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2019年河北省石家庄市裕华区中考数学一模试卷
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．我市2018年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2018年温差列式正确的（ ）
A．（+39）﹣（﹣7）B．（+39）+（+7） C．（+39）+（﹣7）D．（+39）﹣（+7）
2．已知有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|（ ）
A．b﹣2c+a B．b﹣2c﹣a C．b+a D．b﹣a
3．李老师给同学们出了一道单项式与多项式相乘的题目：﹣3x2（2x﹣[]+1）＝﹣6x3+6x2y﹣3x2，那么
“[]”里应当是（ ）
A．﹣y B．﹣2y C．2y D．2xy
4．书店、学校、食堂在平面上分别用A、B、C来表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东
15°，则平面图上的∠ABC的度数应该是（ ）
A．65° B．35° C．165° D．135°
5．下列运算结果正确的是（ ）
A． ＝﹣9 B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若
∠BAC＝80°，∠C＝60°，则∠M的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种
水果，由于葡萄每公斤提价5角钱，苹果每公斤降价3角钱，买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21
元，则春节后购物时，（葡萄，苹果）每公斤的价格分别是多少元（ ）
A．（2.5，0.7） B．（2，1） C．（2，1.3） D．（2.5，1）
8．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（ ）A． B．
C． D．
9．在只有15人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，若选手要想知道自己是否进入前8名，
只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．以上都不对
10．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于
点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论： ∠ACB＝2∠APB； S ：S
△PAC △PAB
＝AC：AB； BP垂直平分CE； ∠PCF＝∠CPF．其中，①正确的有（ ）②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2 ，
则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
π π π π
12．对于函数y＝﹣2x+5，下列表述：
图象一定经过（2，﹣1）； 图象经过一、二、四象限； 与坐标轴围成的三角形面积为12.5；
①x每增加1，y的值减少2；②该图象向左平移1个单位后③的函数表达式是y＝﹣2x+4，正确的是
④（ ） ⑤
A． B． C． D．
13．下列①条③件中不能判定三角②形⑤全等的是（ ） ②④ ④⑤
A．两角和其中一角的对边对应相等B．三条边对应相等
C．两边和它们的夹角对应相等
D．三个角对应相等
14．函数y＝﹣ 与y＝mx﹣m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知△ABC中，AB＜AC＜BC．求作：一个圆的圆心O，使得O在BC上，且圆O与AB、AC皆相切，
下列作法正确的是（ ）
A．作BC的中点O
B．作∠A的平分线交BC于O点
C．作AC的中垂线，交BC于O点
D．过A作AD⊥BC，交BC于O点
16．如图1，等边△ABD与等边△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移k个单位到
△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法正确的是（ ）
阴影部分的周长为4；
①
当k＝ 时，图中阴影部分为正六边形；
②
当k＝ 时，图中阴影部分的面积是 ．
③A． B． C． D．
二．填空①题（共3小题，满分①10②分） ①③ ①②③
17．因式分解：9a3b﹣ab＝ ．
18．如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：
线段MN的长； △PAB的周长； △PMN的面积； 直线MN与AB之间的距离； ∠APB
①的大小．其中会随②点P的移动而发生③变化的是 （④填序号）． ⑤
19．如图，已知直线l：y＝﹣x+4，在直线l上取点B ，过B 分别向x轴，y轴作垂线，交x轴于A ，交y
1 1 1
轴于C ，使四边形OA B C 为正方形；在直线l上取点B ，过B 分别向x轴，A B 作垂线，交x轴于
1 1 1 1 2 2 1 1
A ，交A B 于C ，使四边形A A B C 为正方形；按此方法在直线l上顺次取点B ，B ，…，B ，依次
2 1 1 2 1 2 2 2 3 4 n
作正方形A A B C ，A A B C ，…，A A B ，则A 的坐标为 ，B 的坐标为 ．
2 3 3 3 3 4 4 4 n﹣1 n n n 3 5
∁
三．解答题（共7小题，满分68分）
20．设A＝ ÷（a﹣ ）
（1）化简A；（2）当a＝3时，记此时A的值为f（3）；当a＝4时，记此时A的值为f（4）；…
解关于x的不等式： ﹣ ≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来．
21．在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机取出一个棋子，它是黑色棋子的概率是
．
（1）试写出y与x的函数解析式；
（2）若往盒子中再放入10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为 ，求x与y的值．
22．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）是
将字母表A、B、C、…、Y、Z这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个自然数，加密的过程是
这样的：将明文字母对应的数字设为x，将加密后的密文字母对应的数字设为y，当1≤x≤8时，y＝
3x；当9≤x≤17时，y＝3x﹣25；当18≤x≤26时，y＝3x﹣53．如：D对应为4，经过加密4→4×3＝
12，12对应L，即D变为L；又如K对应11，经过加密11→3×11﹣25＝8，8对应H，即K变为H．
（1）按上述方法将明文Y译为密文．
（2）若按上述方法译成的密文为YUAN，请找出它的明文．
A B C D E F G H I J K L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
23．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝ 与y＝ （x＞0，0＜m＜n）的图象上，对
角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m＝4，n＝20时．
若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
①若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（②2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．24．已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的 O与边CD相切于点
D，点B在 O上，连接OB． ⊙
（1）求证：⊙DE＝OE；
（2）若CD∥AB，求证：BC是 O的切线；
（3）在（2）的条件下，求证：⊙四边形ABCD是菱形．
25．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市
场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量
x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
26．问题发现．
（1）如图 ，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为
． ①
（2）如图 ，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任
意一点，把③△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最
小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．2019 年河北省石家庄市裕华区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．【分析】根据题意列出算式即可．
【解答】解：根据题意得：（+39）﹣（﹣7），
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．【分析】观察数轴，可知：c＜0＜b＜a，进而可得出b﹣c＞0、c﹣a＜0，再结合绝对值的定义，即可求
出|b﹣c|﹣|c﹣a|的值．
【解答】解：观察数轴，可知：c＜0＜b＜a，
∴b﹣c＞0，c﹣a＜0，
∴|b﹣c|﹣|c﹣a|＝b﹣c﹣（a﹣c）＝b﹣a．
故选：D．
【点评】本题考查了数轴以及绝对值，由数轴上a、b、c的位置关系结合绝对值的定义求出|b﹣c|﹣|c
﹣a|的值是解题的关键．
3．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：（﹣6x3+6x2y﹣3x2）÷（﹣3x2）﹣2x﹣1＝2x﹣2y+1﹣2x﹣1＝﹣2y，
故选：B．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．【分析】首先根据叙述作出A、B、C的相对位置，然后根据角度的和差计算即可．
【解答】解：∠ABD＝90°﹣30°＝60°，
则∠ABC＝60°+90°+15°＝165°．
故选：C．
【点评】本题考查了方向角的定义，理解方向角的定义，作出A、B、C的相对位置是解决本题的关键．5．【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、 ＝9，故此选项错误；
B、（﹣ ）2＝2，正确；
C、 ÷ ＝ ，故此选项错误；
D、 ＝5，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
6．【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠ABC＝40°，再根据角平分线的定义求出
∠ABM，∠CAM，然后利用三角形的内角和定理求出∠M即可．
【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，
∴∠ABM＝20°，∠CAM＝ ，
∴∠M＝180°﹣20°﹣50°﹣80°＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是
解题的关键．
7．【分析】等量关系为：3×春节前葡萄的价格+2×春节前苹果的价格＝8；7×春节后葡萄的价格+5×春
节后苹果的价格＝21，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设春节后购物时，（葡萄，苹果）每公斤的价格分别是x元，y元．
，
解得 ．
故选：A．
【点评】考查二元一次方程组的应用；根据总价得到两个等量关系是解决本题的关键．8．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形
相似判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝ ，BC＝2，AC＝ ，
∴AB：BC：AC＝1： ： ，
A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
9．【分析】此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否
进入前8名．
【解答】解：15名参赛选手的成绩各不相同，第8名的成绩就是这组数据的中位数，
所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前8名．
故选：B．
【点评】此题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中
间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
10．【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对 进行一一判断，从而求解．
【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，①②③④
∴∠PAB＝ ∠CAB，∠PBE＝ ∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故 正确；
过P作PM⊥AB于M，P①N⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，∵S ：S ＝（ AC•PN）：（ AB•PM）＝AC：AB；故 正确；
△PAC △PAB
②
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故 正确；
∵PG∥AD， ③
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故 正确．
故选：D． ④
【点评】此题综合性较强，主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线
的判定，等腰三角形的性质等．
11．【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：S＝ ×1× ＝3 ，
π π
故选：B．
【点评】此题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解本题的关键．
12．【分析】利用一次函数的性质逐个分析判断，把x＝2代入代入y＝﹣2x+5，求出y＝1≠﹣1，所以
不正确；根据k＝﹣2＜0，b＝5＞0，可知 正确；图象与坐标轴围成的三角形的面积＝ ×5×
① ②
＝6.25，所以 不正确；与解析式可知，x每增加1个单位y的值减小2，所以 正确；函数向左平
移1个单位的③解析式为：y＝﹣2（x+1）+5整理得y＝﹣2x+3，所以不正确．④
【解答】解： 把x＝2代入代入y＝﹣2x+5，得y＝1≠﹣1，所以 不正确；
∵k＝﹣2＜①0，b＝5＞0，∴图象经过一、二、四象限，所以 正①确；
② ②图象与坐标轴围成的三角形的面积＝ ×5× ＝6.25，所以 不正确；
③ ③
x每增加1个单位y的值减小2，所以 正确；
④函数向左平移1个单位的解析式为：y④＝﹣2（x+1）+5整理得y＝﹣2x+3，所以不正确．
⑤故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，
综合性较强，难度适中．
13．【分析】要逐个对选项进行验证，根据各个选项的已知条件结合三角形全等的判定方法进行判定，
其中D满足AAA时不能判断三角形全等的．
【解答】解：A、两角和其中一角的对边对应相等是全等三角形，符合AAS，故C不符合题意；
B、三条边对应相等的三角形是全等三角形，符合SSS，故A不符合题意；
C、两边和它们的夹角对应相等的三两个角形是全等三角形，符合SAS，故C不符合题意；
D、三个角对应相等，AAA不能判断两个三角形全等，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一
角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．【分析】先根据反比例函数的性质判断出m的取值，再根据一次函数的性质判断出m取值，二者一
致的即为正确答案．
【解答】解：A、由双曲线在一、三象限，得m＜0．由直线经过一、二、四象限得m＜0．正确；
B、由双曲线在二、四象限，得m＞0．由直线经过一、四、三象限得m＞0．错误；
C、由双曲线在一、三象限，得m＜0．由直线经过一、四、三象限得m＞0．错误；
D、由双曲线在二、四象限，得m＞0．由直线经过二、三、四象限得m＜0．错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，重点是注意系数m的取值．
15．【分析】根据角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解．
【解答】解：根据角平分线上的点到角两边的距离相等，则
要使圆O与AB、AC都相切，只需作∠A的平分线交BC于O点．
故选：B．
【点评】考查了作图﹣复杂作图，切线的性质．本题较简单，关键是熟悉角平分线的性质．
16．【分析】根据等边三角形的性质以及平移的性质，即可得到OM+MN+NR+GR+EG+OE＝A′D′+CD＝2+2＝4；根据A′F＝ ，即可得到MO≠MN，进而得出阴影部分不是正六边形；阴影部分
的面积＝△A′B′D′的面积﹣△A′MN的面积﹣△OD′E的面积﹣△RGB′的面积，据此进
行计算即可．
【解答】解：∵两个等边△ABD，△CBD 的边长均为 2，将△ABD 沿 AC 方向向右平移到
△A′B′D′的位置，
∴A′M＝A′N＝MN，MO＝DM＝DO，OD′＝D′E＝OE，EG＝EC＝GC，B′G＝RG＝RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE＝A′D′+CD＝2+2＝4，
故 正确；
①
∵k＝ ，
∴A′F＝ ，
∴A′M＝A′F÷cos30°＝1，MN＝1．
∴MO＝ （2﹣1）＝ ．
∴MO≠MN，
∴阴影部分不是正六边形，
故 错误；
阴②影部分的面积＝△A′B′D′的面积﹣△A′MN的面积﹣△OD′E的面积﹣△RGB′的面积
＝ ×（22﹣12﹣2×（ ）2]
＝ ，
故 正确，
故③选：C．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及平移的性质的运用，解决问题的关键是依据平移的
距离，得到小等边三角形的边长及面积．
二．填空题（共3小题，满分10分）
17．【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝ab（9a2﹣1）＝ab（3a+1）（3a﹣1）．
故答案为：ab（3a+1）（3a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．【分析】根据三角形的中位线定理，平行线的性质即可一一判断；
【解答】解：∵l∥AB，
∴△PAB的面积不变，
∵PM＝MA，PN＝NB，
∴MN＝ AB，∵AB的长为定值，
∴MN的长不变，△PMN的面积不变，直线MN与AB之间的距离不变，
故答案为 ．
【点评】本②题⑤考查三角形的中位线定理、平行线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．【分析】先根据直线y＝﹣x+4计算与两坐标轴的交点可得：OE＝OF＝4，因为△EOF是等腰直角
三角形，所以得△B C E是等腰直角三角形，再由正方形的边长相等得：C 是OE的中点，同理得：
1 1 1
C 是A B 的中点，C 是A B 的中点，…，所以可得所求各点的坐标．
2 1 1 3 2 2
【解答】解：当x＝0，y＝4，当y＝0时，﹣x+4＝0，x＝4，
∴OE＝OF＝4，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠C EF＝45°
1
∴△B C E是等腰直角三角形，
1 1
∴B C ＝EC ，
1 1 1∵四边形OA B C 为正方形，
1 1 1
∴OC ＝C B ＝EC ＝2，
1 1 1 1
∴B （2，2），A （2，0），
1 1
同理可得：C 是A B 的中点，
2 1 1
∴B （2+1＝3，1），A （3，0），
2 2
B （2+1+ ＝ ， ），A （ ，0），
3 3
B （ + ＝ ， ），A （ ，0），
4 4
B （ + ＝ ， ）．
5
故答案为：（ ，0），（ ， ）．
【点评】本题是一次函数和正方形性质的应用，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时
要注意数形结合思想的运用，依次找出点的坐标计算规律，利用规律解决问题．
三．解答题（共7小题，满分68分）
20．【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）先将f（3）+f（4）+…+f（11）进行化简，然后利用一元一次不等式的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）A＝ ÷
＝ •＝
（2）由f（a）＝
∴f（3）+f（4）+…+f（11）＝ ﹣ + ﹣ +……+ ﹣
＝ ﹣
＝
∴ ﹣ ≤
解得 x≤4
∴原不等式的解集是x≤4
在数轴上表示：
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及不等式的解法，本题属
于中等题型．
21．【分析】（1）根据概率的求法：在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，共x+y颗棋子，如果它
是黑色棋子的概率是 ，有 ＝ 成立．化简可得y与x的函数关系式；
（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x+y颗棋子，则取得黑色棋子的概率变为 ，结合（1）的条件，可得 ，然后求出x，y的值即可．
【解答】解：（1）由题意得 ＝ ，
解得：y＝ x，
答：y与x的函数解析式是y＝ x；
（2）根据题意，可得 ，
解方程组可求得： ，
则x的值是15，y的值是25．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
22．【分析】（1）由表知“Y”对应的数字x＝25，将其代入y＝3x﹣53计算，再由表可得对应字母；
（2）先根据表格找到字母对应的数字，即y的值，找到合适的解析式求出对应的x的值，从而得出
其对应的明文字母，据此可得．
【解答】解：（1）“Y”对应的数字x＝25，
则y＝3×25﹣53＝22，
所以明文Y对应密文是V；
（2）Y对应数字为25，当3x﹣53＝25时，x＝26，对应明文为Z；U对应数字为21，当2x＝21时，x＝7，对应明文为G；
A对应数字为1，当3x﹣53＝1时，x＝18，对应明文为R；
N对应数字为14，当3x﹣25＝14时，x＝13，对应明文为M；
所以密文为YUAN的对应明文为ZGRM．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键理解明文与密文之间的转化关系及解方程和求代
数式的值的能力．
23．【分析】（1） 先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
先确定出点D①坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；
②
（2）先确定出B（4， ），D（4， ），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC＝BD，即可
得出结论．
【解答】解：（1） 如图1，∵m＝4，
①
∴反比例函数为y＝ ，
当x＝4时，y＝1，
∴B（4，1），
当y＝2时，
∴2＝ ，
∴x＝2，
∴A（2，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+3；四边形ABCD是菱形，
②理由如下：如图2，由 知，B（4，1），
∵BD∥y轴， ①
∴D（4，5），
∵点P是线段BD的中点，
∴P（4，3），
当y＝3时，由y＝ 得，x＝ ，
由y＝ 得，x＝ ，
∴PA＝4﹣ ＝ ，PC＝ ﹣4＝ ，
∴PA＝PC，
∵PB＝PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，
∴BD＝AC
当x＝4时，y＝ ＝ ，y＝ ＝
∴B（4， ），D（4， ），
∴P（4， ），∴A（ ， ），C（ ， ）
∵AC＝BD，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴m+n＝32
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．
24．【分析】（1）先判断出∠2+∠3＝90°，再判断出∠1＝∠2即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，根据平行线的性质得到∠4＝∠1，根
据全等三角形的性质得到∠CBO＝∠CDO＝90°，于是得到结论；
（3）先判断出△ABO≌△CDE得出AB＝CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出
CD＝AD即可．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵CD是 O的切线，
∴OD⊥C⊙D，
∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°，
∵DE＝EC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠COD，
∴DE＝OE；
（2）∵OD＝OE，
∴OD＝DE＝OE，
∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，
∴∠BOC＝∠DOC＝60°，
在△CDO与△CBO中， ，
∴△CDO≌△CBO（SAS），
∴∠CBO＝∠CDO＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是 O的切线；
⊙（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，
∴OA＝OB＝DE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，
∴△ABO≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAE＝ ∠DOE＝30°，
∴∠1＝∠DAE，
∴CD＝AD，
∴ ABCD是菱形．
▱
【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和
性质，菱形的判定，判断出△ABO≌△CDE是解本题的关键．
25．【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值
范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．
【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣ ）2+6125，∴当x＝ 时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解
析式．
26．【分析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；
（2）先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即
可求出CM+MN的最小值；
（3）先确定出EG⊥AC时，四边形AGCD的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，
最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．
【解答】解：（1）如图 ，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，
在Rt△ABC中，AC＝①3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，
∵ AC×BC＝ AB×CD，
∴CD＝ ＝ ，
故答案为 ；
（2）如图 ，作出点C关于BD的对称点E，
过点E作E②N⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，
∵CE⊥BC，
∴ BD×CF＝ BC×CD，
∴CF＝ ＝ ，由对称得，CE＝2CF＝ ，
在Rt△BCF中，cos∠BCF＝ ＝ ，
∴sin∠BCF＝ ，
在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝ ＝ ；
即：CM+MN的最小值为 ；
（3）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S ＝S +S ＝ AD×CD+ AC×h＝ ×4×3+ ×5×h＝ h+6，
四边形AGCD △ACD △ACG
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝ ＝ ，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝ ＝ ，∴EH＝ AE＝ ，
∴h＝EH﹣EG＝ ﹣1＝ ，
∴S ＝ h+6＝ × +6＝ ，
四边形AGCD最小
过点F作FM⊥AC于M，
∵EH⊥FG，EH⊥AC，
∴四边形FGHM是矩形，
∴FM＝GH＝
∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，
∴△CMF∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴CF＝1
∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是
确定出满足条件的点的位置，是一道很好的中考常考题．
