文档内容
2019年山东省济宁市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求
1．（3分）（2019•济宁）下列四个实数中，最小的是
A． B． C．1 D．4
2．（3分）（2019•济宁）如图，直线 ， 被直线 ， 所截，若 ， ，则 的度
数是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•济宁）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•济宁）以下调查中，适宜全面调查的是
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
5．（3分）（2019•济宁）下列计算正确的是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成 基站布设，“孔夫子家”自
此有了 网络． 网络峰值速率为 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数
据， 网络比 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设 网络的峰值速率为每秒传
输 兆数据，依题意，可列方程是
第1页（共27页）A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂
有颜色，该几何体的表面展开图是
A． B．
C． D．
8．（3分）（2019•济宁）将抛物线 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位
长度后，得到的抛物线解析式是
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•济宁）如图，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， 为 的中点，将
绕点 逆时针旋转 后得到△ ．若反比例函数 的图象恰好经过 的
中点 ，则 的值是
第2页（共27页）A．9 B．12 C．15 D．18
10．（3分）（2019•济宁）已知有理数 ，我们把 称为 的差倒数，如：2的差倒数是
， 的差倒数是 ．如果 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数，
是 的差倒数 依此类推，那么 的值是
A． B．7.5 C．5.5 D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）（2019•济宁）已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．（3分）（2019•济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ．
13．（3分）（2019•济宁）已知点 位于第四象限，并且 ， 为整数），写出一个
符合上述条件的点 的坐标 ．
14．（3分）（2019•济宁）如图， 为 直角边 上一点，以 为半径的 与斜边
相切于点 ，交 于点 ，已知 ， ．则图中阴影部分的面积是 ．
第3页（共27页）15．（3分）（2019•济宁）如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，
则不等式 的解集是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共55分，
16．（6分）（2019•济宁）计算：
17．（7分）（2019•济宁）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部
分学生，调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
阅读时间 （小时） 人数 占女生人数百分比
4
5
6
2
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中， ， ；
（2）此次抽样调查中，共抽取了 名学生，学生阅读时间的中位数在 时间段；
（3）从阅读时间在 小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到
男女生各一名的概率是多少？
第4页（共27页）18．（7分）（2019•济宁）如图，点 和点 在 内部．
（1）请你作出点 ，使点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等（保留
作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
19．（8分）（2019•济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小
李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离
与小王的行驶时间 之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段 所表示的 与 之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．
20．（8分）（2019•济宁）如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 的中点， 为
第5页（共27页）延长线上一点，且 ， 与 交于点 ，与 交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求直径 的长．
21．（8分）（2019•济宁）阅读下面的材料：
如果函数 满足：对于自变量 的取值范围内的任意 ， ，
（1）若 ，都有 ，则称 是增函数；
（2）若 ，都有 ，则称 是减函数．
例题：证明函数 是减函数．
证明：设 ，
．
，
， ．
．即 ．
．
函数 是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
第6页（共27页）已知函数 ，
，
（1）计算： ， ；
（2）猜想：函数 是 函数（填“增”或“减” ；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
22．（11分）（2019•济宁）如图1，在矩形 中， ， ， 是 边上一点，连
接 ，将矩形 沿 折叠，顶点 恰好落在 边上点 处，延长 交 的延长
线于点 ．
（1）求线段 的长；
（2）如图2， ， 分别是线段 ， 上的动点（与端点不重合），且 ，设
， ．
①写出 关于 的函数解析式，并求出 的最小值；
②是否存在这样的点 ，使 是等腰三角形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说
明理由．
第7页（共27页）2019 年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求
1．（3分）下列四个实数中，最小的是
A． B． C．1 D．4
【考点】 ：实数大小比较；22：算术平方根
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反
而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得
，
所以四个实数中，最小的数是 ．
故选： ．
2．（3分）如图，直线 ， 被直线 ， 所截，若 ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【考点】 ：平行线的判定与性质
【分析】首先证明 ，推出 ，求出 即可．
【解答】解： ，
，
，
，
，
故选： ．
第8页（共27页）3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】 ：轴对称图形； ：中心对称图形
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解： 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选： ．
4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
【考点】 ：全面调查与抽样调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似解答．
【解答】解： 、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故 选项错误；
、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故 选项正确；
、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故 选项错误；
、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故 选项错误．
故选： ．
5．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
第9页（共27页）【考点】24：立方根；22：算术平方根
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，正确．
故选： ．
6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成 基站布设，“孔夫子家”自此有了 网络．
网络峰值速率为 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据， 网络比
网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设 网络的峰值速率为每秒传输 兆数据，依
题意，可列方程是
A． B．
C． D．
【考点】 ：由实际问题抽象出分式方程
【分析】直接利用 网络比 网络快45秒得出等式进而得出答案．
【解答】解：设 网络的峰值速率为每秒传输 兆数据，依题意，可列方程是：
．
故选： ．
7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几
何体的表面展开图是
第10页（共27页）A． B．
C． D．
【考点】 ：几何体的展开图
【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
【解答】解：选项 和 带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项 能折叠成原几何体的形式；
选项 折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选： ．
8．（3分）将抛物线 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到
的抛物线解析式是
A． B． C． D．
【考点】 ：二次函数图象与几何变换
【分析】先把 配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为 ，再把点 向上
平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为 ，然后根据顶点式写出
平移后的抛物线解析式．
【解答】解： ，即抛物线的顶点坐标为 ，
把点 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为 ，
所以平移后得到的抛物线解析式为 ．
故选： ．
第11页（共27页）9．（3分）如图，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， 为 的中点，将 绕点
逆时针旋转 后得到△ ．若反比例函数 的图象恰好经过 的中点 ，则 的
值是
A．9 B．12 C．15 D．18
【考点】 ：坐标与图形变化 旋转； ：反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】作 轴于 ．证明 ，推出 ， ，求出点
坐标，再利用中点坐标公式求出点 坐标即可解决问题．
【解答】解：作 轴于 ．
，
， ，
，
，
，
， ，
点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
， ，
， ，
，
第12页（共27页），
，
，
反比例函数 的图象经过点 ，
．
故选： ．
10．（3分）已知有理数 ，我们把 称为 的差倒数，如：2的差倒数是 ， 的
差倒数是 ．如果 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数
依此类推，那么 的值是
A． B．7.5 C．5.5 D．
【考点】17：倒数；37：规律型：数字的变化类
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以 ， ， 依次循环，且 ，
再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
【解答】解： ，
， ， ，
这个数列以 ， ， 依次循环，且 ，
，
，
故选： ．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根是 ．
【考点】 ：一元二次方程的解； ：解一元二次方程 因式分解法
【分析】根据根与系数的关系得出 ，即可得出另一根的值．
第13页（共27页）【解答】解： 是方程 的一个根，
，
，
则方程的另一个根是： ，
故答案为 ．
12．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ．
【考点】 ：多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和定理： 求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的
度数．
【解答】解：该正九边形内角和 ，
则每个内角的度数 ．
故答案为： ．
13．（3分）已知点 位于第四象限，并且 ， 为整数），写出一个符合上述条件
的点 的坐标 （答案不唯一） ．
【考点】 ：点的坐标
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出 ， 的取值范围，进而得出答案．
【解答】解： 点 位于第四象限，并且 ， 为整数），
， ，
当 时， ，
解得： ，
可以为： ，
故写一个符合上述条件的点 的坐标可以为： （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
14．（3分）如图， 为 直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点
第14页（共27页），交 于点 ，已知 ， ．则图中阴影部分的面积是 ．
【考点】 ：扇形面积的计算； ：切线的性质； ：勾股定理
【分析】首先利用勾股定理求出 的长，再证明 ，进而由 可求出
的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出 的度数，则圆心角 的度数可求出，在
直角三角形 中求出 的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：在 中， ， ．
，
，
是圆的切线，
与斜边 相切于点 ，
，
；
在 中， ，
，
与斜边 相切于点 ，
，
，
，
，
，
第15页（共27页）．
故答案是： ．
15．（3分）如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，则不等式
的解集是 或 ．
【考点】 ：二次函数与不等式（组
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解： 抛物线 与直线 交于 ， 两点，
， ，
抛物线 与直线 交于 ， 两点，
观察函数图象可知：当 或 时，直线 在抛物线 的下方，
不等式 的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．
第16页（共27页）三、解答题：本大题共7小题，共55分，
16．（6分）计算：
【考点】 ：特殊角的三角函数值； ：实数的运算； ：零指数幂
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点．在计算时，
需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式 ，
．
17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查
结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
阅读时间 （小时） 人数 占女生人数百分比
4
5
6
2
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中， 3 ， ；
（2）此次抽样调查中，共抽取了 名学生，学生阅读时间的中位数在 时间段；
（3）从阅读时间在 小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到
男女生各一名的概率是多少？
第17页（共27页）【考点】 ：中位数； ：频数（率 分布表； ：全面调查与抽样调查； ：列表法与树状
图法； ：扇形统计图
【分析】（1）由 时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义
求解可得；
（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；
（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）女生总人数为 （人 ，
， ，
故答案为：3， ；
（2）学生总人数为 （人 ，
这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在 范围内，
学生阅读时间的中位数在 时间段，
故答案为：50， ；
（3）学习时间在 小时的有女生2人，男生3人．
共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是 ．
18．（7分）如图，点 和点 在 内部．
（1）请你作出点 ，使点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等（保留
作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
第18页（共27页）【考点】 ：线段垂直平分线的性质； ：作图 复杂作图； ：角平分线的性质
【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；
（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：（1）如图，点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等；
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离
相等．
19．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两
人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离 与小王的行驶
时间 之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段 所表示的 与 之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．
第19页（共27页）【考点】 ：一次函数的应用
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点 的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的速度为： ，
小李的速度为： ，
答：小王和小李的速度分别是 、 ；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为： ，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为： ，
点 的坐标为 ，
设线段 所表示的 与 之间的函数解析式为 ，
，得 ，
即线段 所表示的 与 之间的函数解析式是 ．
20．（8分）如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 的中点， 为 延长线上一
点，且 ， 与 交于点 ，与 交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求直径 的长．
【考点】 ：解直角三角形； ：切线的判定与性质； ：圆周角定理； ：垂径定理
【分析】（1）根据垂径定理得到 ，求得 ，求得 ，于是得到结
论；
（ 2 ） 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 圆 周 角 定 理 得 到 ， 求 得
第20页（共27页），设 ， ，根据勾股定理得到 ， ，
根据相似三角形的性质得到 ，求得 ，设 ，根据
勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1） 是 的中点，
，
，
，
， ，
，
，
，
是 的切线；
（2） ，
，
，
，
，
设 ， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
第21页（共27页），
，
设 ，
，
，
，
解得： ，
，
直径 的长为20．
21．（8分）阅读下面的材料：
如果函数 满足：对于自变量 的取值范围内的任意 ， ，
（1）若 ，都有 ，则称 是增函数；
（2）若 ，都有 ，则称 是减函数．
例题：证明函数 是减函数．
证明：设 ，
．
第22页（共27页），
， ．
．即 ．
．
函数 是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数 ，
，
（1）计算： ， ；
（2）猜想：函数 是 函数（填“增”或“减” ；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【考点】 ：函数自变量的取值范围； ：反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）由（1）结论可得；
（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立．
【解答】解：（1） ，
，
故答案为： ，
（2） ，
函数 是增函数
故答案为：增
（3）设 ，
第23页（共27页），
， ，
函数 是增函数
22．（11分）如图1，在矩形 中， ， ， 是 边上一点，连接 ，将矩形
沿 折叠，顶点 恰好落在 边上点 处，延长 交 的延长线于点 ．
（1）求线段 的长；
（2）如图2， ， 分别是线段 ， 上的动点（与端点不重合），且 ，设
， ．
①写出 关于 的函数解析式，并求出 的最小值；
②是否存在这样的点 ，使 是等腰三角形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说
明理由．
【考点】 ：四边形综合题
【分析】（1）由翻折可知： ． ，设 ，则 ．在
中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）①证明 ，可得 ，由此即可解决问题．
②存在．有两种情形：如图 中，当 时．如图 中，当 时，作
于 ．分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
第24页（共27页）四边形 是矩形，
， ，
，
由翻折可知： ． ，设 ，则 ．
在 中， ，
，
在 中，则有： ，
，
．
（2）①如图2中，
，
，
，
，
，
第25页（共27页）在 中， ，
在 中， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
当 时， 有最小值，最小值 ．
②存在．有两种情形：如图 中，当 时，
， ，
，
，
，
，
．
第26页（共27页）如图 中，当 时，作 于 ．
，
，
，
，
，
，
，
由 ，可得 ，
，
，
．
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
第27页（共27页）
