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如图，b c，a b， 1=130°，则 2等于（ ）
A. 30∘
10. ∥ ⊥ ∠ ∠
2018-2019 学年广东省深圳市南山区八年级（上）期末数学试卷 B. 40∘
C. 50∘
D. 60∘
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图是一次函数y=kx+b与y=x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞
下列各数中是无理数的是（ ） 1 2
0；③b＞0：④方程kx+b=x+a的解是x=3，错误的个数是（ ）
11.
1. A. 3.14 B. √38 C. ❑√15 D. ❑√16 A. 1个
B. 2个
在下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
C. 3个
2. A. ❑√8 B. ❑√10 C. ❑√12 D. ❑√27 D. 4个
点P（-2，-3）关于x轴的对称点为（ ） 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大
正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两
3. A. (−3,−2) B. (2,3) C. (2,−3) D. (−2,3) 12.
直角边长（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=64：②x-y=3；③2xy=55；
一组数据由m个a和n个b组成，那么这组数据的平均数是（ ） ④x+y=11．其中正确的是（ ）
4. a+b a+b ma+nb ma+nb
A. B. C. D.
2 m+n a+b m+n
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB x轴，则m的值为（ ）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
5. ∥
A. −1 B. −4 C. 2 D. 3
64的平方根是______．
√1
估计❑√8×❑ +❑√18的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ） 13. 一组数据：-1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是______．
2
6. 14.
如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则
A. 5和6 B. 6和7 C. 7和8 D. 8和9
这个正比例函数的表达式是______．
15.
某一次函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）
7. A. y=2x+4 B. y=3x−1 C. y=−3x+1 D. y=−2x+4
{ y=−x+2
以方程组 y=x− 1 的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（ ） 如图1，点P从 ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的
8. 长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则 ABC的面积是______．
16. △
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
△
如图是某单元楼居民六月份的用电（单位：度）情况，则关于用
电量描述不正确的是（ ）
9.
A. 众数为30
B. 中位数为25
C. 平均数为24
D. 方差为83
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
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1 1解下列方程组
17. { x+2y=0
（1） 3x+4 y= 6
{y+1 x+2
=
（2） 4 3
2x−3 y=1
如图，在四边形ABDC中， A=90°，AB=9，AC=12，BD=8，CD=17．
四、解答题（本大题共6小题，共46.0分）
（1）连接BC，求BC的长；
20. ∠
计算
（2）求 BCD的面积．
（1）2❑√2-2❑√3+3❑√2+3❑√3
18.
△
（2）（❑√7+❑√3）（❑√7−❑√3）
❑√12+❑√27
（3） +√3−8
❑√3
6 1
（4）❑√(−5) 2+|3-❑√12|- +（ ）-1
❑√3 3
某校为奖励该校在南山区第二届学生技能大赛中表现突出的20名同学，派李老师为这些同学购买奖
如图，AB CD EF，且 ABE=70°， ECD=150°，求 BEC的度数．
品，要求每人一件，李老师到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记
21.
19. ∥ ∥ ∠ ∠ ∠ 本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
（1）求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？
（2）售货员提示，购买笔记本没有优惠：买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么
超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞10）支钢笔，所需费用为y元，请你求出y与x之间的函数
关系式；
（3）在（2）的条件下，如果买同一种奖品，请你帮忙计算说明，买哪种奖品费用更低．
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2 2对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且
k≠0），
22.
则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），
即P′（9，6）．
（Ⅰ）点P（-2，3）的“3属派生点”P′的坐标为______；
（Ⅱ）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，-9），求点P的坐标；
（Ⅲ）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长
度的2倍，求k的值．
4
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=- x+4与x轴、y轴分别
3
23. 交于点A、点B，点D（0，-6）在y轴的负半轴上，若将 DAB沿
直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交
△
AB于点E．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求 ADE的面积；
1
△
（3）y轴上是否存在一点P，使得S = S ，若存在，请直接
PAD 2 ADE
△ △
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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3 13.【答案】D
答案和解析
【解析】
1.【答案】C 解： 点P（-2，-3），
【解析】
关∵于x轴的对称点为（-2，3）．
解：A．3.14是有限小数，属于有理数；
∴
B． =2，是整数，属于有理数； 故选：D．
C． 是无理数； 关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数
D． =4，是整数，属于有理数； 本题主要考查坐标的关于x轴对称的特点．
故选：C． 4.【答案】D
【解析】
初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规
解：该组数据的和=ma+nb，该组数据的个数=m+n；
律的数．由此即可判定选择项．
则平均数 ；
本题考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有
故选：D．
理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循
由题意知，这组数总共有m+n个，m个a和为ma，n个b的和为nb，则根据平均数的定义即可
环小数是无理数．由此即可判定选择项．
求得该组数据的平均数．
2.【答案】B
本题考查了加权平均数的计算，弄清数据的和以及个数是解题的关键．
【解析】
解：A、被开方数8=22×2，其中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误．
5.【答案】A
【解析】
B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
解： 点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），且直线AB x轴，
C、被开方数12=22×3，其中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误． -2=∵m-1 ∥
m=-1
∴
D、被开方数27=32×2，其中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误．
∴故选：A．
故选：B．
AB x轴，可得A和B的纵坐标相同，即可求出m的值．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否 ∥
此题主要考查了平行于x轴的坐标特点．
同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
6.【答案】B
【解析】
本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
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4 2解：根据题意 ，
解： × + =2 × +3 =2+3 ，
可知-x+2=x-1，
6＜2+3 ＜7， x= ，
∵ ∴
y= ．
× + 的运算结果在6和7两个连续自然数之间，
∴x＞0，y＞0，
∴
故选：B． ∵该点坐标在第一象限．
∴
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算． 故选：A．
本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式 此题可解出的x、y的值，然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内．
的形式后再运算．最后估计无理数的大小． 此题考查二元一次方程组的解法及象限的符号特征：
7.【答案】D 利用代入消元或加减消元求得方程组的解为x= ，y= ，
【解析】
解：设一次函数关系式为y=kx+b，
第一象限横纵坐标都为正；
图象经过点（1，2），
第二象限横坐标为负；纵坐标为正；
∵k+b=2；
第三象限横纵坐标都为负；
y随x增大而减小，
∴
k＜0．
∵
第四象限横坐标为正，纵坐标为负．
∴即k取负数，满足k+b=2的k、b的取值都可以．
9.【答案】D
【解析】
故选：D．
解：A、众数是30，命题正确；
设一次函数关系式为y=kx+b，y随x增大而减小，则k＜0；图象经过点（1，2），可得k、b之间的
B、中位数是： =25，命题正确；
关系式．综合二者取值即可．
C、平均数是： =24，则命题正确；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，为开放性试题，答案不唯一．只
D、方差是： [2×（10-24）2+3×（20-24）2+4×（30-24）2+（40-24）2]=84，故命题错误．
要满足条件即可．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】 利用众数、中位数定义以及加权平均数和方差的计算公式即可求解．
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5 1本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的 综上所述，错误的个数是1．
关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 故选：A．
10.【答案】B 根据一次函数的性质对 进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对 进行判断．
【解析】
①②③ ④
解： 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值
大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上
（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12.【答案】B
b c，a b， 【解析】
a c，
∵ ∥ ⊥ 解： ABC为直角三角形，
3=90°，
∴ ⊥
1=90°+ 4， ①∵△
∴∠
根据勾股定理：x2+y2=AB2=64，
130°=90°+ 4，
∵∠ ∠
4=40°， ∴
∴ ∠ 故本选项正确；
2= 4=40°，
∴∠
∴故∠选：∠B． 由图可知，x-y=CE= =3，
②
证明 3=90°，利用三角形的外角的性质求出 4即可解决问题． 故本选项正确；
由2xy+9=64可得2xy=55，
∠ ∠
本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基
③故本选项正确；
本知识，属于中考常考题型．
x2+2xy+y2=64+55，
11.【答案】A
④∵
【解析】
整理得，（x+y）2=119，
解： 一次函数y =kx+b经过第一、二、三象限，
1 x+y= ≠11，
k＜∵0，b＞0，所以 正确；
故本选项错误；
∴直线y =x+a的图①象与③y轴的交点在x轴，下方，
2
∵ 正确结论有 ．
a＜0，所以 错误；
∴ ①②③
∴ ② 故选：B．
一次函数y =kx+b与y =x+a的图象的交点的横坐标为3，
1 2
∵ 根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
x=3时，kx+b=x-a，所以 正确．
∴ ④ 第 页，共 页
6 22=-k
本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清
解得：k=-2
∴
图中的关系是解题的关键． 正比例函数的解析式为：y=-2x，
∴
13.【答案】±8 故答案为：y=-2x
【解析】
解： （±8）2=64，
首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即
可求解．
64∵的平方根是±8．
∴故答案为：±8．
本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是首先求得点P的坐标．
16.【答案】12
直接根据平方根的定义即可求解．
【解析】
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负 解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
数没有平方根．
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，
14.【答案】3
即BC=5，
【解析】
解： 一组数据：-1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，
由于M是曲线部分的最低点，
∵
x=3， 此组数据为-1，2，3，3，5，
此时BP最小，
∴即BP AC，BP=4，
∴ ∴
这组数据的中位数为3，
由勾股定理可知：PC=3，
⊥
∴
故答案为3．
∴由于图象的曲线部分是轴对称图形，
PA=3，
先根据数据的众数确定出x的值，即可得出结论．
AC=6，
∴
此题主要考查了数据的中位数，众数的确定，掌握中位数和众数的确定方法是解本题的关键．
∴ ABC的面积为： ×4×6=12
∴△
故答案为：12
15.【答案】y=-2x
【解析】
根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，
解： 正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，P点的纵坐标为2，
2=∵-x+1 从而可求出BC与AC的长度．
解得：x=-1
∴
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于
点P的坐标为（-1，2），
∴
中等题型．
设正比例函数的解析式为y=kx，
∴
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7 117.【答案】解：（1） ， （4）原式=5+2❑√3-3-2❑√3+3
=5．
①×3-②得：（3x+6y）-（3x+4y）=0-6，
【解析】
2y=-6，
y=-3，
∴
（1）直接合并同类二次根式进而得出答案；
将y=-3代入①得：x=6，
∴
{ x=6
该方程组的解为 y=− 3 ； （2）直接利用平方差公式计算得出答案；
∴
{y+1 x+2 （3）直接化简二次根式得出答案；
= ①
（2） 4 3 ，
2x−3 y=1②
（4）直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
该方程可化为 ， 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
①+②得：-2x=6，
19.【答案】解： AB EF，
x=-3，
ABC= BEF=70°，
7 ∵ ∥
∴ 将x=-3代入①中，y=− ，
3 CD EF，
∴∠ ∠
ECD+ CEF=180°，
∵ ∥
{x=−3
∴∠
ECD=
∠
150°，
该方程组的解为 7． CEF=30°，
y=− ∵∠
3
BEC= BEF- CEF=40°．
∴ ∴∠
【解析】
【解析】 ∴∠ ∠ ∠
（1）根据二元一次方程的解法即可求出答案．
根据 BEC= BEF- ECF，求出 BEF， CEF即可解决问题．
（2）根据二元一次方程的解法即可求出答案．
∠ ∠ ∠ ∠ ∠
本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
础题型． 20.【答案】解：（1） A=90°，AB=9，AC=12
BC=❑√AB2+AC2=15 ∵ ， ∠
18.【答案】解：（1）原式=（-2❑√3+3❑√3）+（2❑√2+3❑√2）
∴
=❑√3+5❑√2；
（2） BC=15，BD=8，CD=17
BC2+BD2=CD2
（2）原式=7-3=4； ∵
BCD是直角三角形
∴
2❑√3+3❑√3 ∴△ 1
S = ×15×8=60．
（3）原式= -2 BCD 2
❑√3
△
∴【解析】
=5-2
=3；
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8 2（1）根据勾股定理可求得BC的长．
（Ⅲ） 点P（a，b）在x轴的正半轴上，
（2）根据勾股定理的逆定理可得到 BCD也是直角三角形，根据三角形的面积即可得到结论．
b=0∵，a＞0．
△
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，通过作辅 ∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），
∴
助线证明三角形是直角三角形是解决问题的关键． 线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|，
∴
21.【答案】解：（1）设笔记本，钢笔单价分别为x，y元，根据题意得 P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
{ 4x+2y=86
3x+ y= 57 ∵
根据题意，有|PP'|=2|OP|，
解得x=14，y=15，
|ka|=2a，
答：笔记本，钢笔单价分别为14元，15元；
a＞0，
（2）y=14（20-x）+15×10+15×0.8（x-10）=-2x+310； ∴
|k|=2．
（3）买20本笔记本费用：20×14=280元； ∵
从而k=±2．
买20支钢笔费用：10×15+10×15×0.8=270元， ∴
所以买钢笔费用低． （Ⅰ）根据“k属派生点”计算可得；
【解析】
（Ⅱ）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之
（1）设笔记本，钢笔单价分别为x，y元列方程组求解； 可得；
（Ⅲ）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可
（2）若买x（x＞10）支钢笔，则买（20-x）支钢笔，根据单价可写出y与x之间的函数关系式；
得．
（3）分别计算购买20本笔记本和20支钢笔的费用，比较即可．
本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
本题考查一次函数相关知识．正确列出表达式是解答关键．
4
23.【答案】解：（1）当x=0时，y=- x+4=4，
3
22.【答案】（7，-3）
点B的坐标为（0，4）；
【解析】
4
∴
当y=0时，- x+4=0，
解：（Ⅰ）点P（-2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（-2+3×3，-2×3+3），即（7，-3）， 3
解得：x=3，
故答案为：（7，-3）； 点A的坐标为（3，0）．
在Rt AOB中，OA=3，OB=4，
∴
AB= △ ❑√OA2+OB2=5．
（Ⅱ）设P（x，y），
∴由折叠的性质，可知： BDA= CDA， D= C，AC=AB=5，
依题意，得方程组： ， OC=OA+AC=8，
∠ ∠ ∠ ∠
点C的坐标为（8，0）．
∴
解得 ， （2） B= C， OAB= EAC，
∴
OAB EAC，
点P（-2，1）． ∵∠ ∠ ∠ ∠
第 页，共∴△页 ∽△
∴
9 1AEC= AOB=90°．
判定定理HL证出Rt AOD Rt AED；（3）利用三角形的面积公式结合S = S ，找出
PAD ADE
又 BDA= CDA，
∴∠ ∠
AO=AE． △ ≌ △ △ △
∵∠ ∠ 关于m的含绝对值符号的一元一次方程．
∴ { AO=AE
在Rt AOD和Rt AED中， AD= AD ，
Rt △AOD Rt A△ED（HL），
1
∴ △ ≌ △
S =S = OA•OD=9．
ADE ADO 2
△ △
∴（3）假设存在，设点P的坐标为（0，m），则DP=|m+6|．
1 1 1 1
S = S ，即 DP•OA= × OD•OA，
PAD 2 ADE 2 2 2
△ △
∵|m+6|=3，
解得：m=-3或m=-9，
∴
1
假设成立，即y轴上存在一点P（0，-3）或（0，-9），使得S = S ．
PAD 2 ADE
△ △
∴【解析】
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，在Rt AOB中，利用勾股定理
△
可求出AB的长度，由折叠的性质可得出AC=AB，结合OC=OA+AC可得出OC的长度，进而
可得出点C的坐标；
（2）由 B= C， OAB= EAC可得出 OAB EAC，利用相似三角形的性质可得出
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
AEC= AOB=90°，由 BDA= CDA利用角平分线的性质可得出AO=AE，进而可得出
∠ ∠ ∠ ∠
Rt AOD Rt AED（HL），再利用全等三角形的性质及三角形的面积公式可求出 ADE的面
△ ≌ △ △
积；
（3）假设存在，设点P的坐标为（0，m），则DP=|m+6|，利用三角形的面积公式可得出关于m的
含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角
形的判定与性质、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）利用
一次函数图象上点的坐标特征及折叠的性质，找出点A，B，C的坐标；（2）利用全等三角形的
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