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2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（4分）（2019•淄博）比 小1的数是
A． B． C．1 D．3
2．（4分）（2019•淄博）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，
将40亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•淄博）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是
A． B．
C． D．
4．（4分）（2019•淄博）如图，小明从 处沿北偏东 方向行走至点 处，又从点 处沿东
偏南20方向行走至点 处，则 等于
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•淄博）解分式方程 时，去分母变形正确的是
A． B．
C． D．
6．（4分）（2019•淄博）与下面科学计算器的按键顺序：
第1页（共24页）对应的计算任务是
A． B． C． D．
7．（4分）（2019•淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影
部分的面积为
A． B．2 C． D．6
8．（4分）（2019•淄博）如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且
．若 的面积为 ，则 的面积为
A． B． C． D．
9．（4分）（2019•淄博）若 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.
10．（4分）（2019•淄博）单项式 的次数是 ．
11．（4分）（2019•淄博）分解因式： ．
12．（4分）（2019•淄博）如图，在正方形网格中，格点 绕某点顺时针旋转角
得到格点△ ，点 与点 ，点 与点 ，点 与点 是对应点，则
度．
第2页（共24页）13．（4分）（2019•淄博）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加
全市举办的“中国梦 青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．
14．（4分）（2019•淄博）如图，在以 为直角顶点的等腰直角三角形纸片 中，将 角折
起，使点 落在 边上的点 （不与点 ， 重合）处，折痕是 ．
如图1，当 时， ；
如图2，当 时， ；
如图3，当 时， ；
依此类推，当 为正整数）时， ．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（5分）（2019•淄博）解不等式
16．（5分）（2019•淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中， ， ，
．求证： ．
第3页（共24页）17．（8分）（2019•淄博）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．
2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研
究机构为了了解 岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该
范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方
图和扇形统计图，如下所示：
组别 年龄段 频数（人数）
第1组 5
第2组
第3组 35
第4组 20
第5组 15
（1）请直接写出 ， ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度．
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）假设该市现有 岁的市民300万人，问 岁年龄段的关注本次大会的人数约
有多少？
18．（8分）（2019•淄博）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的 ，
两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为 2060万元，总利润为
1020万元（利润 售价 成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
成本（单位：万元 件） 2 4
售价（单位：万元 件） 5 7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
19．（8分）（2019•淄博）如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，
第4页（共24页）点 在 上，以 为直径的 经过点 ．
（1）求证：① 是 的切线；
② ；
（2）若点 是劣弧 的中点，且 ，试求阴影部分的面积．
20．（9分）（2019•淄博）如图1，正方形 和 的边 ， 在同一条直线上，且
，取 的中点 ，连接 ， ， ．
（1）试证明 ，并求 的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设 ，其它条件不变，问（1）
中 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 的式子表示）；若无变化，说明理由．
21．（9分）（2019•淄博）如图，顶点为 的抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在 轴上是否存在一点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 ，满足 ，过 作 轴于点 ，设
的内心为 ，试求 的最小值．
第5页（共24页）第6页（共24页）2019 年山东省淄博市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（4分）比 小1的数是
A． B． C．1 D．3
【考点】 ：有理数的减法
【分析】用 减去1，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解： ．
故选： ．
2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学
记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】 ：科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：40亿用科学记数法表示为： ，
故选： ．
3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是
A． B．
C． D．
【考点】 ：简单组合体的三视图
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
第7页（共24页）【解答】解： 、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；
、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；
、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方
形，不符合题意；
、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选： ．
4．（4分）如图，小明从 处沿北偏东 方向行走至点 处，又从点 处沿东偏南20方向行
走至点 处，则 等于
A． B． C． D．
【考点】 ：方向角
【分析】根据平行线性质求出 ，再求出 即可得出答案．
【解答】解：如图：
小明从 处沿北偏东 方向行走至点 处，又从点 处沿东偏南20方向行走至点 处，
， ，
向北方向线是平行的，即 ，
，
，
，
，
故选： ．
5．（4分）解分式方程 时，去分母变形正确的是
第8页（共24页）A． B．
C． D．
【考点】 ：解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．
【解答】解：去分母得： ，
故选： ．
6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是
A． B． C． D．
【考点】 ：计算器 有理数； ：有理数的混合运算
【分析】根据科学计算器按键功能可得．
【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是 ，
故选： ．
7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为
A． B．2 C． D．6
【考点】 ：二次根式的应用
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
图中阴影部分的面积为： ，
故选： ．
8．（4分）如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 ．若
第9页（共24页）的面积为 ，则 的面积为
A． B． C． D．
【考点】 ：相似三角形的判定与性质
【分析】证明 ，根据相似三角形的性质求出 的面积为 ，计算即可．
【解答】解： ， ，
，
，即 ，
解得， 的面积为 ，
的面积为： ，
故选： ．
9．（4分）若 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是
A． B． C． D．
【考点】 ：根与系数的关系
【分析】利用完全平方公式计算出 ，然后根据根与系数的关系写出以 ， 为根的一
元二次方程．
【解答】解： ，
，
而 ，
，
，
以 ， 为根的一元二次方程为 ．
第10页（共24页）故选： ．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.
10．（4分）单项式 的次数是 5 ．
【考点】42：单项式
【分析】根据单项式的次数的定义解答．
【解答】解：单项式 的次数是 ．
故答案为5．
11．（4分）分解因式： ．
【考点】57：因式分解 十字相乘法等
【分析】先提公因式 ，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
【解答】解： ，
，
．
12．（4分）如图，在正方形网格中，格点 绕某点顺时针旋转角 得到格点
△ ，点 与点 ，点 与点 ，点 与点 是对应点，则 9 0 度．
【考点】 ：旋转的性质
【分析】作 ， 的垂直平分线交于点 ，可得点 是旋转中心，即 ．
【解答】解：如图，
连接 ， ，作 ， 的垂直平分线交于点 ，连接 ，
第11页（共24页）， 的垂直平分线交于点 ，
点 是旋转中心，
旋转角
故答案为：90
13．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的
“中国梦 青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．
【考点】 ：列表法与树状图法
【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据
概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
恰好选中一男一女的概率是 ，
故答案为： ．
14．（4分）如图，在以 为直角顶点的等腰直角三角形纸片 中，将 角折起，使点 落
在 边上的点 （不与点 ， 重合）处，折痕是 ．
第12页（共24页）如图1，当 时， ；
如图2，当 时， ；
如图3，当 时， ；
依此类推，当 为正整数）时， ．
【考点】38：规律型：图形的变化类； ：等腰直角三角形； ：翻折变换（折叠问题）； ：
解直角三角形
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9， ， ，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41； ， ，
， 中的中间一个．
．
故答案为： ．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（5分）解不等式
【考点】 ：解一元一次不等式
【分析】将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的
解集．
【解答】解：将不等式 两边同乘以2得，
第13页（共24页）解得 ．
16．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中， ， ， ．求证：
．
【考点】 ：全等三角形的判定与性质
【分析】由“ ”可证 ，可得 ．
【解答】证明：
，且 ，
17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚
洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解
岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进
行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，
如下所示：
组别 年龄段 频数（人数）
第1组 5
第2组
第3组 35
第4组 20
第5组 15
第14页（共24页）（1）请直接写出 2 5 ， ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度．
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）假设该市现有 岁的市民300万人，问 岁年龄段的关注本次大会的人数约
有多少？
【考点】 ：用样本估计总体； ：频数（率 分布表； ：频数（率 分布直方图； ：扇形
统计图
【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得 、 的值和第3组人数在扇形统计
图中所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中 的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据可以计算出 岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少．
【解答】解：（1） ，
，
第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是： ，
故答案为：25，20，126；
（2）由（1）值， 有25人，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3） （万人），
答： 岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．
第15页（共24页）18．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的 ， 两种产品在
欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利
润 售价 成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
成本（单位：万元 件） 2 4
售价（单位：万元 件） 5 7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
【考点】 ：二元一次方程组的应用
【分析】设 ， 两种产品的销售件数分别为 件、 件；由题意列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设 ， 两种产品的销售件数分别为 件、 件；
由题意得： ，
解得： ；
答： ， 两种产品的销售件数分别为 件、180件．
19．（8分）如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，点 在 上，
以 为直径的 经过点 ．
（1）求证：① 是 的切线；
② ；
（2）若点 是劣弧 的中点，且 ，试求阴影部分的面积．
第16页（共24页）【考点】 ：圆的综合题
【分析】（1）①证明 ，即可求解；②证明 ，即可求解；
（2）证明 、 是等边三角形， ，即可求解．
【解答】解：（1）①连接 ，
是 的平分线， ，
， ，
，
，而 ，
，
是 的切线；
②连接 ，
是 的切线， ，
， ，
；
（2）连接 、 ，设圆的半径为 ，
点 是劣弧 的中点， 是 是 中垂线，
， ，
， ，
，
，
第17页（共24页）、 是等边三角形，
，
，而 ，
，
．
20．（9分）如图1，正方形 和 的边 ， 在同一条直线上，且 ，取
的中点 ，连接 ， ， ．
（1）试证明 ，并求 的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设 ，其它条件不变，问（1）
中 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 的式子表示）；若无变化，说明理由．
【考点】32：列代数式； ：相似三角形的判定与性质； ：菱形的性质
【分析】（1）如图1中，延长 交 的延长线于 ．证明 是等腰直角三角形即可，
连接 ， ，设 ，则 ， ， ，求出 ， 即可解决问
题．
（2）（1）中 的值有变化．如图2中，连接 ， 交于点 ，连接 ， ， ， 交
于 ．首先证明 ， ， 共线，再证明点 在直线 上，设 ，则 ，想
办法求出 ， （用 表示），即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长 交 的延长线于 ．
第18页（共24页）四边形 ，四边形 都是正方形，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
，
， ，
， ，
连接 ， ，设 ，则 ， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
．
第19页（共24页）（2）解：（1）中 的值有变化．
理由：如图2中，连接 ， 交于点 ，连接 ， ， ， 交 于 ．
， ，
， ，
，
， ， 共线，
，
，
， ，
，
与 互相平分，
，
点 在直线 上，
，
四边形 是矩形，
，
， ，
，设 ，则 ，
易知 ， ， ，
， ，
．
第20页（共24页）21．（9分）如图，顶点为 的抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴
交于点 ．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在 轴上是否存在一点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 ，满足 ，过 作 轴于点 ，设
的内心为 ，试求 的最小值．
【考点】 ：二次函数综合题
【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．
（2）用配方法求抛物线顶点 ，求 ，设点 坐标为 ，用 表示 和 ．
为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边
后，可用勾股定理列方程，求得 的值即求得点 坐标．
（3）由点 是 内心联想到过点 作 三边的垂线段 、 、 ，根据内心到三
角形三边距离相等即有 ．此时以点 为圆心、 为半径长的 即为 内
切圆，根据切线长定理可得 ， ， ．设点 坐标为 ，可用含 、
的式子表示 、 的长，又由 ，即可用勾股定理列得关于 、 的方程．化
简再配方后得到式子： ，从图形上可理解为点 与定点 ，
的距离为 ，所以点 的运动轨迹为圆弧．所以当点 在 连线上时， 最短．
【解答】解：（1） 抛物线 过点 ，
第21页（共24页）解得：
这条抛物线对应的函数表达式为
（2）在 轴上存在点 ，使得 为直角三角形．
顶点
设点 坐标为
，
①若 ，则
解得：
②若 ，则
解得： ，
或
③若 ，则
解得：
第22页（共24页）综上所述，点 坐标为 或 或 或 时， 为直角三角形．
（3）如图，过点 作 轴于点 ， 于点 ， 于点
轴于点
四边形 是矩形
点 为 的内心
， ， ，
矩形 是正方形
设点 坐标为
，
化简得：
配方得：
点 与定点 ， 的距离为
点 在以点 ， 为圆心，半径为 的圆在第一象限的弧上运动
当点 在线段 上时， 最小
最小值为 ．
第23页（共24页）第24页（共24页）
