文档内容
2019年山东省菏泽市中考数学试卷
一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置
1．（3分）（2019•菏泽）下列各数中，最大的数是
A． B． C．0 D．
2．（3分）（2019•菏泽）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•菏泽）下列运算正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•菏泽）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•菏泽）已知 是方程组 的解，则 的值是
A． B．1 C． D．5
6．（3分）（2019•菏泽）如图， 是 的直径， ， 是 上的两点，且 平分 ，
分别与 ， 相交于点 ， ，则下列结论不一定成立的是
第1页（共26页）A． B． C． D．
7．（3分）（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 出发，
按“向上 向右 向下 向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路
线如图所示，第一次移动到点 ，第二次移动到点 第 次移动到点 ，则点 的坐
标是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•菏泽）如图，正方形 的边长为 ，动点 ， 同时从点 出发，在正
方形的边上，分别按 ， 的方向，都以 的速度运动，到达点 运
动终止，连接 ，设运动时间为 ， 的面积为 ，则下列图象中能大致表示 与
的函数关系的是
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相
应区域内.）
第2页（共26页）9．（3分）（2019•菏泽）计算 的结果是 ．
10．（3分）（2019•菏泽）已知 ，那么 的值是 ．
11．（3分）（2019•菏泽）如图， ， ，则 的度数是 ．
12．（3分）（2019•菏泽）一组数据4，5，6， 的众数与中位数相等，则这组数据的方差是 ．
13．（3分）（2019•菏泽）如图， ， 是正方形 的对角线 上的两点， ，
，则四边形 的周长是 ．
14．（3分）（2019•菏泽）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是 轴上
一动点，以点 为圆心，以1个单位长度为半径作 ，当 与直线 相切时，点 的坐
标是 ．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6分）（2019•菏泽）解不等式组：
16．（6分）（2019•菏泽）先化简，再求值： ，其中 ．
17．（6分）（2019•菏泽）如图，四边形 是矩形．
第3页（共26页）（1）用尺规作线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 （不写作法，保留作图痕
迹）；
（2）若 ， ，求 的长．
18．（6分）（2019•菏泽）列方程（组 解应用题：
德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速
公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高 ，那么行驶81千米的高速公路比行
驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
19．（7分）（2019•菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功
完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏
东 方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达 处，测得小岛 位于它的西北方
向，求此时航母与小岛的距离 的长．
20．（7分）（2019•菏泽）如图， 中，顶点 的坐标是 ， 轴， 交 轴于
点 ，顶点 的纵坐标是 ， 的面积是24．反比例函数 的图象经过点 和 ，
求：
（1）反比例函数的表达式；
（2） 所在直线的函数表达式．
第4页（共26页）21．（10分）（2019•菏泽）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思
想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”我市某中学响应号召，鼓励师生利用课余
时间广泛阅读，该校文学社发起了“读书感悟 分享”比赛活动根据参赛学生的成绩划分为
， ， ， 四个等级，并绘制了下面不完整的统计图表，根据图表中提供的信息解答下列
问题；
频数 频率
4
0.3
16
（1）求 ， 的值；
（2）求 等级对应扇形圆心角的度数；
（3）学校要从 等级的学生中随机选取2人参加市级比赛，求 等级中的学生小明被选中参
加市级比赛的概率．
22．（10分）（2019•菏泽）如图， 是 的直径， 是 的弦，过点 作 的切线，交
的延长线于点 ，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
第5页（共26页）23．（10分）（2019•菏泽）如图， 和 是有公共顶点的等腰直角三角形，
．
（1）如图1，连接 ， ， 的廷长线交 于点 ，交 于点 ，求证： ；
（2）如图2，把 绕点 顺时针旋转，当点 落在 上时，连接 ， ， 的延长线
交 于点 ，若 ， ，求 的面积．
24．（10分）（2019•菏泽）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点
的坐标是 ， 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，
抛物线的对称轴是直线 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 在第二象限内，且 ，求 的面积．
（3）在（2）的条件下，若 为直线 上一点，在 轴的上方，是否存在点 ，使 是以
为腰的等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共26页）2019 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置
1．（3分）下列各数中，最大的数是
A． B． C．0 D．
【考点】18：有理数大小比较
【分析】比较确定出最大的数即可．
【解答】解： ，
则最大的数是 ，
故选： ．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】 ：中心对称图形； ：轴对称图形
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解： 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选： ．
3．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；35：合并同类项
第7页（共26页）【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解： 、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式 ，符合题意，
故选： ．
4．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是
A． B． C． D．
【考点】 ：几何体的表面积； ：由三视图判断几何体
【分析】由题意推知几何体长方体，长、宽、高分别为 、 、 ，可求其表面积．
【解答】解：由题意推知几何体是长方体，长、宽、高分别 、 、 ，
所以其面积为： ．
故选： ．
5．（3分）已知 是方程组 的解，则 的值是
A． B．1 C． D．5
【考点】97：二元一次方程组的解
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：将 代入 ，
可得： ，
两式相加： ，
故选： ．
第8页（共26页）6．（3分）如图， 是 的直径， ， 是 上的两点，且 平分 ， 分别与
， 相交于点 ， ，则下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
【考点】 ：全等三角形的判定； ：圆周角定理
【分析】由圆周角定理和角平分线得出 ， ，由等腰三角形的性质
得出 ，得出 ，证出 ，选项 成立；
由平行线的性质得出 ，选项 成立；
由垂径定理得出 ，选项 成立；
和 中，没有相等的边， 与 不全等，选项 不成立，即可得出答案．
【解答】解： 是 的直径， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
，选项 成立；
，选项 成立；
，选项 成立；
和 中，没有相等的边，
与 不全等，选项 不成立；
故选： ．
7．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 出发，按“向上
向右 向下 向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，
第一次移动到点 ，第二次移动到点 第 次移动到点 ，则点 的坐标是
第9页（共26页）A． B． C． D．
【考点】 ：规律型：点的坐标
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点 的坐标．
【解答】解： ， ， ， ， ， ， ，
，
所以 的坐标为 ，
则 的坐标是 ．
故选： ．
8．（3分）如图，正方形 的边长为 ，动点 ， 同时从点 出发，在正方形的边上，
分别按 ， 的方向，都以 的速度运动，到达点 运动终止，连接
，设运动时间为 ， 的面积为 ，则下列图象中能大致表示 与 的函数关系
的是
A． B．
第10页（共26页）C． D．
【考点】 ：动点问题的函数图象
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
① 时，根据 ，列出函数关系式，从而得到函数图象；
② 时，根据 列出函数关系式，从而得到函数
图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①当 时，
正方形的边长为 ，
；
②当 时，
，
所以， 与 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 选项图象
符合．
故选： ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相
应区域内.）
第11页（共26页）9．（3分）计算 的结果是 ．
【考点】 ：有理数的减法； ：负整数指数幂； ：有理数的乘方
【分析】直接利用负指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：原式 ．
故答案为： ．
10．（3分）已知 ，那么 的值是 4 ．
【考点】 ：二次根式的化简求值
【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解： ，
，
，
故答案为：4
11．（3分）如图， ， ，则 的度数是 ．
【考点】 ：平行线的性质
【分析】直接作出 ，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：作 ，
，
，
， ， ，
， ，
．
故答案为： ．
第12页（共26页）12．（3分）一组数据4，5，6， 的众数与中位数相等，则这组数据的方差是 ．
【考点】 ：中位数； ：方差； ：众数
【分析】分别假设众数为4，5，6，分类讨论，找到符合题意的 的值，再根据方差的定义求解
可得．
【解答】解：若众数为4，则数据为4，4，5，6，此时中位数为4.5，不符合题意；
若众数为5，则数据为4，5，5，6，中位数为5，符合题意，
此时平均数为 ，方差为 ；
若众数为6，则数据为4，5，6，6，中位数为5.5，不符合题意；
故答案为 ．
13．（3分）如图， ， 是正方形 的对角线 上的两点， ， ，则四
边形 的周长是 ．
【考点】 ：正方形的性质； ：全等三角形的判定与性质
【分析】连接 交 于点 ，则可证得 ， ，可证四边形 为平行四
边形，且 ，可证得四边形 为菱形；根据勾股定理计算 的长，可得结论．
【解答】解：如图，连接 交 于点 ，
四边形 为正方形，
， ，
，
，即 ，
第13页（共26页）四边形 为平行四边形，且 ，
四边形 为菱形，
，
， ，
由勾股定理得： ，
四边形 的周长 ，
故答案为： ．
14．（3分）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是 轴上一动点，以点
为圆心，以1个单位长度为半径作 ，当 与直线 相切时，点 的坐标是 ，
．
【考点】 ：一次函数图象上点的坐标特征； ：切线的判定与性质
【分析】根据函数解析式求得 ， ． ，得到 ， ，根据勾股定理得到
，设 与直线 相切于 ，连接 ，则 ， ，根据相似三角形的性
质即可得到结论．
【解答】解： 直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
第14页（共26页）令 ，得 ，令 ，得 ，
， ． ，
， ，
，
设 与直线 相切于 ，
连接 ，
则 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
故答案为： ， ．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6分）解不等式组：
【考点】 ：解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
第15页（共26页）解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
16．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】 ：分式的化简求值
【分析】根据分式的减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后将 代入化简后的
式子即可解答本题．
【解答】解：
，
，
原式 ．
17．（6分）如图，四边形 是矩形．
（1）用尺规作线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 （不写作法，保留作图痕
迹）；
（2）若 ， ，求 的长．
【考点】 ：矩形的性质； ：线段垂直平分线的性质； ：作图 基本作图
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；
（2）利用含 的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2） 四边形 是矩形， 是线段 的垂直平分线，
第16页（共26页）， ，
，
，
，
．
18．（6分）列方程（组 解应用题：
德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速
公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高 ，那么行驶81千米的高速公路比行
驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
【考点】 ：分式方程的应用
【分析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是 千米 分钟，则汽车行驶在高速公路上的平
均速度是 千米 分钟，根据“行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用
时间将会缩短36分钟”列出方程并解答．
【解答】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是 千米 分钟，则汽车行驶在高速公路上
的平均速度是 千米 分钟，
由题意，得 ．
解得 ．
经检验， 是所列方程的根，且符合题意．
所以 （千米 分钟）．
答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是 千米 分钟．
19．（7分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海
上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，
且与航母相距80海里再航行一段时间后到达 处，测得小岛 位于它的西北方向，求此时
航母与小岛的距离 的长．
第17页（共26页）【考点】 ：解直角三角形的应用 方向角问题
【分析】过点 作 于点 ，根据题意得到 ， ， ，解
直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点 作 于点 ，
由题意，得： ， ， ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
答： 的距离是 海里．
20．（7分）如图， 中，顶点 的坐标是 ， 轴， 交 轴于点 ，顶点
的纵坐标是 ， 的面积是24．反比例函数 的图象经过点 和 ，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2） 所在直线的函数表达式．
第18页（共26页）【考点】 ：平行四边形的性质； ：待定系数法求一次函数解析式； ：反比例函数系数
的几何意义； ：反比例函数图象上点的坐标特征； ：待定系数法求反比例函数解析式
【分析】（1）根据题意得出 ，结合平行四边形的面积得出 ，继而知点 坐
标，从而得出反比例函数解析式；
（2）先根据反比例函数解析式求出点 的坐标，再利用待定系数法求解可得．
【解答】解：（1） 顶点 的坐标是 ，顶点 的纵坐标是 ，
，
又 的面积是24，
，
则
，
反比例函数解析式为 ；
（2）由题意知 的纵坐标为 ，
其横坐标为 ，
则 ，
设 所在直线解析式为 ，
将 、 代入，得： ，
解得： ，
所以 所在直线解析式为 ．
21．（10分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人
得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”我市某中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅
第19页（共26页）读，该校文学社发起了“读书感悟 分享”比赛活动根据参赛学生的成绩划分为 ， ， ，
四个等级，并绘制了下面不完整的统计图表，根据图表中提供的信息解答下列问题；
频数 频率
4
0.3
16
（1）求 ， 的值；
（2）求 等级对应扇形圆心角的度数；
（3）学校要从 等级的学生中随机选取2人参加市级比赛，求 等级中的学生小明被选中参
加市级比赛的概率．
【考点】 ：扇形统计图； ：列表法与树状图法； ：频数（率 分布表
【分析】（1）根据 等级有4人，所占的百分比是 即可求得总人数，然后求得 和 的值；
（2）首先计算出 等级频数，再利用 乘以对应的百分比即可求得 等级所对应的圆心
角度数；
（3）利用列举法求得选中 等级的小明的概率．
【解答】解：（1）总人数： ，
，
；
（2） 的频数： ，
等级对应扇形圆心角的度数： ；
（3）用 表示小明，用 、 、 表示另外三名同学．
则选中小明的概率是： ．
第20页（共26页）22．（10分）如图， 是 的直径， 是 的弦，过点 作 的切线，交 的延长线
于点 ，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【考点】 ：圆周角定理； ：切线的性质
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，推出 ，得到 ，根
据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据三角形的外角的性质即可得到
结论；
（2）根据勾股定理得到 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接 ，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
第21页（共26页）， ，
，
，
，
，
，
，
的半径为6．
23．（10分）如图， 和 是有公共顶点的等腰直角三角形， ．
（1）如图1，连接 ， ， 的廷长线交 于点 ，交 于点 ，求证： ；
（2）如图2，把 绕点 顺时针旋转，当点 落在 上时，连接 ， ， 的延长线
交 于点 ，若 ， ，求 的面积．
【考点】 ：全等三角形的判定与性质； ：等腰直角三角形； ：旋转的性质
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到 ， ，
，求得 ，根据全等三角形的性质得到
，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ， ，求得 ，得到
第22页（共26页）， ，求得 ， ，根据相似三角形的性质
得到 ， 根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1） 和 是有公共顶点的等腰直角三角形， ．
， ， ，
即 ，
在 与 中， ，
，
，
，
，
；
（2）在 与 中， ，
，
， ，
，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
第23页（共26页），
，
，
的面积 ．
24．（10分）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标是 ，
为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，抛物线的对称轴
是直线 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 在第二象限内，且 ，求 的面积．
（3）在（2）的条件下，若 为直线 上一点，在 轴的上方，是否存在点 ，使 是以
为腰的等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】 ：二次函数综合题
【分析】（1）点 、点 ，则函数的表达式为： ，即
可求解；
（2） ，则 ，求得：点 ，利用
，即可求解；
第24页（共26页）（3） ，则 ，即可求解．
【解答】解：（1）点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ，则点 ，
则函数的表达式为： ，
即： ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2）将点 、 的坐标代入一次函数表达式： 并解得：
直线 的表达式为： ，则 ，则 ，
设点 ，则点 ，点 ，
，
，
解得： 或 （舍去 ，
即点
；
（3）由题意得： 是以 为腰的等腰三角形，只存在： 的情况，
，
则 ，
第25页（共26页）则 ，
故点 ， ．
第26页（共26页）
