文档内容
2019年江苏省镇江市扬中市中考数学一模试卷
一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
1．如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x﹣2的值是 ．
2．若am＝2，an＝3，则am﹣n的值为 ．
3．若a，b都是实数，b＝ + ﹣2，则ab的值为 ．
4．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系是 ．
5．因式分解：a3﹣ab2＝ ．
6．某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成
绩的中位数是 ．
7．已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则b的值为 ．
8．在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为
90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为 ．
9．如图，在 ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则
下列结论▱：
（1）∠DCF+ ∠D＝90°；（2）∠AEF+∠ECF＝90°；（3）S ＝2S ；（4）若∠B＝80°，则∠AEF
△BEC △CEF
＝50°．
其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）10．T 、T 分别为 O的内接正六边形和外切正六边形．设T 的半径r，T 、T 的边长分别为a、b，T 、T
1 2 1 1 2 1 2
⊙
的面积分别为S 、S ．下列结论： r：a＝1：1； r：b＝ ； a：b＝1： ； S ：S ＝3：4．
1 2 1 2
① ② ③ ④
其中正确的有 ．（填序号）
11．如图， O的半径为 ，圆心与坐标原点重合，在直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点
⊙
称为格点，则 O上格点有 个，设L为经过 O上任意两个格点的直线，则直线L同时经
过第一、二、⊙四象限的概率是 ． ⊙
12．如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y＝ 的图象相交于点B，且B点的横坐标为
3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线y＝ax2﹣4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当
PA+PB最小时，P点的坐标为 ．二．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）
13．国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空气质量明
显好转，将惠及13.75亿中国人，这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．13.75×106 B．13.75×105 C．1.375×108 D．1.375×109
14．如图，几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知关于x的方程2x﹣a＝x﹣1的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1
16．如图，已知公路l上A、B两点之间的距离为50m，小明要测量点C与河对岸边公路l的距离，测得
∠ACB＝∠CAB＝30°．点C到公路l的距离为（ ）A．25m B． m C．25 m D．（25+25 ）m
17．如图，将长16cm，宽8cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为（ ）
cm．
A．6 B．4 C．10 D．2
三．解答题（共11小题，满分91分）
18．（8分）（1）计算： ；
（2）化简： ．
19．（10分）（1）解方程2（x﹣3）＝4x﹣5．
（2）解不等式组
20．（6分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，说明
△ADE与△DCF全等的理由．
21．（6分）不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取
一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，（用列表或树形图求下列事件的概率）
（1）两次取的小球都是红球的概率；
（2）两次取的小球是一红一白的概率．22．（14分）某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘
制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩x/分 频数 频率
第1段 x＜60 2 0.04
第2段 60≤x＜70 6 0.12
第3段 70≤x＜80 9 b
第4段 80≤x＜90 a 0.36
第5段 90≤x≤100 15 0.30
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第 段；
（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成
绩为优的有多少人？
23．（8分）如图，∠ABC＝90°， ＝ ，BC＝6，AD＝DC，∠ADC＝60°．
（1）求AC长．
（2）求△ADC的面积．24．（7分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7
元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用
1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售
完剩余的书．
（1）第一次购书的进价是多少元？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若
赚钱，赚多少？
25．（7分）如图，AB是 O的直径， ＝ ，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连
⊙
接AF交 O于点D，连接BD，BF．
（1）求证⊙：直线BF是 O的切线；
（2）若OB＝2，求BD⊙的长．
26．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣ x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点
1
（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣ x＞ 的解集；（3）将直线l ：y＝ x沿y向上平移后的直线l 与反比例函数y＝ 在第二象限内交于点C，如果
1 2
△ABC的面积为30，求平移后的直线l 的函数表达式．
2
27．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a的最高点的纵坐标是2．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；
（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G ，将图象G 沿直线x＝1翻折，翻折后的图象记为
1 1
G ，图象G 和G 组成图象G．过（0，b）作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点
2 1 2
时，将这两个公共点分别记为P （x ，y ），P（x ，y ），求b的取值范围和x +x 的值．
1 1 1 2 2 1 2
28．（10分）问题发现．
（1）如图 ，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为
． ①
（2）如图 ，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任
意一点，把③△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最
小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．2019 年江苏省镇江市扬中市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
1．【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得关于x的方程，解出即可得出x的值，继而得出x﹣2
的值．
【解答】解：由题意得：5x+3+（﹣2x+9）＝0，
解得：x＝﹣4，
∴x﹣2＝﹣6．
故填﹣6．
【点评】本题考查相反数的知识，掌握互为相反数的两数之和为0是关键．
2．【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：am﹣n＝am÷an＝2÷3＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
3．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．
【解答】解：∵b＝ + ﹣2，
∴1﹣2a＝0，
解得：a＝ ，
则b＝﹣2，
故ab＝（ ）﹣2＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．
4．【分析】过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．
【解答】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°，
∴z+90°＝y+x，即x+y﹣z＝90°．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有： 两直线平
行，同位角相等， 两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同旁内角互补，题目比较①好，难度适
中． ② ③
5．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式
继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．
本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
6．【分析】直接根据中位数的定义求解．
【解答】解：将这6位同学的成绩重新排列为75、75、84、86、92、99，
所以这六位同学成绩的中位数是 ＝85，
故答案为：85．
【点评】本题考查了中位数的概念．找中位数时需要对这一组数据按照从大到小或从小到大的顺序
进行排序．7．【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．
【解答】解：根据题意知，△＝b2﹣4＝0，
解得：b＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长和弧长公式得到2 r＝ ，解得r＝1，然后利用扇形的半径等于圆锥的母线长和勾
π
股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2 r＝ ，解得r＝1，
π
所以所围成的圆锥的高＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
9．【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出（1）正确；
由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF＝MF，∠AEF＝∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出
CF＝ EM＝EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC＝∠ECF，得出（2）正确；
证出S ＝S ，由MC＞BE，得出S ＜2S ，得出（3）错误；
△EFC △CFM △BEC △EFC
由平行线的性质和互余两角的关系得出（4）正确；即可得出结论．
【解答】解：（1）∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴AF▱＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，∠BCD+∠D＝180°，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝ ∠BCD，
∴∠DCF+ ∠D＝90°，
故（1）正确；
（2）延长EF，交CD延长线于M，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝ EM＝EF，
∴∠FEC＝∠ECF，
∴∠AEF+∠ECF＝∠AEF+∠FEC＝∠AEC＝90°，
故（2）正确；（3）∵EF＝FM，
∴S ＝S ，
△EFC △CFM
∵MC＞BE，
∴S ＜2S
△BEC △EFC
故（3）错误；
（4）∵∠B＝80°，
∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣80°＝100°，
∴∠BCF＝ ∠BCD＝50°，
∴∠FEC＝∠ECF＝50°﹣10°＝40°，
∴∠AEF＝90°﹣40°＝50°，
故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角
三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．
10．【分析】根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a＝1：1；在由圆的半径和正六边形的半边
以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
根据相似多边形的面积比是相似比的平方．可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．
【解答】解：连接圆心O和T 的6个顶点可得6个全等的正三角形．
1
所以r：a＝1：1；故 正确；
连接圆心O和T
2
相邻①的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b＝AO：BO＝sin60°＝ ：2；故 正确；
②
a：b＝ ：2；故 错误；
③T ：T 的边长比是 ：2，所以S ：S ＝（a：b）2＝3：4．故 正确；
1 2 1 2
④
故答案为：
①②④
【点评】本题考查了正多边形与圆的关系，在计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多
边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形
的面积比即是其相似比的平方．
11．【分析】将原题转化为多边形的边数和对角线的条数的问题解答．
【解答】解：连接ABCDEFGH可得到八边形，八边形各边共有 ＝20条对角线，连同8条
边所在8条直线，共28条，而过第一、二、四象限的直线共4条，直线L同时经过第一、二、四象限
的概率是 ＝ ．
【点评】此题结合一次函数的性质，考查了概率公式，关键是求出过任意两格点的直线的条数．
12．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后
求出点A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴
的交点，从而可以解答本题．
【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y＝ 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），
∴点B（3，3），
∴ ，
解得， ，
∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣2），
设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y＝mx+n，
，得 ，
∴直线A′B的函数解析式为y＝5x﹣12，
令y＝0，则0＝5x﹣12得x＝ ，
故答案为：（ ，0）．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特
征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想
解答．
二．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）
13．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：13.75亿这个数字用科学记数法表示为1.375×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决
本题的关键．
15．【分析】本题首先要解这个关于x的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于a的不等式，
最后求出a的取值范围．
【解答】解：原方程可整理为：（2﹣1）x＝a﹣1，
解得：x＝a﹣1，
∵方程x的方程2x﹣a＝x﹣1的解是非负数，
∴a﹣1≥0，
解得：a≥1．
故选：A．
【点评】本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解关于x的不等式是本题的一个
难点．
16．【分析】作CD⊥直线l，由∠ACB＝∠CAB＝30°，AB＝50m知AB＝BC＝50m，∠CBD＝60°，根据
CD＝BCsin∠CBD计算可得．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥直线l于点D，
∵∠ACB＝∠CAB＝30°，AB＝50m，
∴AB＝BC＝50m，∠CBD＝60°，在Rt△BCD中，∵sin∠CBD＝ ，
∴CD＝BCsin∠CBD＝50× ＝25 （m），
故选：C．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转
化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
17．【分析】连接AC，则EF垂直平分AC，推出△AOE∽△ABC，根据勾股定理，可以求出AC的长度，
根据相似三角形对应边的比等于相似比求出OE，即可得出EF的长．
【解答】解：连接AC，与EF交于O点，
∵E点在AB上，F在CD上，A、C点重合，EF是折痕，
∴AO＝CO，EF⊥AC，
∵AB＝16，BC＝8，
∴AC＝ ，
∴AO＝ ，
∵∠EAO＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴OE：BC＝AO：BA，即
∴OE＝ ，
∴EF＝2OE＝ ．
故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、折叠的性质；熟练掌握
矩形的性质和折叠的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
三．解答题（共11小题，满分91分）
18．【分析】（1）根据幂的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝4+1+|1﹣2× |
＝4+1+|1﹣ |
＝4+1+ ﹣1
＝4+ ；
（2）
＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，解答本
题的关键是明确它们各自的计算方法．19．【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1求出x的解；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1）去括号2x﹣6＝4x﹣5
移项，合并得﹣2x＝1
化系数为1，x＝﹣ ．
（2）
由 得x＞﹣2，
由①得x≤2．
故②不等式组的解集为：﹣2＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．【分析】根据三角形的中线的概念得到AD＝DC，根据AAS定理证明△ADE与△DCF全等．
【解答】证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠DCF，∠DFC＝∠EDF，
∵DF∥AB，
∴∠AED＝∠EDF，
∴∠AED＝∠DFC，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的
一半是解题的关键．
21．【分析】（1）用列表法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案，
（2）由（1）的图表，可得要求的情况，与总情况作比即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，有
两次取的小球都是红球的概率为 ；
（2）由（1）可得，两次取的小球是一红一白的有4种；
故其概率为 ．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【分析】（1）由x＜60的频数及其频率求出被调查的学生总数，再根据频数＝频率×总数求解可得；
（2）根据（1）中所求结果补全图形可得；
（3）根据中位数的定义求解可得；
（4）总人数乘以样本中90≤x≤100的频率即可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为2÷0.04＝50，
则a＝50×0.36＝18、b＝9÷50＝0.18，
故答案为：18、0.18；
（2）补全直方图如下：（3）∵共有50个数据，
∴其中位数是第25，26个数据的平均数，而第25，26个数据均落在第4组，
∴中位数落在第4组，
故答案为：4．
（4）400×0.30＝120，
答：估计该年级成绩为优的有120人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，
必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．【分析】（1）根据题意，在直角三角形ABC中利用AB2+BC2＝AC2，即可求得AC的长；
（2）根据AD＝DC，∠ADC＝60°，可知三角形ACD是等边三角形且变长为8，然后求得三角形的高，
再利用三角形面积公式即可求得面积．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°， ＝ ，BC＝6，
∴AB＝ AC，即AB2＝ AC2，BC2＝36，
又∵AB2+BC2＝AC2，
∴ AC2+36＝AC2，36＝ AC2，
∴AC＝8，
（2）∵AD＝DC，∠ADC＝60°．
∴三角形ACD是等边三角形，
∴AD＝DC＝AC＝8，
∴如图所示，过点D作三角形ACD的高于AC交于点E，
∴DE2＝AD2﹣ ＝64﹣ ＝16×3，
∴DE＝4 ，∴S ＝ ×4 ×8＝16 ．
△ACD
【点评】本题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出AC的
长度，此题难度不大．
24．【分析】（1）设第一次购书的单价为x元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本
书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求
出x的值即可得出答案；
（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出二次
赚的钱数，再分别相加即可得出答案．
【解答】解：（1）设第一次购书的单价为x元，根据题意得：
+10＝ ．
解得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解，
答：第一次购书的进价是5元；
（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），
所以两次共赚钱480+40＝520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点评】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适
的等量关系是解决问题的关键．
25．【分析】（1）证明△OCE≌△BFE（SAS），可得∠OBF＝∠COE＝90°，可得结论；（2）由（1）得：△OCE≌△BFE，则BF＝OC＝2，根据勾股定理得：AF＝2 ，利用面积法可得BD
的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是 O的直径， ＝ ，
⊙
∴∠BOC＝90°，
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE，
在△OCE和△BFE中，
∵ ，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF＝∠COE＝90°，
∴直线BF是 O的切线；
（2）解：∵O⊙B＝OC＝2，
由（1）得：△OCE≌△BFE，
∴BF＝OC＝2，
∴AF＝ ＝ ＝2 ，
∴S ＝ ，
△ABF
4×2＝2 •BD，
∴BD＝ ．【点评】本题考查圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟
练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
26．【分析】（1）直线l 经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k
1
的值；
（2）依据直线l ：y＝﹣ x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，即可得到不等式﹣ x＞ 的
1
解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）设平移后的直线l 与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD∥AB，即可得出△ABC的面积与
2
△ABD的面积相等，求得D（15，0），即可得出平移后的直线l 的函数表达式．
2
【解答】解：（1）∵直线l ：y＝﹣ x经过点A，A点的纵坐标是2，
1
∴当y＝2时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y＝ 的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ；
（2）∵直线l ：y＝﹣ x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，
1
∴B（4，﹣2），∴不等式﹣ x＞ 的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l 与x轴交于点D，连接AD，BD，
2
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S +S ＝30，即 OD（|y |+|y |）＝30，
△AOD △BOD A B
∴ ×OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线l 的函数表达式为y＝﹣ x+b，
2
把D（15，0）代入，可得0＝﹣ ×15+b，
解得b＝ ，
∴平移后的直线l 的函数表达式为y＝﹣ x+ ．
2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上
点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△ABC的面积与△ABD的面积相等，得到D点的坐标为（15，0）．
27．【分析】（1）依据配方法将函数关系式变形为y＝a（x﹣2）2﹣a，再依据顶点纵坐标为2可求得a的
值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）先根据题意画出图形，由图象可知b＝2或﹣6≤b＜0，由图象的对称性可求x +x 的值．
1 2
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴对称轴为直线x＝2，
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a的最高点的纵坐标是2，
∴a＝﹣2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+2＝﹣2x2+8x﹣6；
（2）如图，由图象可知b＝2或﹣6≤b＜0，
由图象的对称性可得：x +x ＝2．
1 2
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解
析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值的应用．
28．【分析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；
（2）先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即
可求出CM+MN的最小值；
（3）先确定出EG⊥AC时，四边形AGCD的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，
最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．
【解答】解：（1）如图 ，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，
在Rt△ABC中，AC＝①3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，
∵ AC×BC＝ AB×CD，∴CD＝ ＝ ，
故答案为 ；
（2）如图 ，作出点C关于BD的对称点E，
过点E作E②N⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，
∵CE⊥BC，
∴ BD×CF＝ BC×CD，
∴CF＝ ＝ ，
由对称得，CE＝2CF＝ ，
在Rt△BCF中，cos∠BCF＝ ＝ ，
∴sin∠BCF＝ ，
在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝ ＝ ；
即：CM+MN的最小值为 ；
（3）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S ＝S +S ＝ AD×CD+ AC×h＝ ×4×3+ ×5×h＝ h+6，
四边形AGCD △ACD △ACG
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝ ＝ ，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝ ＝ ，
∴EH＝ AE＝ ，
∴h＝EH﹣EG＝ ﹣1＝ ，
∴S ＝ h+6＝ × +6＝ ，
四边形AGCD最小
过点F作FM⊥AC于M，
∵EH⊥FG，EH⊥AC，
∴四边形FGHM是矩形，
∴FM＝GH＝
∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，
∴△CMF∽△CBA，∴ ，
∴ ，
∴CF＝1
∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是
确定出满足条件的点的位置，是一道很好的中考常考题．
