C（a， ），D（b， ），AC=a- ，BD=b- ，∵BD=2AC， 1 1 1 1 b a a2 b2 ∴b- =2（a- ），4OC2-OD2=4（a2+ ）-（b2+ ） 1 1 1 1 (a )2 (b )2 (a )2 (a )2 a b a a =4[ +2]-[ +2]=4 +8-4 -2=6． www.youyi100.com 第 40 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：反比例函数综合题． 13．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，直线y1=x+b与双曲线y2= 交于点A（1，4）和点 B，经过点A的另一条直线与双曲线y2= 交于点C．则： ①直线AB的解析式为y1=x+3； ②B（﹣1，﹣4）； ③当x＞1时，y2＜y1； ④当AC的解析式为y=4x时，△ABC是直角三角形． 其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都写在横线上） 【答案】①③④． 则正确的结论是①③④．故答案为：①③④． www.youyi100.com 第 41 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 14．（2015届山东省日照市中考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边 k x 形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y= （k≠0，x＞ 0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为 ． 2 5 【答案】6+ ． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． k x 15．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，一次函数y=mx与反比例函数y= 的图象交于 A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=3，则k的值是 ． 【答案】3． 【解析】 1 3 2 2 试题分析：由题意得：S△ABM=2S△AOM=3，S△AOM= |k|= ，则k=3．故答案为：3． 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数图象的对称性． 16．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象 www.youyi100.com 第 42 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 1 2 x 限、点B在第四象限，且AO：BO=1： ，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0= 0 ，则点B （x，y）的坐标x，y所满足的关系式为 ． 2 y  x 【答案】 ． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质． k y  x 17．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，点P在双曲线 （k≠0）上，点 P′（1，2）与点P关于y轴对称，则此双曲线的解析式为 ． www.youyi100.com 第 43 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2  x 【答案】y= ． 【解析】 试题分析：∵点P（′ 1，2）与点P关于y轴对称，则P的坐标是（-1，2），∵点（-1，2）在双曲线 k 2 y   x x （k≠0）上，则满足解析式，代入得到：2=-k，则k=-2，则此双曲线的解析式为y= ．故 2  x 答案为：y= ． 考点：1．待定系数法求反比例函数解析式；2．关于x轴、y轴对称的点的坐标． k x 18．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）如图，已知反比例函数y= （k＞0）的图象与 正方形OABC的边AB、BC分别交于点D、E．若正方形OABC的边长为1，△ODE是等边三 角形，则k的值为 ． 3 【答案】2- ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． k x 19．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y1= （k 为常数，k≠0）的图象与正比例函数y2=ax（a为常数，a≠0）的图象相交于A．B两点．若点A的 坐标为（2，3），则点B的坐标为 ． 【答案】（-2，-3）． 【解析】 www.youyi100.com 第 44 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 试题分析：根据题意，知点A与B关于原点对称，∵点A的坐标是（2，3），∴B点的坐标为 （-2，-3）．故答案为：（-2，-3）． 考点：反比例函数图象的对称性． 3 x 20．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图，点A在双曲线y= 第三象限的分支 k x 上，连结AO并延长交第一象限的图象于点B，画BC∥x轴交反比例函数y= 的图象于点 C，若△ABC的面积为6，则k的值是 ． 【答案】9． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 21．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B m x （3，1），C（3，3），反比例函数y= （x＞0）的图象过点D，点P是一次函数y=kx+3﹣3k （k≠0）的图象与该反比例函数的一个公共点．对于一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0），当y随x的 增大而增大时，则点P横坐标a的取值范围__________． www.youyi100.com 第 45 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 2 3 【答案】 ＜a＜3． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 22．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，已知A（-4，0.5），B（-1，2）是一次函数y=ax+b与 m x 反比例函数y＝ （m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （2）求一次函数解析式及m的值； （3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标． 1 2 【答案】（1） 当-4＜x＜-1时，一次函数大于反比例函数的值；（2） 一次函数解析式为y= x+ 5 5 5 2 2 4 ；m=-2；（3）P点坐标为（- ， ）． www.youyi100.com 第 46 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【解析】 试题分析：（1）观察函数图象得到当-4＜x＜-1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方； m x （2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y＝ 可计算出m的值； 1 5 1 1 1 1 1 5 2 2 2 2 2 2 2 2 （3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到 × ×（t+4）= × ×（2- t- 5 2 ），解方程得到t=- ，从而可确定P点坐标． 试题解析：（1）当-4＜x＜-1时，一次函数大于反比例函数的值； 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 23．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= k x （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面 积为1． www.youyi100.com 第 47 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）求反比例函数的解析式； （2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标 为2，在x轴上求一点M，使MA+MB最小． 2 5 x 3 【答案】（1）y= ．（2）M点的坐标为（ ，0）． 【解析】 试题分析：（1）设出A点的坐标，根据△OAP的面积为1，求出xy的值，得到反比例函数的解 析式； 考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．轴对称-最短路线问题；3．最值问题． www.youyi100.com 第 48 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 24．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图（1），直线y=k1 x+b与反比例函数 k 2 x y= 的图象交于点A（1，6），B（a，3）两点． （1）求k1、k2的值； （2）如图（1），等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于 点E，CE和反比例函数的图象交于点F，当梯形OBCD的面积为12时，请判断FC和EF的大 小，并说明理由； （3）如图（2），已知点Q是CD的中点，在第（2）问的条件下，点P在x轴上，从原点O出发， 沿x轴负方向运动，设四边形PCQE的面积为S1，△DEQ的面积为S2，当∠PCD=90°时，求 P点坐标及S1：S2的值． 1 2 【答案】（1）k1=-3，k2=6；（2）FC=EF；理由见解析．（3）P点坐标为（- ，0）；S1：S2=11：2． （3）由条件可证明△CED∽△PCD，可求得PD的长，则可求得P点坐标，过Q作QH⊥x轴于 点H，可求得QH，则可求得△QDE和△PCD的面积，可求得S1和S2的值，可求得其值． k k 2 2 x 1 试题解析：（1）∵反比例函数y= 的图象过点A（1，6），B（a，3）两点，∴6= ，解得k2=6， ∴3a=6，解得a=2，∴B（2，3），∵直线y=k1 x+b过A、B两点，∴把A、B两点代入可得 www.youyi100.com 第 49 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 k b6 k 3 1 1    2k b3 b9 1 ，解得 ，综上可知k1=-3，k2=6； （2）FC=EF．理由如下： 如图1，过B作BG⊥x轴于点G， ∵B（2，3），∴OG=2，BG=3，∵BC∥OD，OB=CD，∴∠BOG=∠CDE，在△BOG和△CDE中， www.youyi100.com 第 50 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数综合题；2．探究型． k x 25．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，反比例函数y= （x＞0）的图象经过线段 3 2 OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB= ． www.youyi100.com 第 51 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）求k的值； k x （2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y= （x＞0）的图象恰好经 过DC上一点E，且DE：EC=2：1，求直线AE的函数表达式； （3）若直线AE与x轴交于点，N，与y轴交于点M，请你探索线段AM与线段NE的大小关系， 写出你的结论并说明理由． 1 2 【答案】（1）6．（2） y=- x+4；（3） AM=NE． 试题分析：（1）先根据题意得出A点坐标，代入反比例函数解析式即可得出k的值； 6 x （2）DC由AB平移得到，DE：EC=2：1，故点E的纵坐标为1．再由点E在双曲线y= 上可知 点E的坐标为（6，1 ），利用待定系数法求出直线AE的解析式即可； （3）先求出M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥OM，且AF=2，OF=3，故MF=OM- OF=1，由勾股定理求出AM的长，同理可得出EN的长． www.youyi100.com 第 52 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 考点：1．反比例函数综合题；2．探究型． 26．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，矩形OABC的边OA、 OC分别在x轴、y轴的正半轴的正半轴上，且OA=3，OC=2，将矩形OABC向上平移4个单 位得到矩形O1A1B1C1． www.youyi100.com 第 53 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）若反比例函数y= 和y= 的图象分别经过点B、B1，求k1和k2的值； （2）将矩形O1A1B1C1向左平移得到O2A2B2C2，当点O2、B2在反比例函数y= 的图象上 时，求平移的距离和k3的值． 【答案】（1）k1=6；k2=18；（2）平移的距离9个单位长度，k3=﹣36． 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．平移的性质；3．数形结合；4．方程思想． 27．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，正方形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴 上，O为坐标原点，点B在第二象限，边长为m，双曲线线y= （x≠0）经过BC的中点H． www.youyi100.com 第 54 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）用m的代数式表示出k； k x （2）当m=3时，过B作直线BD，分别交x轴，y轴于G、F，分别交双曲线线y= （x≠0）的两 个分支于E、D，求证：GE=DF； k x （3）在（2）的前提下，将直线BD绕点B旋转适当的角度在第二象限与双曲线线y= （x≠0） 交于P、Q，分别过P、Q作直线AC的垂线PM、QN，垂足为M、N，试探究PQ与PM+QN的数 量关系并证明． 【答案】． 【解析】 k x 试题分析：（1）只需求出点H的坐标，然后代入y= 就可解决问题； （2）作EM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，如图1．要证GE=DF，只需证△MEG≌△NFD，易得 9 2 ∠EGM=∠FDN，∠EMG=∠FND，只需证MG=DN．由m=3可得k=﹣ ，从而得到反比例函 9 9 9 2x 2a 2b 数的表达式为y=﹣ ．可设E的坐标是（a，﹣ ），D的坐标是（b，﹣ ），然后运用待定 系数法求出直线BD的表达式，求出点G的横坐标，即可得到MG=DN，问题得以解决； www.youyi100.com 第 55 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （2）作EM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，如图1． 1 9 9 2 2 2x ∵k=﹣ m2，m=3，∴k=﹣ ，∴反比例函数的表达式为y=﹣ ． 9 9 2a 2b 设E的坐标是（a，﹣ ），D的坐标是（b，﹣ ），则OM=﹣a，DN=b． www.youyi100.com 第 56 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才  9  9 paq p    2a  2ab   9 9(ab)   pbq q  2a  2ab 设直线BD的解析式是y=px+q，则 ，解得： 9 9(ab) 2ab 2ab 则直线BD的表达式为y= x﹣ ，令y=0，解得：x=a+b，则xG=a+b，∴MG=a+b﹣ a=b，∴MG=DN． ∵DN⊥y轴，MG⊥y轴，∴DN∥MG，∴∠EGM=∠FDN． MGE NDF  EMG FND  MG  DN  在△MEG和△NFD中， ，∴△MEG≌△NFD（AAS），∴GE=DF； 设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），则有yS=yP=y1=k′x1+3k′+3， yR=yQ=y2=k′x2+3k′+3，∴xS+3=y1，xR+3=y2，∴xS=y1﹣3，xR=y2﹣3，∴PS=y1﹣3﹣ x1=k′x1+3k′+3﹣3﹣x1=（k′﹣1）x1+3k′，QR=y2﹣3﹣x2=k′x2+3k′+3﹣3﹣x2=（k′﹣1）x2+3k′， ∴PS+QR=（k′﹣1）（x1+x2）+6k′． 9 2x ∵P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线y=k′x+3k′+3与双曲线y=﹣ 的交点，∴x1、x2是方程 9 6(k1) 3(k1) 2x 2k k k′x+3k′+3=﹣ 即2k′x2+6（k′+1）x+9=0的解，∴x1+x2=﹣ =﹣ ，x1·x2= 9 2k www.youyi100.com 第 57 页 共 58 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才 3(k1) 3(k2 1) 3(k2 1) k k k ∴PS+QR=（k′﹣1）•[﹣ ]+6k′=6k′﹣ = ，PQ2=（x1﹣x2）2+（y1﹣ y2）2 =（x1﹣x2）2+[（k′x1+3k′+3）﹣（k′x2+3k′+3）]2 =（k′2+1）（x1﹣x2）2=（k′2+1）[（x1+x2）2﹣4x1x2] 3(k2 1) 9 9(k2 1)2 3(k2 1) k 2k k2 k 2 =（k′2+1）[（﹣ ）2﹣4· ]= ，∴PQ= ，∴PQ=PS+QR= （PM+QN ）． 考点：1．反比例函数综合题；2．和差倍分． www.youyi100.com 第 58 页 共 58 页