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2019年江苏省苏州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）（2019•苏州）5的相反数是
A． B． C．5 D．
2．（3分）（2019•苏州）有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为
A．2 B．4 C．5 D．7
3．（3分）（2019•苏州）苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万
元，数据26000000用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•苏州）如图，已知直线 ，直线 与直线 ， 分别交于点 ， ．若
，则 等于
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•苏州）如图， 为 的切线，切点为 连接 、 ， 与 交于点
，延长 与 交于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬
面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买
到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为 元，根据题意可列出的方程为
第1页（共29页）A． B． C． D．
7．（3分）（2019•苏州）若一次函数 ， 为常数，且 的图象经过点 ，
，则不等式 的解为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼 的高度，将测角仪 竖直放置
在与教学楼水平距离为 的地面上若测角仪的高度是 ．测得教学楼的顶部 处的
仰角为 ．则教学楼的高度是
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•苏州）如图，菱形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，将
沿点 到点 的方向平移，得到△ ．当点 与点 重合时，点 与点 之间的
距离为
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（3分）（2019•苏州）如图，在 中，点 为 边上的一点，且 ，
．过点 作 ， 交 于点 ．若 ，则 的面积为
第2页（共29页）A． B．4 C． D．8
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
11．（3分）（2019•苏州）计算： ．
12．（3分）（2019•苏州）因式分解： ．
13．（3分）（2019•苏州）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围为 ．
14．（3分）（2019•苏州）若 ， ，则 的值为 ．
15．（3分）（2019•苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，
被誉为“东方魔板”．图①是由边长为 的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图
②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长
为 （结果保留根号）．
16．（3分）（2019•苏州）如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长
为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为
．
17．（3分）（2019•苏州）如图，扇形 中， ． 为弧 上的一点，过点 作
，垂足为 ， 与 交于点 ．若 ， ，则该扇形的半径长为 ．
第3页（共29页）18．（3分）（2019•苏州）如图，一块含有 角的直角三角板，外框的一条直角边长为 ，
三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 ，则图中阴影部分的面积为
（结果保留根号）．
三、解答题；本大题共10小题，共76分．把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写出必
要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签宇笔．
19．（5分）（2019•苏州）计算：
20．（5分）（2019•苏州）解不等式组：
21．（6分）（2019•苏州）先化简，再求值： ，其中， ．
22．（6分）（2019•苏州）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字
1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是 ；
（2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2
张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．
23．（8分）（2019•苏州）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个
课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴
趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成
如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问
题：
第4页（共29页）（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2） ， ；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
24．（8分）（2019•苏州）如图， 中，点 在 边上， ，将线段 绕 点旋转
到 的位置，使得 ，连接 ， 与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
25．（8分）（2019•苏州）如图， 为反比例函数 （其中 图象上的一点，在 轴正半
轴上有一点 ， ．连接 ， ，且 ．
（1）求 的值；
（2）过点 作 ，交反比例函数 （其中 的图象于点 ，连接 交 于点
，求 的值．
第5页（共29页）26．（10分）（2019•苏州）如图， 为 的直径， 为 上一点， 是弧 的中点，
与 、 分别交于点 、 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的值．
27．（10分）（2019•苏州）已知矩形 中， ，点 为对角线 上的一点，且
．如图①，动点 从点 出发，在矩形边上沿着 的方向匀速运动（不
包含点 ．设动点 的运动时间为 ， 的面积为 ， 与 的函数关系如图②
所示．
（1）直接写出动点 的运动速度为 ， 的长度为 ；
（2）如图③，动点 重新从点 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一
个动点 从点 出发，在矩形边上沿着 的方向匀速运动，设动点 的运动速度
为 ．已知两动点 ， 经过时间 在线段 上相遇（不包含点 ，动点 ，
相遇后立即同时停止运动，记此时 与 的面积分别为 ，
①求动点 运动速度 的取值范围；
②试探究 是否存在最大值，若存在，求出 的最大值并确定运动时间 的值；若不存
第6页（共29页）在，请说明理由
．
28．（10分）（2019•苏州）如图①，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 位
于点 的左侧），与 轴交于点 ．已知 的面积是6．
（1）求 的值；
（2）求 外接圆圆心的坐标；
（3）如图②， 是抛物线上一点， 为射线 上一点，且 、 两点均在第三象限内， 、
是位于直线 同侧的不同两点，若点 到 轴的距离为 ， 的面积为 ，且
，求点 的坐标．
第7页（共29页）2019 年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）5的相反数是
A． B． C．5 D．
【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
【解答】解：5的相反数是 ．
故选： ．
2．（3分）有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为
A．2 B．4 C．5 D．7
【分析】将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：这组数据排列顺序为：2，2，4，5，7，
这组数据的中位数为4，
故选： ．
3．（3分）苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据
26000000用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：将26000000用科学记数法表示为： ．
故选： ．
4．（3分）如图，已知直线 ，直线 与直线 ， 分别交于点 ， ．若 ，则 等
于
第8页（共29页）A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线的性质得出 的度数，再利用邻补角的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：
， ，
，
．
故选： ．
5．（3分）如图， 为 的切线，切点为 连接 、 ， 与 交于点 ，延长 与
交于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【 分 析 】 由 切 线 的 性 质 得 出 ， 由 直 角 三 角 形 的 性 质 得 出
，由等腰三角形的性质得出 ，再由三角形的外角
性质即可得出答案．
【解答】解： 为 的切线，
，
，
，
第9页（共29页），
，
，
；
故选： ．
6．（3分）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两
人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量
的笔记本，设软面笔记本每本售价为 元，根据题意可列出的方程为
A． B． C． D．
【分析】直接利用用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本，
得出等式求出答案．
【解答】解：设软面笔记本每本售价为 元，
根据题意可列出的方程为： ．
故选： ．
7．（3分）若一次函数 ， 为常数，且 的图象经过点 ， ，则不等
式 的解为
A． B． C． D．
【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
【解答】解：如图所示：不等式 的解为： ．
故选： ．
第10页（共29页）8．（3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼 的高度，将测角仪 竖直放置在与教学楼水
平距离为 的地面上若测角仪的高度是 ．测得教学楼的顶部 处的仰角为 ．则
教学楼的高度是
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：过 作 ，
在 处测得旗杆顶端 的仰角为 ，
，
，
，
，
故选： ．
9．（3分）如图，菱形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，将 沿点
到点 的方向平移，得到△ ．当点 与点 重合时，点 与点 之间的距离为
第11页（共29页）A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由菱形的性质得出 ， ， ，由平移的
性质得出 ， ， ，得出 ，由勾股定
理即可得出答案．
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ， ，
沿点 到点 的方向平移，得到△ ，点 与点 重合，
， ， ，
，
；
故选： ．
10．（3分）如图，在 中，点 为 边上的一点，且 ， ．过点 作
， 交 于点 ．若 ，则 的面积为
A． B．4 C． D．8
【分析】由题意得到三角形 与三角形 相似，由相似三角形面积之比等于相似比的
平方两三角形面积之比，进而求出四边形 与三角形 面积之比，求出四边形
面积，即可确定出三角形 面积．
【解答】解： ， ，
，
第12页（共29页），
，
，
，
， ，即 ，
，
，
，
，
故选： ．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
11．（3分）计算： ．
【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
【解答】解： ．
故答案为： ．
12．（3分）因式分解： ．
【分析】直接提取公因式 ，进而分解因式即可．
【解答】解： ．
故答案为： ．
13．（3分）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围为 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：若 在实数范围内有意义，
则 ，
解得： ．
故答案为： ．
14．（3分）若 ， ，则 的值为 5 ．
第13页（共29页）【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案．
【解答】解： ， ，
则 ，
代入 ，
解得： ，
则 ，
故 ．
故答案为：5．
15．（3分）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东
方魔板”．图①是由边长为 的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该
“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中 7块图形之一的正方形边长为
（结果保留根号）．
【分析】观察图形可知该“七巧板”中7块图形之一的正方形面积是大正方形面积的 ，先
根据正方形面积公式求出大正方形面积，从而得到小正方形面积，进一步得到该“七巧板”
中7块图形之一的正方形边长．
【解答】解：
答：该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 ．
故答案为： ．
16．（3分）如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方
第14页（共29页）体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为 ．
【分析】直接根据题意得出恰有三个面涂有红色的有8个，再利用概率公式求出答案．
【解答】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面涂有红色的有8个，
故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为： ．
故答案为： ．
17．（3分）如图，扇形 中， ． 为弧 上的一点，过点 作 ，垂足
为 ， 与 交于点 ．若 ， ，则该扇形的半径长为 5 ．
【分析】连接 ，利用等腰三角形的性质可得出 ，结合 可得出 为
等腰直角三角形，进而可得出 ，设该扇形的半径长为 ，则 ，在 中，
利用勾股定理可得出关于 的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：连接 ，如图所示．
， ，
．
，
为等腰直角三角形，
．
设该扇形的半径长为 ，则 ，
在 中， ， ，
，即 ，
第15页（共29页）解得： ．
故答案为：5．
18．（3分）如图，一块含有 角的直角三角板，外框的一条直角边长为 ，三角板的外框
线和与其平行的内框线之间的距离均为 ，则图中阴影部分的面积为
（结果保留根号）．
【分析】图中阴影部分的面积 外框大直角三角板的面积 内框小直角三角板的面积，根据
等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解．
【解答】解：如图，
，
含有 角的直角三角板，
， ，
，
图中阴影部分的面积为：
第16页（共29页）答：图中阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．
三、解答题；本大题共10小题，共76分．把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写出必
要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签宇笔．
19．（5分）计算：
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（5分）解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
21．（6分）先化简，再求值： ，其中， ．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
第17页（共29页）当 时，
原式 ．
22．（6分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这
些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是 ；
（2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2
张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可，找到符合条件的结果数，再利用概率
公式计算．
【解答】解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为 ，
故答案为： ．
（2）根据题意列表得：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果，
所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为 ．
23．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，
要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情
况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形
统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2） 3 6 ， ；
第18页（共29页）（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
【分析】（1）由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人
数求得航模人数，从而补全图形；
（2）根据百分比的概念可得 、 的值；
（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比．
【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为 （人 ，
航模的人数为 （人 ，
补全图形如下：
（2） ， ，
即 、 ，
故答案为：36、16；
（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有 （人 ．
24．（8分）如图， 中，点 在 边上， ，将线段 绕 点旋转到 的位置，
使得 ，连接 ， 与 交于点 ．
（1）求证： ；
第19页（共29页）（2）若 ， ，求 的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得 ，利用 证明 ，根据全等三角形的
对应边相等即可得出 ；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 ，那么
．由 ，得出 ，再根据三角形外角的性质即可求出
．
【解答】（1）证明： ，
．
将线段 绕 点旋转到 的位置，
．
在 与 中，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
．
，
，
．
25．（8分）如图， 为反比例函数 （其中 图象上的一点，在 轴正半轴上有一点 ，
第20页（共29页）．连接 ， ，且 ．
（1）求 的值；
（2）过点 作 ，交反比例函数 （其中 的图象于点 ，连接 交 于点
，求 的值．
【分析】（1）过点 作 轴，垂足为点 ， 交 于点 ，利用等腰三角形的性质
可得出 的长，利用勾股定理可得出 的长，进而可得出点 的坐标，再利用反比例函
数图象上点的坐标特征即可求出 值；
（2）由 的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出 的长，利用三角形中位线定
理可求出 的长，进而可得出 的长，由 可得出 ，利用相似三
角形的性质即可求出 的值．
【解答】解：（1）过点 作 轴，垂足为点 ， 交 于点 ，如图所示．
， ，
，
，
点 的坐标为 ．
为反比例函数 图象上的一点，
．
（2） 轴， ，点 在反比例函数 上，
第21页（共29页）．
， ，
，
．
，
，
．
26．（10分）如图， 为 的直径， 为 上一点， 是弧 的中点， 与 、
分别交于点 、 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的值．
【分析】（1）点 是 中点， 是圆的半径，又 ，而 是圆的直径，则
，故： ；
（2）证明 ，即可求解；
（3） ，即 和 的相似比为3，设： ，则 ， ，
第22页（共29页），则 ， ，即可求解．
【解答】解：（1） 点 是 中点， 是圆的半径，
，
是圆的直径，
，
；
（2） ，
，
，
；
（3） ，
和 的相似比为： ，
设： ，则 ， ， ，
，
即 和 的相似比为3，
设： ，则 ， ，
，
， ，
．
27．（10分）已知矩形 中， ，点 为对角线 上的一点，且 ．如
图①，动点 从点 出发，在矩形边上沿着 的方向匀速运动（不包含点 ．设动
点 的运动时间为 ， 的面积为 ， 与 的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点 的运动速度为 2 ， 的长度为 ；
（2）如图③，动点 重新从点 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一
第23页（共29页）个动点 从点 出发，在矩形边上沿着 的方向匀速运动，设动点 的运动速度
为 ．已知两动点 ， 经过时间 在线段 上相遇（不包含点 ，动点 ，
相遇后立即同时停止运动，记此时 与 的面积分别为 ，
①求动点 运动速度 的取值范围；
②试探究 是否存在最大值，若存在，求出 的最大值并确定运动时间 的值；若不存
在，请说明理由
．
【分析】（1）由题意得 时，函数图象发生改变，得出 时， 运动到点 处，得
出动点 的运动速度为： ，由 时， ，得出 时， 运动到点
处，得出 ；
（2）①由题意得出当在点 相遇时， ，当在点 相遇时，
，即可得出答案；
②过 作 于 ，交 于 ，则 ，由平行线得出 ，得出 ，
， ， 由 勾 股 定 理 得 出 ， 得 出 ， 求 出
， ，得
出 ，即可得出结果．
第24页（共29页）【解答】解：（1） 时，函数图象发生改变，
时， 运动到点 处，
动点 的运动速度为： ，
时， ，
时， 运动到点 处，
，
故答案为：2，10；
（2）① 两动点 ， 在线段 上相遇（不包含点 ，
当在点 相遇时， ，
当在点 相遇时， ，
动点 运动速度 的取值范围为 ；
②过 作 于 ，交 于 ，如图3所示：
则 ， ，
，
，
，
解得： ，
， ， ，
，
，
，
，
第25页（共29页），在 边上可取，
当 时， 的最大值为 ．
28．（10分）如图①，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 位于点 的左
侧），与 轴交于点 ．已知 的面积是6．
（1）求 的值；
（2）求 外接圆圆心的坐标；
（3）如图②， 是抛物线上一点， 为射线 上一点，且 、 两点均在第三象限内， 、
是位于直线 同侧的不同两点，若点 到 轴的距离为 ， 的面积为 ，且
，求点 的坐标．
【分析】（1）由 ，令 ，即 ，可求出 、 坐标结
合三角形的面积，解出 ；（2）三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂
直平分线，解交点可求出；（3）作 轴，则 由
第26页（共29页）可得 、 到 的距离相等，得到 ，求出直线 的解析式，以抛物线解析式联立
得出点 坐标，由于 ，可得 ，利用两点间距离公式，解出 值．
【解答】解：（1）
令 ，即
解得 ，
由图象知：
，
解得： ， 舍去）
（2）设直线 ，
由 ， ，
可得 ，且
即直线 ，
、 的中点 坐标为 ，
线段 的垂直平分线解析式为： ，
线段 的垂直平分线为
代入 ，
解得：
外接圆圆心的坐标
第27页（共29页）（3）
作 轴，则
、 到 的距离相等，
设直线 解析式为：
直线经过点
所以：直线 的解析式为
联立
解得：
点 坐标为
又
可得：
设
由 得：
解得： ， （舍去）
第28页（共29页）坐标为
第29页（共29页）
