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2019年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选
项选出来。每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1．（4分）（2019•德州） 的倒数为
A． B．2 C． D．
2．（4分）（2019•德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（4分）（2019•德州）据国家统计局统计，我国2018年国民生产总值 为900300亿元．
用科学记数法表示900300亿是
A． B． C． D．
4．（4分）（2019•德州）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
5．（4分）（2019•德州）若函数 与 的图象如图所示，则函数 的
大致图象为
第1页（共33页）A． B．
C． D．
6．（4分）（2019•德州）不等式组 的所有非负整数解的和是
A．10 B．7 C．6 D．0
7．（4分）（2019•德州）下列命题是真命题的是
A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于
C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
8．（4分）（2019•德州）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余
绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还
剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长 尺，木长 尺，
则可列二元一次方程组为
A． B．
C． D．
9．（4分）（2019•德州）如图，点 为线段 的中点，点 ， ， 到点 的距离相等，若
，则 的度数是
第2页（共33页）A． B． C． D．
10．（4分）（2019•德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 ， ，1的卡片，
乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：
从甲中任取一张卡片，将其数字记为 ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为 ．若 ， 能使
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙
获胜的概率为
A． B． C． D．
11．（4分）（2019•德州）在下列函数图象上任取不同两点 ， 、 ， ，一定能使
成立的是
A． B．
C． D．
12．（4分）（2019•德州）如图，正方形 ，点 在边 上，且 ， ，
垂足为 ，且交 于点 ， 与 交于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ．
有如下结论：① ；② ；③ ；④ ．上
述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.
13．（4分）（2019•德州） ，则 的取值范围是 ．
第3页（共33页）14．（4分）（2019•德州）方程 的解为 ．
15．（4分）（2019•德州）如图，一架长为6米的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这时测得
，如果梯子的底端 外移到 ，则梯子顶端 下移到 ，这时又测得
，那么 的长度约为 米． ， ， ，
16．（4分）（2019•德州）已知： 表示不超过 的最大整数．例： ， ．现定
义： ，例： ，则 ．
17．（4分）（2019•德州）如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ，
，则弦 的长度为 ．
18．（4分）（2019•德州）如图，点 、 、 在反比例函数 的图象上，点 、 、
在反比例函数 的图象上， ，
且 ，则 为正整数）的纵坐标为 ．（用含 的式子表示）
第4页（共33页）三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（8分）（2019•德州）先化简，再求值： ，其中
．
20．（10分）（2019•德州）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，
分为良好， 分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体
质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成
绩如下：
七年级 80 74 83 63 90 91 74 61 82 62
八年级 74 61 83 91 60 85 46 84 74 82
（1）根据上述数据，补充完成下列表格．
整理数据：
优秀 良好 及格 不及格
七年级 2 3 5 0
八年级 1 4 1
分析数据：
年级 平均数 众数 中位数
七年级 76 74 77
八年级 74
（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的
学生共有多少人？
第5页（共33页）（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
21．（10分）（2019•德州）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启
发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图
书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，
若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不
变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
22．（12分）（2019•德州）如图， ，点 、 分别在射线 、 上， ，
．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 、 两点分别与射线 和 相切．要求：写出作
法，并保留作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段 、 围成的封闭图形的面积．
23．（12分）（2019•德州）下表中给出 ， ， 三种手机通话的收费方式．
收费方式 月通话费 元 包时通话时间 超时费 （元
30 25 0.1
50 50 0.1
100 不限时
（1）设月通话时间为 小时，则方案 ， ， 的收费金额 ， ， 都是 的函数，请分别求
出这三个函数解析式．
（2）填空：
若选择方式 最省钱，则月通话时间 的取值范围为 ；
若选择方式 最省钱，则月通话时间 的取值范围为 ；
若选择方式 最省钱，则月通话时间 的取值范围为 ；
第6页（共33页）（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话
时间．
24．（12分）（2019•德州）（1）如图1，菱形 的顶点 、 在菱形 的边上，且
，请直接写出 的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形 绕点 旋转一定角度，如图2，求 ；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且 ，此时 的结
果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）
若无变化，请说明理由．
25．（14分）（2019•德州）如图，抛物线 与 轴交于 ， ， ， 两点，
与 轴交于点 ，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 ， ， ， 是抛物线上的两点，当 ， 时，均有 ，求 的
取值范围；
（3）抛物线上一点 ，直线 与 轴交于点 ，动点 在线段 上，当
时，求点 的坐标．
第7页（共33页）2019 年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选
项选出来。每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1．（4分） 的倒数为
A． B．2 C． D．
【考点】17：倒数
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解： 得到数是 ，
故选： ．
2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【考点】 ：中心对称图形； ：轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出
其中不是中心对称的图形．
【解答】解： 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，
、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确，
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选： ．
3．（4分）据国家统计局统计，我国2018年国民生产总值 为900300亿元．用科学记数
法表示900300亿是
第8页（共33页）A． B． C． D．
【考点】 ：科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：将900300亿元用科学记数法表示为： ．
故选： ．
4．（4分）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方； ：完全平方公式； ：平方差公式
【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
【解答】解： ，故选项 不合题意；
，故选项 不合题意；
，故选项 不合题意；
，故选项 符合题意．
故选： ．
5．（4分）若函数 与 的图象如图所示，则函数 的大致图象为
第9页（共33页）A． B．
C． D．
【考点】 ：一次函数的图象； ：二次函数的图象； ：反比例函数的图象
【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定 、 的符号，然后根据一次函数的性质
确定答案即可．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知 ，
根据二次函数的图象确知 ， ，
函数 的大致图象经过二、三、四象限，
故选： ．
6．（4分）不等式组 的所有非负整数解的和是
A．10 B．7 C．6 D．0
【考点】 ：一元一次不等式组的整数解
【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非
负整数解．
【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为： ，
不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
不等式组的所有非负整数解的和是 ，
故选： ．
7．（4分）下列命题是真命题的是
第10页（共33页）A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于
C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【考点】 ：命题与定理
【分析】 、根据全等三角形的判定方法，判断即可．
、根据垂径定理的推理对 进行判断；
、根据平行四边形的判定进行判断；
、根据平行线的判定进行判断．
【解答】解： 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故 错误，是
假命题；
、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故 错误，是假命题；
、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故 正确，是真命题；
、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故 错误，是假命题；
故选： ．
8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；
屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长 尺，木长 尺，则可列二
元一次方程组为
A． B．
C． D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】本题的等量关系是：绳长 木长 ；木长 绳长 ，据此可列方程组求解．
【解答】解：设绳长 尺，长木为 尺，
依题意得 ，
故选： ．
第11页（共33页）9．（4分）如图，点 为线段 的中点，点 ， ， 到点 的距离相等，若 ，则
的度数是
A． B． C． D．
【考点】 ：圆内接四边形的性质
【分析】根据题意得到四边形 共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度
数．
【解答】解：由题意得到 ，作出圆 ，如图所示，
四边形 为圆 的内接四边形，
，
，
，
故选： ．
10．（4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 ， ，1的卡片，乙中有三张标
有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一
张卡片，将其数字记为 ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为 ．若 ， 能使关于 的一元
二次方程 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为
A． B． C． D．
【考点】 ：根的判别式； ：列表法与树状图法
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程
根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙获胜的概率
第12页（共33页）【解答】解：（1）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
乙获胜的概率为 ，
故选： ．
11．（4分）在下列函数图象上任取不同两点 ， 、 ， ，一定能使 成立
的是
A． B．
C． D．
【考点】 ：一次函数图象上点的坐标特征； ：反比例函数图象上点的坐标特征； ：二
次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【解答】解： 、
随 的增大而增大，即当 时，必有
当 时， ，
故 选项不符合；
、 对称轴为直线 ，
当 时 随 的增大而增大，当 时 随 的增大而减小，
当 时：当 时，必有
此时 ，
故 选项不符合；
、当 时， 随 的增大而增大，
第13页（共33页）即当 时，必有
此时 ，
故 选项不符合；
、 对称轴为直线 ，
当 时 随 的增大而减小，
即当 时，必有
此时 ，
故 选项符合；
故选： ．
12．（4分）如图，正方形 ，点 在边 上，且 ， ，垂足为 ，且
交 于点 ， 与 交于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ．有如下结论：
① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，所
有正确结论的序号是
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【考点】 ：正方形的性质； ：全等三角形的判定与性质； ：相似三角形的判定与性质
【分析】①正确．证明 ，即可判断．
②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．
③正确．作 于 ，设 ， ，则 ， ，
通过计算证明 即可解决问题．
第14页（共33页）④错误．设 的面积为 ，由 ，推出 ， ，推出
的面积为 ， 的面积为 ，推出 的面积 的面积 ，由此
即可判断．
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
；故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
；故②正确；
作 于 ，设 ， ，则 ， ，
由 ，可得 ，
第15页（共33页）由 ，可得 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
；故③正确，
设 的面积为 ，
，
， ，
的面积为 ， 的面积为 ，
的面积 的面积 ，
，故④错误，
故选： ．
二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.
13．（4分） ，则 的取值范围是 ．
【考点】15：绝对值
【分析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以 ，即可求解；
【解答】解： ，
；
故答案为 ；
第16页（共33页）14．（4分）方程 的解为 ．
【考点】 ：解分式方程
【分析】根据分式方程的解法，先将式子通分化简为 ，最后验证根的情况，进而求解；
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
经检验 是原方程的根；
故答案为 ；
15．（4分）如图，一架长为6米的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这时测得 ，
如果梯子的底端 外移到 ，则梯子顶端 下移到 ，这时又测得 ，那么 的
长度约为 1.0 2 米． ， ， ，
【考点】 ：解直角三角形的应用 坡度坡角问题
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 ， 的长，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
， ，
，
解得： ，
， ，
第17页（共33页），
解得： ，
则 ，
答： 的长度约为1.02米．
故答案为：1.02．
16．（4分）已知： 表示不超过 的最大整数．例： ， ．现定义：
，例： ，则 0. 7 ．
【考点】 ：解一元一次不等式组
【分析】根据题意列出代数式解答即可．
【解答】解；根据题意可得： ，
故答案为：0.7
17．（4分）如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ， ，则
弦 的长度为 ．
【考点】 ：垂径定理； ：勾股定理； ：圆心角、弧、弦的关系
【分析】连接 、 ， 交 于 ，如图，利用垂径定理得到 ，设 的半径
为 ，则 ， ，根据勾股定理得到 ，解得 ，再利用垂径定理
得到 ， ，则 ， ，然后解方程组求出 ，
第18页（共33页）从而得到 的长．
【解答】解：连接 、 ， 交 于 ，如图，
，
，
设 的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
，
， ，
在 中， ，①
在 中， ，②
解由①②组成的方程组得到 ，
．
故答案为 ．
18．（4分）如图，点 、 、 在反比例函数 的图象上，点 、 、 在
反比例函数 的图象上， ，且
，则 为正整数）的纵坐标为 ．（用含 的式子表示）
第19页（共33页）【考点】 ：反比例函数图象上点的坐标特征； ：反比例函数的性质
【分析】先证明△ 是等边三角形，求出 的坐标，作高线 ，再证明△ 是等边三
角形，作高线 ，设 ，根据 ，解方程可得等边三角形的边长和
的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点 、 、 在 轴的上方，纵坐标为
正数，点 、 、 在 轴的下方，纵坐标为负数，可以利用 来解决这个问题．
【解答】解：过 作 轴于 ，
， ，
△ 是等边三角形，
，
，
和 ，
过 作 轴于 ，
，
第20页（共33页）△ 是等边三角形，
设 ，则 ，
△ 中， ，
，
，
解得： （舍 ， ，
，
，
即 的纵坐标为 ；
过 作 轴于 ，
同理得：△ 是等边三角形，
设 ，则 ，
△ 中， ，
，
，
解得： （舍 ， ；
，
第21页（共33页），
即 的纵坐标为 ；
为正整数）的纵坐标为： ；
故答案为： ；
三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】 ：分式的化简求值； ：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根
【分析】先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再
将所给等式化简，得出 和 的值，最后代回化简后的分式即可．
【解答】解：
．
．
， ，
第22页（共33页）， ．
．
原式的值为 ．
20．（10分）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀， 分为良
好， 分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现
从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下：
七年级 80 74 83 63 90 91 74 61 82 62
八年级 74 61 83 91 60 85 46 84 74 82
（1）根据上述数据，补充完成下列表格．
整理数据：
优秀 良好 及格 不及格
七年级 2 3 5 0
八年级 1 4 4 1
分析数据：
年级 平均数 众数 中位数
七年级 76 74 77
八年级 74
（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的
学生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
【考点】 ：中位数； ：用样本估计总体； ：众数； ：算术平均数
【分析】（1）根据平均数和中位数的概念解答即可；
（2）根据样本估计总体解答即可；
（3）根据数据调查信息解答即可．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 八 年 级 及 格 的 人 数 是 4 ， 平 均 数
，中位数 ；
故答案为：4；74；78；
第23页（共33页）（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有 人；
（3）根据以上数据可得：七年级学生的体质健康情况更好．
21．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养
浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，
第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的
月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不
变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【考点】 ：一元二次方程的应用
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加
第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为 ，则由题意得：
化简得：
，
或 （舍
答：进馆人次的月平均增长率为 ．
（2） 进馆人次的月平均增长率为 ，
第四个月的进馆人次为：
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
22．（12分）如图， ，点 、 分别在射线 、 上， ， ．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 、 两点分别与射线 和 相切．要求：写出作
法，并保留作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段 、 围成的封闭图形的面积．
第24页（共33页）【考点】 ：扇形面积的计算； ：圆周角定理； ：作图 复杂作图； ：切线的判定与
性质
【分析】（1）过 、 分别作 、 的垂线，它们相交于 ，然后以 为半径作 即可；
（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接 ，先证明 ，然后根据切线的
判定方法判断 、 为 的切线；
（3）先证明 为等边三角形得到 ， ，再计算出 ，然后
根据扇形的面积公式，利用劣弧 与线段 、 围成的封闭图形的面积进行计算．
【解答】解：（1）如图，
（2）已知：如图， ，点 、 分别在射线 、 上， ， ，
过 、 分别作 、 的垂线，它们相交于 ，以 为半径作 ， ，
求证： 、 为 的切线；
证明： ， ，
，
，
连接 ，
， ，
，
，
，
、 为 的切线；
（3） ，
为等边三角形，
， ，
平分 ，
第25页（共33页），
， 劣 弧 与 线 段 、 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积
．
23．（12分）下表中给出 ， ， 三种手机通话的收费方式．
收费方式 月通话费 元 包时通话时间 超时费 （元
30 25 0.1
50 50 0.1
100 不限时
（1）设月通话时间为 小时，则方案 ， ， 的收费金额 ， ， 都是 的函数，请分别求
出这三个函数解析式．
（2）填空：
若选择方式 最省钱，则月通话时间 的取值范围为 ；
若选择方式 最省钱，则月通话时间 的取值范围为 ；
若选择方式 最省钱，则月通话时间 的取值范围为 ；
（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话
时间．
【考点】 ：一次函数的应用
第26页（共33页）【分析】（1）根据题意可以分别写出 、 、 关于 的函数关系式，并写出相应的自变量的
取值范围；
（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；
（3）结合图象可得：小张选择的是方式 ，小王选择的是方式 ，将 代入 关于 的函
数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．
【解答】解：（1） 元 元 ，
由题意可得，
，
，
；
（2）作出函数图象如图：
结合图象可得：
第27页（共33页）若选择方式 最省钱，则月通话时间 的取值范围为： ，
若选择方式 最省钱，则月通话时间 的取值范围为： ，
若选择方式 最省钱，则月通话时间 的取值范围为： ．
故答案为： ， ， ．
（3） 小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，
结合图象可得：小张选择的是方式 ，小王选择的是方式 ，
将 分别代入 ，可得
，
解得： ，
小王该月的通话时间为55小时．
24．（12分）（1）如图1，菱形 的顶点 、 在菱形 的边上，且 ，请
直接写出 的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形 绕点 旋转一定角度，如图2，求 ；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且 ，此时 的结
果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）
若无变化，请说明理由．
【考点】 ：相似形综合题
【分析】（1）连接 ，由菱形 的顶点 、 在菱形 的边上，且 ，易
得 ， ， 共线，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，交 于点 ，
则 也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
（2）连接 ， ，由 和 都是等腰三角形，易证 与
，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
第28页（共33页）（3）连接 ， ，易证 和 ，利用相似三角形的性质可得结论．
【解答】解：（1）连接 ，
菱形 的顶点 、 在菱形 的边上，且 ，
， ， ，
， ， 共线， ，
，
延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，交 于点 ，则 也为菱
形，
， ，
，
，
，
为平行四边形，
，
．
（2）如图2，连接 ， ，
和 都是等腰三角形，
， ，
，
，
，
，
第29页（共33页），
在 和 中，
，
．
（3）有变化．
如图3，连接 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
第30页（共33页）25．（14分）如图，抛物线 与 轴交于 ， ， ， 两点，与 轴交于
点 ，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 ， ， ， 是抛物线上的两点，当 ， 时，均有 ，求 的
取值范围；
（3）抛物线上一点 ，直线 与 轴交于点 ，动点 在线段 上，当
时，求点 的坐标．
【考点】 ：二次函数综合题
【分析】（1）函数的对称轴为： ，而且 ，将上述两式联立并解
得： ， ，即可求解；
（2）分 、 两种情况，分别求解即可；
（3）取 的中点 ，过点 作线段 的中垂线交直线 与点 ，则点 为符合条件的
点，即可求解．
【解答】解：（1）函数的对称轴为： ，而且 ，
第31页（共33页）将上述两式联立并解得： ， ，
则函数的表达式为： ，
即： ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2）当 时， ，
①当 时（即 ，
，则 ，
解得： ，而 ，
故： ；
②当 （即 时，
则 ，
同理可得： ，
故 的取值范围为： ；
（3） 当 ， 为等腰三角形，
故取 的中点 ，过点 作线段 的中垂线交直线 与点 ，则点 为符合条件的点，
第32页（共33页）点 ， ，
将点 、 坐标代入一次函数表达式： 并解得：
直线 的表达式为： ，
同理可得：直线 的表达式为： ①，
直线 ，则直线 表达式中的 值为1，
同理可得直线 的表达式为： ②，
联立①②并解得： ，
故点 ， ．
第33页（共33页）
