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2019年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2019•山西）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．（3分）（2019•山西）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
3．（3分）（2019•山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在
原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
4．（3分）（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•山西）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，
直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．（3分）（2019•山西）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1
第1页（共28页）7．（3分）（2019•山西）五台山景区空气清爽，景色宜人．“五一”小长假期间购票进山游客
12万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季168元/人．以此计算，“五一”小长
假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（ ）
A．2.016×108元 B．0.2016×107元
C．2.016×107元 D．2016×104元
8．（3分）（2019•山西）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
9．（3分）（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，
跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱
（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，
B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），
以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢
拱的函数表达式为（ ）
A．y＝ x2 B．y＝﹣ x2
C．y＝ x2 D．y＝﹣ x2
10．（3分）（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2 ，BC＝2，以AB的中点
O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣ B． + C．2 ﹣ D．4 ﹣
π
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2019•山西）化简 ﹣ 的结果是 ．
第2页（共28页）12．（3分）（2019•山西）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”
这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折
线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是 ．
13．（3分）（2019•山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂
直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，
设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为 ．
14．（3分）（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在
x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝ （x＞0）
的图象恰好经过点C，则k的值为 ．
15．（3分）（2019•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内
一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC
重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 cm．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（2019•山西）（1）计算： +（﹣ ）﹣2﹣3tan60°+（ ﹣ ）0．
π
第3页（共28页）（2）解方程组：
17．（7分）（2019•山西）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求
证：BC＝DF．
18．（9分）（2019•山西）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月
在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募
10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了
基本素质测评，满分10分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基
本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问题：
（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否
被录用（只写判断结果，不必写理由）．
（2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位数”，
或“平均数”中的一个方面评价即可）．
（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的
两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山
西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现
把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者
小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法
求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率．
19．（8分）（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游
泳再付费30元．
第4页（共28页）方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y（元），选择方式二的
1
总费用为y （元）．
2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的函数表达式．
1 2
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
20．（9分）（2019•山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们
制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选
取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测
量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们
的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度
的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，
B与H在同一条水平直线上，A，B之间
的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，
C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E
在同一条直线上，点E在GH 上．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31°
A，B之间的距离 5.4m 5.6m
… …
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，
tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗
杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
第5页（共28页）21．（8分）（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重
要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和
内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．
如图1， O和 I分别是△ABC的外接圆和内切圆， I与AB相切分于点F，设 O的半
径为R，⊙I的半⊙径为r，外心O（三角形三边垂直平分⊙线的交点）与内心I（三角形⊙三条角
平分线的⊙交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交 O于点D，过点I作 O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D＝∠⊙N，∠DMI＝∠NAI（同⊙弧所对的圆周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．∴ ＝ ，∴IA•ID＝IM•IN，
①
如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作 O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．
∵DE是 O的直径，所以∠DBE＝90°． ⊙
∵ I与⊙AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，
∴⊙∠DBE＝∠IFA．
∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴ ＝ ．
第6页（共28页）∴IA•BD＝DE•IF
任务：（1）观察发②现：IM＝R+d，IN＝ （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．
（3）请观察式子 和式子 ，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该
定理证明的剩余①部分； ②
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内
心之间的距离为 cm．
22．（11分）（2019•山西）综合与实践
动手操作：
第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C
的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点
E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．
第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．
第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，
GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．
问题解决：
（1）在图5中，∠BEC的度数是 ， 的值是 ．
（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；
（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形
（正方形除外），并写出这个菱形： ．
23．（13分）（2019•山西）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物
线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
第7页（共28页）（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的 时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这
样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共28页）2019 年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑
1．（3分）（2019•山西）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【考点】绝对值．
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【分析】根据绝对值的定义，﹣3的绝对值是指在数轴上表示﹣3的点到原点的距离，即可
得到正确答案．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故﹣3的绝对值是3．
故选：B．
2．（3分）（2019•山西）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
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【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘
除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确．
故选：D．
3．（3分）（2019•山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在
原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（ ）
第9页（共28页）A．青 B．春 C．梦 D．想
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
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【分析】根据正方体展开z字型和L型找对面的方法即可求解；
【解答】解：展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦”是
对面；
故选：B．
4．（3分）（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
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【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否
则就不是．
【解答】解：解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
5．（3分）（2019•山西）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，
直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
第10页（共28页）【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
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【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性
质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝75°，
在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，
∵a∥b，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠2＝115°﹣75°＝40°，
故选：C．
6．（3分）（2019•山西）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1
【考点】解一元一次不等式组．
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【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解： ，
由 得：x＞4，
由①得：x＞﹣1，
不②等式组的解集为：x＞4，
故选：A．
7．（3分）（2019•山西）五台山景区空气清爽，景色宜人．“五一”小长假期间购票进山游客
12万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季168元/人．以此计算，“五一”小长
假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（ ）
A．2.016×108元 B．0.2016×107元
C．2.016×107元 D．2016×104元
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表
示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
第11页（共28页）【解答】解：120000×168＝20160000＝2.016×107，
故选：C．
8．（3分）（2019•山西）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
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【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
9．（3分）（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，
跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱
（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，
B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），
以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢
拱的函数表达式为（ ）
A．y＝ x2 B．y＝﹣ x2
C．y＝ x2 D．y＝﹣ x2
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．
【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2，
将B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452，
解得：a＝﹣ ，
第12页（共28页）故此抛物线钢拱的函数表达式为：y＝﹣ x2．
故选：B．
10．（3分）（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2 ，BC＝2，以AB的中点
O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣ B． + C．2 ﹣ D．4 ﹣
π
【考点】勾股定理；扇形面积的计算．
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【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形
可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以
解答本题．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2 ，BC＝2，
∴tanA＝ ，
∴∠A＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝ AB＝ ，
∴DE＝ ，
∴阴影部分的面积是： ＝ ，
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2019•山西）化简 ﹣ 的结果是 ．
第13页（共28页）【考点】分式的加减法．
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【分析】先把异分母转化成同分母，再把分子相减即可．
【解答】解：原式＝ ．
故答案为：
12．（3分）（2019•山西）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”
这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折
线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是 扇形统计图 ．
【考点】统计图的选择．
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【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而
且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择
即可．
【解答】解：要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的
支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故答案为：扇形统计图
13．（3分）（2019•山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂
直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，
设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为 （ 1 2 ﹣ x ）（ 8 ﹣ x ）＝ 7 7 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方
形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：∵道路的宽应为x米，
∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，
故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77．
14．（3分）（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在
x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝ （x＞0）
第14页（共28页）的图象恰好经过点C，则k的值为 1 6 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【分析】要求k的值，求出点C坐标即可，由菱形的性质，再构造直角三角形，利用勾股定
理，可以求出相应的线段的长，转化为点的坐标，进而求出k的值．
【解答】解：过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（﹣4，0），D（﹣1，4），
∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA﹣OF＝3，
在Rt△ADF中，AD＝ ，
∴OE＝EF﹣OF＝5﹣1＝4，
∴C（4，4）
∴k＝4×4＝16
故答案为：16．
15．（3分）（2019•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内
一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC
重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 （ 1 0 ﹣ 2 ）
cm．
第15页（共28页）【考点】含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质．
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【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝
60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF＝AC﹣AF＝10﹣2 ．
【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，
由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴∠AED＝∠ADG＝45°，
在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，
在Rt△ADG中，AG＝DG＝ ＝3 ，
在Rt△AFG中，GF＝ ＝ ，AF＝2FG＝2 ，
∴CF＝AC﹣AF＝10﹣2 ，
故答案为：10﹣2 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（2019•山西）（1）计算： +（﹣ ）﹣2﹣3tan60°+（ ﹣ ）0．
π
（2）解方程组：
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．
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【分析】（1）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数，0次幂进行计算，再合并同类二
次根式；
（2）用加减法进行解答便可．
第16页（共28页）【解答】解：（1）原式＝3 +4﹣3 +1
＝5；
（2） + 得，
4x＝﹣①8，②
∴x＝﹣2，
把x＝﹣2代入 得，
﹣6﹣2y＝﹣8，①
∴y＝1，
∴ ．
17．（7分）（2019•山西）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求
证：BC＝DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【分析】由已知得出 AB＝ED，由平行线的性质得出∠A＝∠E，由 AAS 证明
△ABC≌△EDF，即可得出结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD﹣BD＝BE﹣BD，
∴AB＝ED，
∵AC∥EF，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EDF中， ，
∴△ABC≌△EDF（AAS），
∴BC＝DF．
18．（9分）（2019•山西）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月
在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募
第17页（共28页）10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了
基本素质测评，满分10分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基
本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问题：
（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否
被录用（只写判断结果，不必写理由）．
（2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位数”，
或“平均数”中的一个方面评价即可）．
（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的
两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山
西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现
把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者
小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法
求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率．
【考点】算术平均数；中位数；众数；列表法与树状图法．
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【分析】（1）判断小华和小丽在各自班级的名次即可得出答案；
（2）分别得出甲乙两班的众数、中位数和平均数，再判断大小即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可
得．
【解答】解：（1）小华在甲班是第11名，不能录用；小丽在乙班是第10名，可以录用；
（2）从众数来看，甲乙两班各被录用的10名志愿者的众数分别为8分、10分，说明甲班被
录用的10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多；
从中位数来看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分、8.5分，说明甲
班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数；
从平均数看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为8.9分、8.7分，说明甲班
被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数．
（3）画树状图如下：
第18页（共28页）由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的有2种
结果，
所以抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率为 ＝ ．
19．（8分）（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游
泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y（元），选择方式二的
1
总费用为y （元）．
2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的函数表达式．
1 2
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
【考点】一次函数的应用．
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【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y ＝30x+200，方式二的费用为：y ＝
1 2
40x；
（2）由y ＜y 得：30x+200＜40x，
1 2
解得x＞20时，
当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．
20．（9分）（2019•山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们
制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选
取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测
量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们
的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
第19页（共28页）测量示意图 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度
的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，
B与H在同一条水平直线上，A，B之间
的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，
C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E
在同一条直线上，点E在GH 上．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31°
A，B之间的距离 5.4m 5.6m
… …
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 5. 5 m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，
tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗
杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；平行投影．
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【分析】任务一：根据矩形的性质得到EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5；
任务二：设EC＝xm，解直角三角形即可得到结论；
任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）．
【解答】解：任务一：由题意可得，四边形ACDB，四边形ADEH是矩形，
∴EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5，
故答案为：5.5；
任务二：设EC＝xm，
在Rt△DEG中，∠DEC＝90°，∠GDE＝31°，
∵tan31°＝ ，
第20页（共28页）∴DE＝ ，
在Rt△CEG中，∠CEG＝90°，∠GCE＝25.7°，
∵tan25.7°＝ ，CE＝ ，
∵CD＝CE﹣DE，
∴ ﹣ ＝5.5，
∴x＝13.2，
∴GH＝CE+EH＝13.2+1.5＝14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7米；
任务三：没有太阳光，或旗杆底部不可能达到．
21．（8分）（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重
要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和
内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．
如图1， O和 I分别是△ABC的外接圆和内切圆， I与AB相切分于点F，设 O的半
径为R，⊙I的半⊙径为r，外心O（三角形三边垂直平分⊙线的交点）与内心I（三角形⊙三条角
平分线的⊙交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交 O于点D，过点I作 O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D＝∠⊙N，∠DMI＝∠NAI（同⊙弧所对的圆周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．∴ ＝ ，∴IA•ID＝IM•IN，
①
如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作 O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．
∵DE是 O的直径，所以∠DBE＝90°． ⊙
第21页（共28页）
⊙∵ I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，
∴⊙∠DBE＝∠IFA．
∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴ ＝ ．
∴IA•BD＝DE•IF
任务：（1）观察发②现：IM＝R+d，IN＝ R ﹣ d （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．
（3）请观察式子 和式子 ，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该
定理证明的剩余①部分； ②
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内
心之间的距离为 cm．
【考点】圆的综合题．
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【分析】（1）直接观察可得；
（2）BD＝ID，只要证明∠BID＝∠DBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证；
（3）应用（1）（2）结论即可；
（4）直接代入计算．
【解答】解：（1）∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN＝ON
∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d
故答案为：R﹣d；
（2）BD＝ID
理由如下：
如图3，过点I作 O直径MN，连接AI交 O于D，连接MD，BI，BD，
⊙ ⊙
∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI
∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI
∴∠BID＝∠DBI
∴BD＝ID
（3）由（2）知：BD＝ID
第22页（共28页）∴IA•ID＝DE•IF
∵DE•IF＝IM•IN
∴2R•r＝（R+d）（R﹣d）
∴R2﹣d2＝2Rr
∴d2＝R2﹣2Rr
（4）由（3）知：d2＝R2﹣2Rr；将R＝5，r＝2代入得：
d2＝52﹣2×5×2＝5，
∵d＞0
∴d＝
故答案为： ．
22．（11分）（2019•山西）综合与实践
动手操作：
第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C
的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点
E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．
第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．
第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，
GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．
问题解决：
（1）在图5中，∠BEC的度数是 67.5 ° ， 的值是 ．
（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；
（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形
（正方形除外），并写出这个菱形： 菱形 EMCH 或菱形 FGCH ．
第23页（共28页）【考点】相似形综合题．
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【分析】（1）由折叠的性质得BE＝EN，AE＝AF，∠CEB＝∠CEN，∠BAC＝∠CAD，由正
方形性质得∠EAF＝90°，推出∠AEF＝∠AFE＝45°，得出∠BEN＝135°，∠BEC＝67.5°，
证得△AEN是等腰直角三角形，得出AE＝ EN，即可得出结果；
（2）由正方形性质得∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，由折叠的性质得∠BCE＝∠ECA＝∠ACF
＝∠FCD，CM＝CG，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC，得出∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝
∠FCD＝22.5°，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC＝67.5°，由折叠可知MH、GH分别垂直
平分EC、FC，得出MC＝ME＝CG＝GF，推出∠MEC＝∠BCE＝22.5°，∠GFC＝∠FCD＝
22.5°，∠MEF＝90°，∠GFE＝90°，推出∠CMG＝45°，∠BME＝45°，得出∠EMG＝90°，即
可得出结论；
（3）连接EH、FH，由折叠可知MH、GH分别垂直平分EC、FC，同时EC、FC也分别垂直平
分MH、GH，则四边形EMCH与四边形FGCH是菱形．
【解答】解：（1）由折叠的性质得：BE＝EN，AE＝AF，∠CEB＝∠CEN，∠BAC＝∠CAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴∠BEN＝135°，
∴∠BEC＝67.5°，
∴∠BAC＝∠CAD＝45°，
∵∠AEF＝45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AE＝ EN，
∴ ＝ ＝ ；
故答案为：67.5°， ；
（2）四边形EMGF是矩形；理由如下：
第24页（共28页）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD，CM＝CG，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC
＝∠DFC，
∴∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD＝ ＝22.5°，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC
＝67.5°，
由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，
∴MC＝ME＝CG＝GF，
∴∠MEC＝∠BCE＝22.5°，∠GFC＝∠FCD＝22.5°，
∴∠MEF＝90°，∠GFE＝90°，
∵∠MCG＝90°，CM＝CG，
∴∠CMG＝45°，
∵∠BME＝∠BCE+∠MEC＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠EMG＝180°﹣∠CMG﹣∠BME＝90°，
∴四边形EMGF是矩形；
（3）连接EH、FH，如图所示：
∵由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，同时EC、FC也分别垂直平分MH、GH，
∴四边形EMCH与四边形FGCH是菱形，
故答案为：菱形EMCH或菱形FGCH．
23．（13分）（2019•山西）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物
线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的 时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这
第25页（共28页）样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
菁
【分析】（1）由抛物线交点式表达，即可求解；
（2）利用S△BDC ＝ HB×OB，即可求解；
（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax
﹣8a，
即﹣8a＝6，解得：a＝﹣ ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+6；
（2）点C（0，6），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣ x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，
设点D（m，﹣ m2+ m+6），则点H（m，﹣ m+6）
S△BDC ＝ HB×OB＝2（﹣ m2+ m+6+ m﹣6）＝﹣ m2+3m，
S△ACO ＝ × ×6×2＝ ，
第26页（共28页）即：﹣ m2+3m＝ ，
解得：m＝1或3（舍去1），
故m＝3；
（3）当m＝3时，点D（3， ），
当BD是平行四边形的一条边时，
①如图所示：M、N分别有三个点，
设点N（n，﹣ n2+ n+6）
则点N的纵坐标为绝对值为 ，
即|﹣ n2+ n+6|＝ ，
解得：n＝﹣1或3（舍去）或1 ，
故点N（N′、N″）的坐标为（﹣1， ）或（1 ，﹣ ）或（1﹣ ，﹣ ），
当点N（﹣1， ）时，由图象可得：点M（0，0），
当N′的坐标为（1 ，﹣ ），由中点坐标公式得：点M′（ ，0），
同理可得：点M″坐标为（﹣ ，0），
故点M坐标为：（0，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）；
当BD是平行四边形的对角线时，
②
点B、D的坐标分别为（4，0）、（3， ）
设点M（m，0），点N（s，t），
第27页（共28页）由中点坐标公式得： ，而t＝﹣ s2+ s+6，
解得：t＝ ，s＝﹣1，m＝8，
故点M坐标为（8，0）；
故点M的坐标为：（0，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）或（8，0）．
第28页（共28页）
