2019 年云南省曲靖市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）
下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
1.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形.故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形.故符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形，轴对称图形的知识，记住：如果一个图形沿着一条直线对折
后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；在同一平面
内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点．
下列是一元二次方程的是( )
1
2. A. x2+3=0 B. xy+3x-4=0 C. 2x-3+ y=0 D. +2x-6=0
x
【答案】A
【解析】解：A、该方程是一元二次方程，故本选项正确；
B、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、该方程是分式方程，故本选项错误；
故选：A．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；
(3)是整式方程；
(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答
案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否
是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
半径为r的圆的内接正六边形边长为( )
3.
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1 121 √3
A. r B. r C. r D. 2r
2 2
【答案】C
【解析】解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接
OA，OB，
则三角形AOB是等边三角形，所以AB=OA=r．
故选：C．
画出圆O的内接正六边形ABCDEF，连接OA，OB，得到正
三角形AOB，可以求出AB的长．
本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到正三角形AOB，就可以求出正六边
形的边长．
如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m，
宽为2m.为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，
4.
向长方形宜传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点
都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图
案中的频率稳定在常数0.4左右.由此可估计宜传画上世界杯图案的
面积为( )
A. 2.4m2 B. 3.2m2 C. 4.8m2 D. 7.2m2
【答案】B
【解析】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右，
∴估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4，
∴估计宜传画上世界杯图案的面积=0.4×(4×2)=3.2(m2 ).
故选：B．
利用频率估计概率得到估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4，然后根据几何概率的
计算方法计算世界杯图案的面积．
本题考查了频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来
估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，
随实验次数的增多，值越来越精确．
在平面直角坐标系中，点(1,-2)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (1,2) B. (-1,2) C. (2,-1) D. (2,1)
5.
【答案】B
【解析】解：点(1,-2)关于原点对称的点的坐标是(-1,2)，
故选：B．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(-x,- y)，记忆方法是结
合平面直角坐标系的图形记忆．
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2 12关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
下列事件中必然发生的事件是( )
A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形不一定全等
6.
B. 不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C. 过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度不一定相等
D. 200件产品中有8件次品，从中任意抽取9件，至少有一件是正品
【答案】D
【解析】解：一个图形平移后所得的图形与原来的图形一定全等，A是不可能事件；
不等式的两边同时乘以一个数0，结果不是不等式，B是随机事件；
过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度一定相等，C是不可能事件；
200件产品中有8件次品，从中任意抽取9件，至少有一件是正品，D是必然事件；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一
定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机
事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若
∠BOD=144∘，则∠C的度数是( )
7.
A. 14∘
B. 72∘
C. 36∘
D. 108∘
【答案】D
1 1
【解析】解：∵∠A= ∠BOD= ×144∘=72∘ ，
2 2
而∠A+∠C=180∘，
∴∠C=180∘-72∘=108∘．
故选：D．
先根据圆周角定理计算出∠A=72∘，然后根据圆内接四边形的性质求∠C的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个
外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).也考查了圆周角定理．
为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市
政府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区
8.
域栽种鲜花，如图中的阴影“ ”带，鲜花带一
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3 12边宽1m，另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长xm，
可列方程为( )
A. (x-1)(x-2)=18
B. x2-3x+16=0
C. (x+1)(x+2)=18
D. x2+3x+16=0
【答案】A
【解析】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
(x-1)(x-2)=18，
故选：A．
可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x-1)m，宽为(x-2)m.根据长方形
的面积公式方程可列出．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式.另外求
得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
若式子√3-x有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x≤3
9.
【解析】解：根据题意得：3-x≥0，
解得：x≤3．
故答案是：x≤3．
根据二次根式有意义的条件即可求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若
∠BOC=124∘，则∠A=______．
10.
【答案】68∘
【解析】解：∵∠BOC=124∘，
∴∠OBC+∠OCB=180∘-124∘=56∘，
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=112∘，
∴∠A=180∘-112∘=68∘，
故答案为：68∘．
根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB，根据内心的性质得到
∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，根据三角形内角和定理计算即可．
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4 12本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握角形的内心是三角形
三个内角角平分线的交点是解题的关键．
若x2-2x=3，则多项式2x2-4x+3=______．
【答案】9
11.
【解析】解：∵x2-2x=3，
∴原式=2(x2-2x)+3=6+3=9．
故答案为：9．
原式前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
圆锥的母线长是6cm，侧面积是30πcm2，该圆锥底面圆的半径长等于
______cm．
12.
【答案】5
S 30π
【解析】解：根据题意得：S=πrl，即r= = =5，
πl 6π
则圆锥底面圆的半径长等于5cm，
故答案为：5
利用圆锥的侧面积公式计算即可求出所求．
此题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是解本题的关键．
若y=(m+2)xm2-2+mx+1是关于自变量x的二次函数，则m=______．
1【3答. 案】2
【解析】解：根据二次函数的定义，得：
m2-2=2，
解得m=2或m=-2，
又∵m+2≠0，
∴m≠-2，
∴当m=2时，这个函数是二次函数．
故答案是：2．
根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可．
本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．
如图所示，在平面直角坐标系中，A(0,0)，B(2,0)，△AP B是等腰直角三角
1
14. 形且∠P =90∘，把△AP B绕点B顺时针旋转180∘，得到△BP C，把
1 1 2
△BP C绕点C顺时针旋转180∘，得到△CP D，依此类推，得到的等腰直角
2 3
三角形的直角顶点P 的坐标为______．
2019
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5 12【答案】(4037,1)
【解析】
解：作
P ⊥x
1
轴于H，
∵A(0,0)，B(2,0)，
∴AB=2，
∵△AP B是等腰直角三角形，
1
1
∴P H= AB=1，AH=BH=1，
1 2
∴P 的纵坐标为1，
1
∵△AP B绕点B顺时针旋转180∘，得到△BP C；把△BP C绕点C顺时针旋转
1 2 2
180∘，得到△CP D，
3
∴P 的纵坐标为-1，P 的纵坐标为1，P 的纵坐标为-1，P 的纵坐标为1，…，
2 3 4 5
∴P 的纵坐标为1，横坐标为2019×2-1=4037，
2019
即P (4037,1)．
2019
故答案为：(4037,1)．
根据题意可以求得P 的纵坐标为-1，P 的纵坐标为1，P 的纵坐标为-1，P 的纵坐
2 3 4 5
标为1，…，从而发现其中的变化的规律，从而可以求得P 的坐标．
2019
本题考查坐标与图形变化-旋转，解答本题的关键是发现各点的变化规律，求出相应的
点的坐标．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
1 x2
先化简，再求值：(1+ )÷ ，其中x=2．
x2-1 x2-2x+1
15.
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6 121 x2
【答案】解：(1+ )÷
x2-1 x2-2x+1
x2-1+1 x2 x2 (x-1) 2 x-1
= ÷ = ⋅ = ，
x2-1 x2-2x+1 (x+1)(x-1) x2 x+1
当x=2时，
2-1 1
原式= = ．
2+1 3
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则
变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
1
计算：√9+(√3 9-2) 0-|-3|-( ) -1
3
1【6答. 案】解：原式=3+1-3-3
=-2．
【解析】直接利用零指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
如图，在边长均为1的正方形网格纸上有△ABC和△≝¿，顶点A、B，C，D、
E、F均在格点上，如果△≝¿是由△ABC绕着某点O旋转得到的，点A(-4,1)
17.
的对应点是点D，点C的对应点是点F.请按要求完成以下操作或运算：
(1)在图上找到点O的位置(不写作法，但要标出字母)，并写出点O的坐标；
(2)求点B绕着点O顺时针旋转到点E所经过的路径长．
【答案】解：(1)如图所示，连接AD，CF，作AD和CF的垂直平分线，交于点O，
则点O即为旋转中心，
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7 12由点A(-4,1)可得直角坐标系，故点O的坐标为(1,-1)；
90×π×3 3
(2)点B绕着点O顺时针旋转到点E所经过的路径长为： = π．
180 2
【解析】(1)根据旋转变换中对应点与旋转中心的距离相等，可知旋转中心即为对应点
连线的垂直平分线的交点；根据点A(-4,1)可得直角坐标系，进而得到点O的坐标为
(1,-1)；
(2)点B绕着点O顺时针旋转到点E所经过的路径为扇形的弧线，根据弧长计算公式
即可得到路径长．
本题主要考查了利用旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转
角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，
找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
解方程
(1)x2-4 1 x 8. +3=0(用配方法求解)
(2)(2x-3) 2-2x+3=0
【答案】解：(1)x2-4x+3=0，
x2-4x=-3x2-4x+4=-3+4，即(x-2) 2=1，
开方，得x-2=±1，
解得x =3，x =1．
1 2
(2)(2x-3) 2-2x+3=0，
(2x-3)(2x-3-1)=0，
∴2x-3=0或2x-4=0，
3
所以x = ，x =2．
1 2 2
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8 12【解析】(1)将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方法求解；
(2)提取公因式分解因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程
左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个
一元一次方程，得到一元二次方程的解.也考查了配方法解一元二次方程．
已知y=x2-(m+2)x+(2m-1)是关于x的抛物线解析式．
19. (1)求证：抛物线与x轴一定有两个交点；
(2)点A(-2,y )、B(1,y )、C(4,y )是抛物线上的三个点，当抛物线经过原
1 2 3
点时，判断y 、y 、y 的大小关系．
1 2 3
【答案】(1)证明：y=x2-(m+2)x+(2m-1)，
∵△=[-(m+2)] 2-4×1×(2m-1)=(m+2) 2+4>0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点；
(2)解：∵抛物线y=x2-(m+2)x+(2m-1)经过原点，
∴2m-1=0．
1
解得：m= ，
2
5
∴抛物线的解析式为y=x2- x.
2
当x=-2时，y =7；
1
当x=1时，y =-2；
2
当x=4时，y =6．
3
∴y <y <y ．
2 1 3
【解析】(1)根据一元二次方程的根的判别式求出即可；
1
(2)由抛物线经过原点可求得m= ，从而得到抛物线的解析式，然后可求得y 、y 、
2 1 2
y 的值，然后再比较大小即可．
3
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，求得m的值
是解题的关键．
一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其
1
20.
中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
2
(1)求口袋中黄球的个数；
(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请用“树状图
法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
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9 12【答案】解：(1)设口袋中黄球的个数为x个，
2 1
根据题意得： = ，
2+1+x 2
解得：x=1，
经检验：x=1是原分式方程的解，
∴口袋中黄球的个数为1个；
(2)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
2 1
∴两次摸出都是红球的概率为： = ．
12 6
2 1
【解析】(1)设口袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到 = ，然后利用
2+1+x 2
比例性质求出x即可；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然
后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再
从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．
某网店经营一种新文具，进价为20元，销售一段时间后统计发现：当销售单价是
25元时，平均每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，平均每天的销售量
21.
就减少10件．
(1)求销售单价x(元)为多少时，该文具每天的销售利润W(元)最大？并求出W；
(2)为回馈广大顾客同时提高该文具知名度，该网店决定在11月11日(双十一)开
展降价促销活动.若当天按(1)的单价降价m%销售并多售出2m%件文具，求销售
款额为5250时m的值．
【答案】解：(1)∵销售量=250-10(x-25)=500-10x，
∴总利润=(x-20)(500-10x)
=-10x2+700x-10000=-10(x-35) 2+2250∴当x=35时，最大利润为2250元．
(2)原来销售量500-10x=500-350=150，
35(1-m%)150(1+2m%)=5250设m%=a，
∴(1-a)(1+2a)=1，
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10 121
解得：a=0或a= ，
2
∵要降价销售，
1
∴a= ，
2
∴m=50．
【解析】(1)首先确定有关利润与售价x之间的二次函数，配方后即可确定最大利润；
(2)首先确定原来的销售量，然后销售量×单件利润=总利润列出方程求解即可．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，二次函
数的性质的运用，解答时根据条件建立方程是解答本题的关键．
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外一点，
连接AC，BC，AC与⊙O交于点D，弦DE与直
22.
径AB交于点F，∠C=∠E．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
⏜ ⏜
(2)若DE⊥AB，
AE=2BE
，AB=2√3，求CD
的长．
【答案】(1)证明：连接BD，
则∠BAE=∠BDE，
∵∠AFE=∠DFB，
∴∠E=∠ABD，
∵∠C=∠E，
∴∠C=∠ABE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BDC=90∘，
∴∠C+∠CBD=90∘，
∴∠ABD+∠CBD=90∘，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
∴AD=AE ， BD=BE ，
⏜ ⏜
∵AE=2BE ，
⏜ ⏜
∴AD=2BD ，
∴∠ABD=2∠DAB，
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11 12∴∠BAC=30∘，∠ABD=60∘，
∴∠C=60∘，
∵AB=2√3，
√3
∴BC= AB=2，
3
1
∴CD= BC=1．
2
【解析】(1)连接BD，根据圆周角定理得到∠BAE=∠BDE，推出∠C=∠ABE，
由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90∘，推出AB⊥BC，于是得到结论；
⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜
(2)根据垂径定理得到 AD=AE ， BD=BE ，等量代换得到 AD=2BD ，求得
∠ABD=2∠DAB，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切
线的判定和性质是解题的关键．
如图，对称轴为x=1的抛物线y=x2+bx+c与x轴
交于点A(3,0)与y轴交于点B，顶点为C．
23.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)若点P在x轴上，将线段BP绕着点P逆时针
旋转90∘得到PD，点D是否会落在抛物线上？如
果会，求出点P的坐标；若果不会，说明理由．
【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=1，点A(3,0)，则抛物线与x轴另外一个交点为
(-1,0)，
则抛物线的表达式为：y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3，
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12 12令x=0，则y=-3，即点B(0,-3)，点C的坐标为(1,-4)；
(2)设对称轴交直线AB与点H，
把点B、A坐标代入一次函数表达式：y=kx-3得：0=3k-3，解得：k=1，
则直线BA的表达式为：y=x-3，则点H(1,-2)，
1 1
S = CH×OA= ×2×3=3；
△ABC 2 2
(3)会，理由：
①当点D在对称轴左侧时，
如图所示，过点D分别作x、y轴的垂线于点N、M，设点P坐标为(m,0)，
∵∠DPN+∠OPB=90∘，∠OPB+∠OBP=90∘，∴∠OBP=∠DPN，
∠DNP=∠BOP=90∘，PB=PD，∴△DNP △POB(AAS)，
∴DM=OB=3，DN=OP=-m，即点D的坐标(-3,-m)
≌
将点D坐标代入二次函数表达式解得：m=-12，
即点P坐标为(-12,0)，
②当点D在对称轴右侧时，
同理当点P坐标为(-5,0)．
【解析】(1)抛物线对称轴为x=1，点A(3,0)，则抛物线与x轴另外一个交点为
(-1,0)，即可求解；
1
(2)利用S = CH×OA即可求解；
△ABC 2
(3)会，理由：分①当点D在对称轴左侧时、②当点D在对称轴右侧时，两种情况求
解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数等知识，题目难度不
大，但要弄清题意，避免遗漏．
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13 12
