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2019年安徽省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，
其中只有一个是正确的．
1．（4分）（2019•安徽）在 ， ，0，1这四个数中，最小的数是
A． B． C．0 D．1
2．（4分）（2019•安徽）计算 的结果是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•安徽）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图
是
A． B． C． D．
4．（4分）（2019•安徽）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，
其中161亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•安徽）已知点 关于 轴的对称点 在反比例函数 的图象上，则
实数 的值为
A．3 B． C． D．
6．（4分）（2019•安徽）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘
制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位： 为
第1页（共23页）A．60 B．50 C．40 D．15
7．（4分）（2019•安徽）如图，在 中， ， ， ，点 在边
上，点 在线段 上， 于点 ， 交 于点 ．若 ，则 的长
为
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
8．（4分）（2019•安徽）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年
增长 ．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破 100万亿的
年份是
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
9．（4分）（2019•安徽）已知三个实数 ， ， 满足 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．（4分）（2019•安徽）如图，在正方形 中，点 ， 将对角线 三等分，且 ，
点 在正方形的边上，则满足 的点 的个数是
第2页（共23页）A．0 B．4 C．6 D．8
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2019•安徽）计算 的结果是 ．
12．（5分）（2019•安徽）命题“如果 ，那么 ， 互为相反数”的逆命题为 ．
13．（5分）（2019•安徽）如图， 内接于 ， ， ， 于点
，若 的半径为2，则 的长为 ．
14．（5分）（2019•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于 轴的直线 分别与函数 和
的图象相交于 ， 两点．若平移直线 ，可以使 ， 都在 轴的下方，则实数
的取值范围是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2019•安徽）解方程： ．
16．（8分）（2019•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 的网格中，给
出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 ．
（1）将线段 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段 ，请画出线段 ．
（2）以线段 为一边，作一个菱形 ，且点 ， 也为格点．（作出一个菱形即可）
第3页（共23页）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决
定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．
甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．
已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程
队还需联合工作多少天？
18．（8分）（2019•安徽）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第 个等式： （用含 的等式表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光
第4页（共23页）启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心
为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 长为6米， ，若
点 为运行轨道的最高点 ， 的连线垂直于 ，求点 到弦 所在直线的距离．
（参考数据： ， ，
20．（10分）（2019•安徽）如图，点 在 内部， ， ．
（1）求证： ；
（2）设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 的值．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2019•安徽）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产
品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成
如下表格：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮
尺寸 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸（单位： 产品等次
特等品
第5页（共23页）优等品
合格品
或 非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计
算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为 ，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为 ．
求 的值；
将这些优等品分成两组，一组尺寸大于 ，另一组尺寸不大于 ，从这两组中各随机
抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2019•安徽）一次函数 与二次函数 的图象的一个交点坐标
为 ，另一个交点是该二次函数图象的顶点
（1）求 ， ， 的值；
（2）过点 ， 且垂直于 轴的直线与二次函数 的图象相交于 ，
两点，点 为坐标原点，记 ，求 关于 的函数解析式，并求 的最小值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（2019•安徽）如图， 中， ， ， 为 内部一点，
且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若点 到三角形的边 ， ， 的距离分别为 ， ， ，求证 ．
第6页（共23页）2019 年安徽省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，
其中只有一个是正确的．
1．（4分）在 ， ，0，1这四个数中，最小的数是
A． B． C．0 D．1
【考点】有理数大小比较
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④
两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
在 ， ，0，1这四个数中，最小的数是 ．
故选： ．
2．（4分）计算 的结果是
A． B． C． D．
【考点】同底数幂的乘法
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图
第7页（共23页）【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：几何体的俯视图是：
故选： ．
4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用
科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值大于10时， 是正数；当原数的绝对值小于1时， 是负数．
【解答】解：根据题意161亿用科学记数法表示为 ．
故选： ．
5．（4分）已知点 关于 轴的对称点 在反比例函数 的图象上，则实数 的值为
A．3 B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征； ：关于 轴、 轴对称的点的坐标
【分析】先根据关于 轴对称的点的坐标特征确定 的坐标为 ，然后把 的坐标代入
中即可得到 的值．
【解答】解：点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，
把 代入 得 ．
故选： ．
6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示
的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位： 为
第8页（共23页）A．60 B．50 C．40 D．15
【考点】众数；条形统计图
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：由条形图知，50个数据的中位数为第25、26个数据的平均数，即中位数为
，
故选： ．
7．（4分）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，点 在线
段 上， 于点 ， 交 于点 ．若 ，则 的长为
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得 的长，本题得以解决．
【解答】解：作 交 于点 ，则 ，
，
， ，
，
，
，
第9页（共23页），
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
，
， ， ，
，
，
，
即 ，
解得， ，
，
故选： ．
8．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长 ．
假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
【考点】有理数的混合运算
【分析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．
【解答】解：2019年全年国内生产总值为： （万亿），
2020年全年国内生产总值为： （万亿），
第10页（共23页）国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，
故选： ．
9．（4分）已知三个实数 ， ， 满足 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【考点】不等式的性质；因式分解的应用
【分析】根据 ， ，可以得到 与 、 的关系，从而可以判断 的正负
和 的正负情况，本题得以解决．
【解答】解： ， ，
， ，
，
，
，
即 ， ，
故选： ．
10．（4分）如图，在正方形 中，点 ， 将对角线 三等分，且 ，点 在正方
形的边上，则满足 的点 的个数是
A．0 B．4 C．6 D．8
【考点】正方形的性质
【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，可得点 到点 和
点 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
第11页（共23页）点 ， 将对角线 三等分，且 ，
， ，
点 与点 关于 对称
，
则在线段 存在点 到点 和点 的距离之和最小为
在线段 上点 的左右两边各有一个点 使 ，
同理在线段 ， ， 上都存在两个点使 ．
即共有8个点 满足 ，
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算 的结果是 3 ．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】根据二次根式的性质把 化简，再根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解： ．
故答案为：3
12．（5分）命题“如果 ，那么 ， 互为相反数”的逆命题为 如果 ， 互为相反数 ，
那么 ．
【考点】命题与定理
【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．
第12页（共23页）【解答】解：命题“如果 ，那么 ， 互为相反数”的逆命题为：
如果 ， 互为相反数，那么 ；
故答案为：如果 ， 互为相反数，那么 ．
13．（5分）如图， 内接于 ， ， ， 于点 ，若 的
半径为2，则 的长为 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理
【分析】连接 并延长交 于 ，连接 ，于是得到 ， ，解直
角三角形即可得到结论．
【解答】解：连接 并延长交 于 ，连接 ，
则 ， ，
的半径为2，
，
，
， ，
，
故答案为： ．
14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于 轴的直线 分别与函数 和
第13页（共23页）的图象相交于 ， 两点．若平移直线 ，可以使 ， 都在 轴的下方，则实数 的取值范围
是 或 ．
【考点】 ：二次函数图象与系数的关系； ：一次函数图象与系数的关系； ：二次函数
图象上点的坐标特征； ：一次函数图象与几何变换
【分析】由 与 轴的交点为 ，可知当 ， 都在 轴的下方时， 直线 与
轴的交点要在 的左侧，即可求解；
【解答】解： 与 轴的交点为 ，
平移直线 ，可以使 ， 都在 轴的下方，
当 时， ，
，
或 ；
故答案为 或 ；
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程： ．
【考点】解一元二次方程 直接开平方法
【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【解答】解：两边直接开平方得： ，
或 ，
解得： ， ．
16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 的网格中，给出了以格点
（网格线的交点）为端点的线段 ．
（1）将线段 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段 ，请画出线段 ．
（2）以线段 为一边，作一个菱形 ，且点 ， 也为格点．（作出一个菱形即可）
第14页（共23页）【考点】菱形的判定；作图 平移变换
【分析】（1）直接利用平移的性质得出 ， 点位置，进而得出答案；
（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：线段 即为所求；
（2）如图：菱形 即为所求，答案不唯一．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条
高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队
独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工
程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联
合工作多少天？
第15页（共23页）【考点】一元一次方程的应用
【分析】设甲工程队每天掘进 米，则乙工程队每天掘进 米．根据“甲工程队独立工作
2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求
工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进 米，则乙工程队每天掘进 米，
由题意，得 ，
解得 ，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
18．（8分）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第 个等式： （用含 的等式表示），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据已知等式即可得；
（2）根据已知等式得出规律 ，再利用分式的混合运算法则验证即可．
【解答】解：（1）第6个等式为： ，
第16页（共23页）故答案为： ；
（2）
证明： 右边 左边．
等式成立，
故答案为： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆．
已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 长为6米， ，若点 为运行轨
道的最高点 ， 的连线垂直于 ，求点 到弦 所在直线的距离．
（参考数据： ， ，
【考点】解直角三角形的应用；圆周角定理；垂径定理
【分析】连接 并延长，与 交于点 ，由 与 垂直，利用垂径定理得到 为 的
中点，在直角三角形 中，利用锐角三角函数定义求出 ，进而求出 ，由 求
出 的长即可．
【解答】解：连接 并延长，与 交于点 ，
， （米 ，
在 中， ，
第17页（共23页），即 （米 ，
，即 （米 ，
则 （米 ．
20．（10分）如图，点 在 内部， ， ．
（1）求证： ；
（2）设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【分析】（1）根据 证明： ；
（2）根据点 在 内部，可知： ，可得结论．
【解答】解：（1） 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
第18页（共23页）同理得 ，
在 和 中，
，
；
（2） 点 在 内部，
，
由（1）知： ，
，
，
的面积为 ，四边形 的面积为 ，
．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其
尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮
尺寸 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸（单位： 产品等次
特等品
优等品
合格品
或 非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计
算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为 ，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
第19页（共23页）（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为 ．
求 的值；
将这些优等品分成两组，一组尺寸大于 ，另一组尺寸不大于 ，从这两组中各随机
抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
【考点】中位数；列表法与树状图法；频数（率 分布表
【分析】（1）由 ，不合格的有 个，给出的数据只有①②两个不合格可
得答案；
（2） 由 可得答案； 由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结果，再
根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）不合格．
因为 ，不合格的有 个，给出的数据只有①②两个不合格；
（2） 优等品有⑥ ⑪，中位数在⑧8.98，⑨ 之间，
，
解得
大于 的有⑨⑩⑪，小于 的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩
画树状图为：
共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种．
抽到两种产品都是特等品的概率 ．
七、（本题满分12分）
22．（12分）一次函数 与二次函数 的图象的一个交点坐标为 ，另一
个交点是该二次函数图象的顶点
（1）求 ， ， 的值；
（2）过点 ， 且垂直于 轴的直线与二次函数 的图象相交于 ，
第20页（共23页）两点，点 为坐标原点，记 ，求 关于 的函数解析式，并求 的最小值．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二
次函数的性质
【分析】（1）由交点为 ，代入 ，可求得 ，由 可知，二次函数的顶点
在 轴上，即 ，则可求得顶点的坐标，从而可求 值，最后可求 的值
（2）由（1）得二次函数解析式为 ，令 ，得 ，可求 的值，再利
用根与系数的关系式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得， ，解得 ，
又 二次函数顶点为 ，
把 带入二次函数表达式得 ，解得
（2）由（1）得二次函数解析式为 ，令 ，得
，设 ， 两点的坐标分别为 ， ， ，则 ，
当 时， 取得最小值7
八、（本题满分14分）
23．（14 分）如图， 中， ， ， 为 内部一点，且
．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若点 到三角形的边 ， ， 的距离分别为 ， ， ，求证 ．
第21页（共23页）【考点】等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）利用等式的性质判断出 ，即可得出结论；
（2）由（1）的结论得出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（3）先判断出 ，得出 ，即 ，再由 ，判断
出 ，即可得出结论．
【解答】解：（1） ， ，
又 ，
又 ，
（2）
在 中， ，
（3）如图，过点 作 ， 交 、 于点 ， ，
， ， ，
，
，
又
第22页（共23页），
，
，即 ，
，
，
．
即： ．
第23页（共23页）
