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2019年山东省潍坊市安丘市中考数学一模试卷
一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出
来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分.）
1． 的立方根是（ ）
A．8 B．2 C．±8 D．±4
2．长方体的主视图、俯视图如图所示，则长方体的表面积为（ ）
A．12 B．19 C．24 D．38
3．一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
4．已知5x＝3，5y＝2，则52x﹣3y＝（ ）
A． B．1 C． D．
5．在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．120°
6．已知抛物线y＝3x2+1与直线y＝4cos •x只有一个交点，则锐角 等于（ ）
A．60° B．45° α C．30° α D．15°
7．如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE
的长为（▱ ）A．5 B．6 C．8 D．12
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则
∠BAA′的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
9．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是 6吨 B．平均数是 5吨
C．中位数是 5吨 D．方差是
10．已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝ 交于点A（x ，y ），B（x ，y ）两点，则x y +x y 的值为（ ）
1 1 2 2 1 2 2 1
A．﹣6 B．﹣9 C．0 D．9
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
ab＜0； b2＞4ac； a+b+c＜0； 3a+c＜0．其中正确的是（ ）
① ② ③ ④A． B． C． D．
12．如图①，④O的半径为1，AD②，B④C是 O的两条互相①垂②直的③直径，点P从点①O②出③发（④P点与O点不重
合），沿⊙O→C→D的路线运动，设A⊙P＝x，sin∠APB＝y，那么y与x之间的关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）
13．因式分解：（2a+1）a﹣4a﹣2＝ ．
14．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ．
15．如图， ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的 O交CD于点E，则弧DE的长为 ．
▱ ⊙16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点
D；再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于
点F，则AF的长为 ．
17．如图，曲线l是由函数y＝ 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转90°得到的，且过点A
（m，6），B （﹣6，n），则△OAB的面积为 ．
18．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M ，M ，M ，…M 分别为边B B ，
1 2 3 n 1 2
B B ，B B ，…，B B 的中点，△B C M 的面积为S ，△B C M 的面积为S ，…△B M 的面积为
2 3 3 4 n n+1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n
S ，则S ＝ ．（用含n的式子表示） ∁
n n
三、解答题（本题共7题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程和推演步骤.）
19．（7分）已知关于x的不等式 ＞ x﹣1．
（1）当m＝1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．
20．（7分）学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行
走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3（即为CD与BC的长度之比）．A，D两点处于同一
铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．
21．（7分）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7；
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10；
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5．
（1）根据以上数据求出表中a，b，c的值；
平均数 中位数 方差
甲 8 8 b
乙 a 8 2.2
丙 6 c 3
（2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，用列举法求甲、乙相邻出场的概率．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O，交BC边于边D，交AC边于点G，过D
作 O的切线EF，交AB的延长线于点F，交AC于点⊙E．
（1⊙）求证：BD＝CD；
（2）若AE＝6，BF＝4，求 O的半径．
⊙
23．（10分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个
圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心
的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
24．（12分）如图所示，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交
AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证：EG2＝ GF×AF；
（3）若tan∠FEC＝ ，折痕AF＝5 cm，则矩形ABCD的周长为 ．
25．（13分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点
①Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
②2019 年山东省潍坊市安丘市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出
来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分.）
1．【分析】先求出 ＝8，再求出8的立方根即可．
【解答】解：∵ ＝8，
∴ 的立方根是 ＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键，
注意：a（a≥0）的平方根是 ，a的立方根是 ．
2．【分析】首先确定该长方体的长、宽、高，然后将其六个面的面积相加即可求得长方体的表面积．
【解答】解：观察该长方体的两个视图发现长方体的长、宽、高分别为4、3，1，
所以表面积为2×（4×3+4×1+3×1）＝38．
故选：D．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是根据该长方体的主视图和俯视图判断出
该几何体的尺寸，难度不大．
3．【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【解答】解：∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，
∴原数中“0”的个数为6，
故选：B．
【点评】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．
4．【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出52x、53y的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求
出52x﹣3y的值为多少即可．
【解答】解：∵5x＝3，5y＝2，
∴52x＝32＝9，53y＝23＝8，∴52x﹣3y＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不
变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 底数a≠0，因为0不能做除数； 单独
的一个字母，其指数是1，而不是0； 应用同底数幂除法①的法则时，底数a可是单项式，也②可以是
多项式，但必须明确底数是什么，指③数是什么．
5．【分析】依据CO＝AO，∠AOC＝130°，即可得到∠CAO＝25°，再根据∠AOB＝70°，即可得出
∠CDO＝∠CAO+∠AOB＝25°+70°＝95°．
【解答】解：∵CO＝AO，∠AOC＝130°，
∴∠CAO＝25°，
又∵∠AOB＝70°，
∴∠CDO＝∠CAO+∠AOB＝25°+70°＝95°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角
和等于180°．
6．【分析】抛物线y＝3x2+1与直线y＝4cos •x只有一个交点，则把y＝4cos •x代入二次函数的解析
式，得到的关于x的方程中，判别式△＝α0，据此即可求解． α
【解答】解：根据题意得：3x2+1＝4cos •x，
即3x2﹣4cos •x+1＝0， α
则△＝16cosα2 ﹣4×3×1＝0，
α
解得：cos ＝ ，
α
所以 ＝30°．
故选：αC．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握一元二次方程跟的判别式是解题的关键．
7．【分析】由基本作图得到AB＝AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可
知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，进而得出结论．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝ BF＝4，OA＝ AE．
∵AB＝5，
在Rt△AOB中，AO＝ ＝3，
∴AE＝2AO＝6．
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知平行四边形的性质、勾股定理、平行线的性质是解决
问题的关键．
8．【分析】根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三
角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝45°，∠CA′B′＝20°＝∠BAC
∴∠BAA′＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
9．【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量，然后对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的众数为6吨，平均数为5吨，中位数为5.5吨，方差为 吨2．
故选：C．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散
程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．
10．【分析】先根据点A（x ，y ），B（x ，y ）是双曲线y＝ 上的点可得出x •y ＝x •y ＝3，再根据直线y
1 1 2 2 1 1 2 2
＝kx（k＞0）与双曲线y＝ 交于点A（x ，y ），B（x ，y ）两点可得出x ＝﹣x ，y ＝﹣y ，再把此关系
1 1 2 2 1 2 1 2
代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点A（x ，y ），B（x ，y ）是双曲线y＝ 上的点
1 1 2 2
∴x •y ＝x •y ＝3 ，
1 1 2 2
①
∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝ 交于点A（x ，y ），B（x ，y ）两点，
1 1 2 2
∴x ＝﹣x ，y ＝﹣y ，
1 2 1 2
∴原式＝﹣x y ﹣x y ②＝﹣3﹣3＝﹣6．
1 1 2 2
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x ＝﹣x ，y
1 2 1
＝﹣y 是解答此题的关键．
2
11．【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线的对称轴得到b的符号，则可对 进行判
断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对 进行判断；利用x＝1时，y＜0①可对 进
行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，加上x②＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对③进
行判断． ④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以 正确；
∵抛物线与x轴①有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以 正确；
②∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以 正确；
③
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以 错误．
故选：C． ④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a
决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b
和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b
异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0
时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．【分析】根据题意分1＜x≤ 与 ＜x≤2两种情况，确定出y与x的关系式，即可确定出图象．
【解答】解：当P在OC上运动时，根据题意得：sin∠APB＝ ，
∵OA＝1，AP＝x，sin∠APB＝y，
∴xy＝1，即y＝ （1＜x≤ ），
当P在 上运动时，∠APB＝ ∠AOB＝45°，
此时y＝ （ ＜x≤2），
图象为：故选：C．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，列出y与x的函数关系式是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）
13．【分析】直接提取公因式2a+1，进而分解因式得出答案．
【解答】解：（2a+1）a﹣4a﹣2
＝（2a+1）a﹣2（2a+1）
＝（2a+1）（a﹣2）．
故答案为：（2a+1）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母
x﹣3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，得
x﹣2（x﹣3）＝m2，
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得m＝± ．
【点评】解决增根问题的步骤：
确定增根的值；
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．③【分析】连接OE，求出∠DOE＝40°，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠D＝70°，
∴∠DOE＝40°，
∴弧DE的长＝ ＝ ，
π
故答案为： ．
π【点评】本题考查的是弧长计算、平行四边形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
16．【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4可知AB＝2BC＝8，再由作法
可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：如图，连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8．
由题可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，
∴∠CDB＝∠CBD＝60°，DF＝ BD，
∴AD＝CD＝BC＝4，
∴BD＝AD＝4，
∴BF＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此
题的关键．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
17．【分析】作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，直线AM与BN交于点P，根据旋转的性质得出点A （m，
6），B （﹣6，n）在函数y＝﹣ 的图象上，根据待定系数法求得m、n的值，继而得出P（6，6），然
后根据S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S 即可求得结果．
△AOB 矩形OMPN △OAM △OBN △PAB
【解答】解：作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，直线AM与BN交于点P，∵曲线l是由函数y＝ 在第一象限内的图象绕坐标原点 O逆时针旋转90°得到的，且过点A
（m，6），B （﹣6，n），
∴点A （m，6），B （﹣6，n）在函数y＝﹣ 的图象上，
∴6m＝﹣12，﹣6n＝﹣12，
解得m＝﹣2，n＝2，
∴A（﹣2，6），B（﹣6，2），
∴P（﹣6，6），
∴S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S ＝6×6﹣ ×2×6﹣ ×6×2﹣ ×4×4＝16，
△AOB 矩形OMPN △OAM △OBN △PAB
故答案为16．
【点评】本题考查反比例函数的图象、旋转的性质、待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关
键是矩形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．【分析】利用相似三角形的性质求出B ，再利用三角形的面积公式计算即可；
n n
【解答】解：∵B ∥B C ， ∁
n n 1 1
∴△M B ∽△M∁B C ，
n n n m 1 1
∁
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴B ＝ ，
n n
∁∴S ＝ × × ＝ ，
n
故答案为 ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共7题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程和推演步骤.）
19．【分析】（1）把m＝1代入不等式，求出解集即可；
（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，不等式为 ＞ ﹣1，
去分母得：2﹣x＞x﹣2，
解得：x＜2；
（2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2，
移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），
当m≠﹣1时，不等式有解，
当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；
当m＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
20．【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比
的定义求得CD的长，根据AD＝AC﹣CD即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AC＝ AB＝6，BC＝ABcos∠ABC＝12× ＝ ，
∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD＝ BC＝ ，
∴AD＝AC﹣CD＝6﹣ ．答：开挖后小山坡下降的高度AD为（6﹣ ）米．
【点评】本题考查了解直角三角形，这两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类
题目的基本出发点．
21．【分析】（1）根据方差公式和中位数、平均数的定义分别进行解答即可；
（2）根据方差的意义即方差越小越稳定即可得出答案；
（3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙相邻出场的情况数，再根据概率公式即可得
出答案．
【解答】解：（1）乙的平均数a＝ ＝8；
∵甲的平均数是8，
∴甲的方差为b＝ [（5﹣8）2+2（7﹣8）2+4（8﹣8）2+（9﹣8）2+2（10﹣8）2]＝2；
把丙运动员的射靶成绩从小到大排列为：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，则中位数c＝ ＝6；
（2）∵甲的方差＜乙的方差＜丙的方差，而方差越小，数据波动越小，
∴甲的成绩最稳定．
（3）根据题意画图如下：
∵共有6种情况数，甲、乙相邻出场的有4种情况，
∴甲、乙相邻出场的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查了方差、平均数、中位数和画树状图法求概率，一般地设n个数据，x ，x ，…x 的
1 2 n
平均数为 ，则方差S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，
1 2 n方差越大，波动性越大，反之也成立；概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．
（2）设 O的半径为R，则FO＝4+R，FA＝4+2R，OD＝R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得 ＝
⊙
列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC．
（2）解：设 O的半径为R，则FO＝4+R，FA＝4+2R，OD＝R，连接OD、
∵AB＝AC，⊙
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
整理得R2﹣R﹣12＝0，
∴R＝4或（﹣3舍弃）．
∴ O的半径为4．
⊙【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利
用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+h，代入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方
程组即可，
（2）求出当x＝1时，y＝ 即可．
【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所
在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y＝a（x﹣1）2+h，
代入（0，2）和（3，0）得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣1）2+ ；
即y＝﹣ x2+ x+2（0≤x≤3），
根据对称性可知：抛物线的解析式也可以为：y＝﹣ x2﹣ x+2（﹣3≤x≤0），（2）y＝﹣ x2+ x+2（0≤x≤3），
当x＝1时，y＝ ，
即水柱的最大高度为 m．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求
出解析式是解题关键．
24．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质，证明∠DGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下
来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF；
（2）连接 DE，交 AF 于点 O．由菱形的性质可知 GF⊥DE，OG＝OF＝ GF，再证明
△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2＝FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）依据tan∠FEC＝ ，可设CF＝3x，CE＝4x，进而得到EF＝5x，CD＝8x＝AB，再依据相似三角
形对应边成比例，即可得到AE＝10x＝AD，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理列方程求解即可得
到矩形ABCD的周长．
【解答】解：（1）∵GE∥DF，
∴∠EGF＝∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，
∴∠DGF＝∠DFG．
∴GD＝DF．
∴DG＝GE＝DF＝EF．
∴四边形EFDG为菱形．（2）如图，连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG＝OF＝ GF．
∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴ ＝ ，即DF2＝FO•AF．
∵FO＝ GF，DF＝EG，
∴EG2＝ GF•AF．
（3）∵Rt△CEF中，tan∠FEC＝ ，
∴可设CF＝3x，CE＝4x，则EF＝5x＝DF，CD＝8x＝AB，
∵∠B＝∠C＝90°，∠AEF＝∠ADF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ，
∴BE＝6x，
∴BC＝10x＝AD，
∵Rt△ADF中，AF＝5 cm，
∴（10x）2+（5x）2＝（5 ）2，
解得x＝1，∴AD＝10cm，CD＝8cm，
∴矩形ABCD的周长＝2（10+8）＝36cm．
故答案为：36cm．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理
的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应
边和对应角相等．解决问题的关键是依据直角三角形的勾股定理列方程求解．
25．【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2） 先解方程﹣x2+6x﹣5＝0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC＝∠OCB
①
＝45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM＝2 ，接着根据平行四边形的性质得到PQ＝AM
＝2 ，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ＝45°得到PD＝ PQ＝4，设
P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣
5）＝4；当P点在直线BC下方时，PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5），然后分别解方程即可得到P点的
横坐标；
作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M ，交AC于E，如图2，利用等腰
1
②三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM B＝2∠ACB，再确定N（3，﹣2），
1
AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（ ，﹣ ），利用两直线垂直的问题可设直线EM 的解析式
1
为y＝﹣ x+b，把E（ ，﹣ ）代入求出b得到直线EM 的解析式为y＝﹣ x﹣ ，则解方程组
1
得M 点的坐标；作直线BC上作点M 关于N点的对称点M ，如图2，利用对称性得
1 1 2到∠AM C＝∠AM B＝2∠ACB，设M（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3＝ ，然后求出x
2 1 2
即可得到M 的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
2
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2） 解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x ＝1，x ＝5，则A（1，0），
1 2
∵B（①5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM＝ AB＝ ×4＝2 ，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2 ，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ＝45°，
∴PD＝ PQ＝ ×2 ＝4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m ＝1，m ＝4，
1 2
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m ＝ ，m ＝ ，
1 2综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M ，交AC于E，如图2，
1
②∵M A＝M C，
1 1
∴∠ACM ＝∠CAM ，
1 1
∴∠AM B＝2∠ACB，
1
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（ ，﹣ ），
设直线EM 的解析式为y＝﹣ x+b，
1
把E（ ，﹣ ）代入得﹣ +b＝﹣ ，解得b＝﹣ ，
∴直线EM 的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
1
解方程组 得 ，则M （ ，﹣ ）；
1
在直线BC上作点M 关于N点的对称点M ，如图2，则∠AM C＝∠AM B＝2∠ACB，
1 2 2 1
设M （x，x﹣5），
2
∵3＝ ，
∴x＝ ，∴M （ ，﹣ ），
2
综上所述，点M的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、
等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形
性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
