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思想方法专题：矩形中的折叠问题
——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想
类型一 矩形折叠问题中直接求长度 △ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y
或角度 轴于D点，则D点的坐标为_________．
1．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图
所示的图形．已知∠CEB′＝50°，则∠AEB′
＝_______°.
第5题图 第6题图
第1题图 第2题图 6．★(2016·威海中考)如图，在矩形
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm， ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中
点E，F分别是边BC，AD上一点．将矩形 点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形
ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点 内的点F处，连接CF，则CF的长为______．
C′，D′处．若 C′E⊥AD，则 EF 的长为 7．★如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，
______cm. 使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形
类型二 矩形折叠问题中利用勾股定 展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上
理结合方程思想求长度 的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此
3．如图，点O是矩形ABCD的中心，E 时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.
是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点 (1)求证：EG＝CH；
O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（ (2)已知AF＝，求AD和AB的长．
）
A．2 B. C. D．6
第3题图 第4题图
4．(2016·东营中考改编)如图，折叠矩形
ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点
F处．已知折痕 AE＝5cm，且 EC∶FC＝
BF∶AB＝3∶4，那么矩形ABCD的周长为
__________cm.
类型三 矩形折叠问题中结合其他性
质解决问题
5．如图，在矩形OABC中，OA在x轴
上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把
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90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得CF＝＝
思想方法专题：矩形中的折叠问
＝.
7．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC.由折叠的性
题答案
质可得∠ADE＝∠A′DE＝∠ADC＝45°，AE
＝EG，BC＝CH，∴∠AED＝90°－∠ADE＝
45°＝∠ADE，∴AE＝AD＝BC，∴EG＝CH；
1．65 2.6
(2)解：由折叠的性质可得∠FGE＝∠A
3．A 解析：由题意可得∠OCE＝
＝90°，GF＝AF＝.由(1)可知∠ADE＝45°，
∠BCE，∠COE＝∠B＝90°.又∵OA＝OC，
∴∠DFG＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE，
∴OE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠CAE＝
∴DG＝GF＝，∴DF＝＝2，∴AD＝AF＋DF
∠ OCE.∵AB∥CD ， ∴ ∠ ACD ＝
＝＋2.由折叠的性质可知∠AEF＝∠GEF，
∠CAE.∴∠BCE＝∠OCE＝∠ACD＝30°，
∠BEC＝∠HEC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°.
∴BE＝CE.在Rt△BCE中，CE2－BE2＝BC2，
又∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝
即CE2－＝32，∴CE＝2.故选A.
∠AFE.由(1)可知AE＝AD＝BC.在△AEF与
4．36 解析：设 EC＝3xcm，FC＝
△BCE中，
4xcm，则DE＝EF＝5xcm，∴AB＝DC＝
∴△AEF≌△BCE(AAS)，∴AF＝BE，
8xcm.又∵BF∶AB＝3∶4，∴BF＝6xcm，
∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝＋2＋＝2＋2.
∴AD＝BC＝10xcm.在Rt△ADE中，AD2＋
DE2＝AE2，即(10x)2＋(5x)2＝(5)2，解得x＝
1(取正值)．∴AB＝8cm，AD＝10cm，∴矩形
ABCD的周长为2×(10＋8)＝36(cm)．
5．(0，2.1) 解析：∵矩形OABC中，OA
＝2，AB＝5，∴BC＝2，OC＝5.∵把△ABC
沿着AC对折得到△AB′C，∴B′C＝BC，∠B′
＝∠B＝90°，∴AO＝CB′，∠AOD＝∠B′.又
∵∠ADO＝∠CDB′，∴△AOD≌△CB′D，
∴AD＝CD.设OD＝x，则AD＝CD＝5－x.在
Rt△AOD中，AD2＝OA2＋OD2，∴(5－x)2＝
22＋x2，∴x＝2.1.∴D点的坐标为(0，2.1)．
6. 解析：如图，连接BF交AE于H，由
折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE
＝∠FAE，AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E
为BC的中点，∴BE＝BC＝3.又∵AB＝4，
∴在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE＝＝
5.∵S ＝AB·BE＝AE·BH，∴BH＝，则BF
△ABE
＝2BH＝.∵E是BC的中点，∴FE＝BE＝
EC，∴∠EBF＝∠BFE，∠ECF＝∠EFC.又
∵∠EBF＋∠BFE＋∠EFC＋∠ECF＝
180°，∴∠BFE＋∠EFC＝90°，即∠BFC＝
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