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2019年山东省潍坊市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请
把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1．（3分）（2019•潍坊）2019的倒数的相反数是
A． B． C． D．2019
2．（3分）（2019•潍坊）下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•潍坊）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止
去年9月底，各地已累计完成投资 元．数据 可以表示为
A．10.02亿 B．100.2亿 C．1002亿 D．10020亿
4．（3分）（2019•潍坊）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移
走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是
A．俯视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变
C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变
5．（3分）（2019•潍坊）利用教材中时计算器依次按键下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
6．（3分）（2019•潍坊）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•潍坊）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
第1页（共29页）成绩（分 94 95 97 98 100
周数（个 1 2 2 4 1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是
A．97.5 2.8 B．97.5 3 C．97 2.8 D．97 3
8．（3分）（2019•潍坊）如图，已知 ．按照以下步骤作图：
①以点 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交 的两边于 ， 两点，连接 ．
②分别以点 ， 为圆心，以大于线段 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，连接
， ．
③连接 交 于点 ．
下列结论中错误的是
A． B．
C． D．
9．（3分）（2019•潍坊）如图，在矩形 中， ， ，动点 沿折线 从点
开始运动到点 ．设运动的路程为 ， 的面积为 ，那么 与 之间的函数关系的图象
大致是
A． B．
第2页（共29页）C． D．
10．（3分）（2019•潍坊）关于 的一元二次方程 的两个实数根的平方和
为12，则 的值为
A． B． C． 或 D． 或
11．（3分）（2019•潍坊）如图，四边形 内接于 ， 为直径， ，过点 作
于点 ，连接 交 于点 ．若 ， ，则 的长为
A．8 B．10 C．12 D．16
12．（3分）（2019•潍坊）抛物线 的对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方
程 为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。）
13．（3分）（2019•潍坊）若 ， ，则 ．
14．（3分）（2019•潍坊）当直线 经过第二、三、四象限时，则 的取值范围
是 ．
15．（3分）（2019•潍坊）如图， 中， ，顶点 ， 分别在反比例函数
与 的图象上，则 的值为 ．
第3页（共29页）16．（3分）（2019•潍坊）如图，在矩形 中， ．将 向内翻折，点 落在 上，
记为 ，折痕为 ．若将 沿 向内翻折，点 恰好落在 上，记为 ，则 ．
17．（3分）（2019•潍坊）如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 是
轴上的一个动点，当 的周长最小时， ．
18．（3分）（2019•潍坊）如图所示，在平面直角坐标系 中，一组同心圆的圆心为坐标原点
，它们的半径分别为1，2，3， ，按照“加1”依次递增；一组平行线， ， ， ， ， 都
与 轴垂直，相邻两直线的间距为 ，其中 与 轴重合若半径为2的圆与 在第一象限内交
第4页（共29页）于点 ，半径为3的圆与 在第一象限内交于点 ， ，半径为 的圆与 在第一象限内
交于点 ，则点 的坐标为 ． 为正整数）
三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）
19．（5分）（2019•潍坊）己知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，求
的取值范围．
20．（6分）（2019•潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为
方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的
斜坡 米，坡度为 ；将斜坡 的高度 降低 米后，斜坡 改造为斜
坡 ，其坡度为 ．求斜坡 的长．（结果保留根号）
21．（9分）（2019•潍坊）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一
等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一
次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
第5页（共29页）（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小
于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可
能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．
22．（10分）（2019•潍坊）如图，正方形 的边 在正方形 的边 上，连接 ，
过点 作 ，交 于点 ．连接 ， ，其中 交 于点 ．
（1）求证： 为等腰直角三角形．
（2）若 ， ，求 的长．
23．（10分）（2019•潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果
拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去
年降低了1元，批发销售总额比去年增加了 ．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多
少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，
则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果
店一天的利润为 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大
利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．
24．（13分）（2019•潍坊）如图1，菱形 的顶点 ， 在直线上， ，以点 为
旋转中心将菱形 顺时针旋转 ，得到菱形 ， 交对角线
于点 ， 交直线 于点 ，连接 ．
（1）当 时，求 的大小．
第6页（共29页）（2）如图2，对角线 交 于点 ，交直线 与点 ，延长 交 于点 ，连接 ．
当 的周长为2时，求菱形 的周长．
25．（13分）（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，点 ，点
， 的中线 与 轴交于点 ，且 经过 ， ， 三点．
（1）求圆心 的坐标；
（2）若直线 与 相切于点 ，交 轴于点 ，求直线 的函数表达式；
（3）在过点 且以圆心 为顶点的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，交直线 于
点 ．若以 为半径的 与直线 相交于另一点 ．当 时，求点 的坐标．
第7页（共29页）2019 年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请
把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1．（3分）2019的倒数的相反数是
A． B． C． D．2019
【考点】14：相反数；17：倒数
【分析】先求2019的倒数，再求倒数的相反数即可；
【解答】解：2019的倒数是 ，再求 的相反数为 ；
故选： ．
2．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】36：去括号与添括号；48：同底数幂的除法；49：单项式乘单项式；47：幂的乘方与积的
乘方
【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选
项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解： 、 ，故本选项错误；
、 ，故本选项错误；
、 ，正确；
、 ，故本选项错误．
故选： ．
3．（3分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，
各地已累计完成投资 元．数据 可以表示为
A．10.02亿 B．100.2亿 C．1002亿 D．10020亿
【考点】 ：科学记数法 表示较大的数
【分析】利用科学记数法的表示形式展开即可
【解答】解：
第8页（共29页）002 000 000 亿
故选： ．
4．（3分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新
几何体的三视图描述正确的是
A．俯视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变
C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变
【考点】 ：简单组合体的三视图
【分析】利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；
【解答】解：将正方体①移走后，
新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变；
故选： ．
5．（3分）利用教材中时计算器依次按键下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
【考点】25：计算器 数的开方
【分析】利用计算器得到 的近似值即可作出判断．
【解答】解： ，
与 最接近的是2.6，
故选： ．
6．（3分）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
第9页（共29页）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，无法分解因式，故此选项错误；
、 ，无法分解因式，故此选项错误；
、 ，正确．
故选： ．
7．（3分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
成绩（分 94 95 97 98 100
周数（个 1 2 2 4 1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是
A．97.5 2.8 B．97.5 3 C．97 2.8 D．97 3
【考点】 ：方差； ：中位数
【分析】根据中位数和方差的定义计算可得．
【解答】解：这10个周的综合素质评价成绩的中位数是 （分 ，
平均成绩为 （分 ，
这组数据的方差为
（分 ，
故选： ．
8．（3分）如图，已知 ．按照以下步骤作图：
①以点 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交 的两边于 ， 两点，连接 ．
②分别以点 ， 为圆心，以大于线段 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，连接
， ．
③连接 交 于点 ．
下列结论中错误的是
第10页（共29页）A． B．
C． D．
【考点】 ：作图 基本作图
【分析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可．
【解答】解：由作图步骤可得： 是 的角平分线，
， ， ，
但不能得出 ，
故选： ．
9．（3分）如图，在矩形 中， ， ，动点 沿折线 从点 开始运动到点
．设运动的路程为 ， 的面积为 ，那么 与 之间的函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
第11页（共29页）【考点】 ：动点问题的函数图象
【分析】由题意当 时， ，当 时， ．由此即可判
断．
【解答】解：由题意当 时， ，
当 时， ．
故选： ．
10．（3分）关于 的一元二次方程 的两个实数根的平方和为12，则 的
值为
A． B． C． 或 D． 或
【考点】 ：根与系数的关系
【分析】设 ， 是 的两个实数根，由根与系数的关系得 ，
，再由 代入即可；
【解答】解：设 ， 是 的两个实数根，
， ，
，
或 ；
故选： ．
11．（3分）如图，四边形 内接于 ， 为直径， ，过点 作 于点
，连接 交 于点 ．若 ， ，则 的长为
A．8 B．10 C．12 D．16
第12页（共29页）【考点】 ：圆周角定理； ：圆心角、弧、弦的关系； ：解直角三角形
【分析】连接 ，如图，先利用圆周角定理证明 得到 ，再根据正
弦的定义计算出 ，则 ， ，接着证明 ，利用相似比得到
，所以 ，然后在 中利用正弦定义计算出 的长．
【解答】解：连接 ，如图，
为直径，
，
，
，
而 ，
，
，
，
而 ，
，
，
，
在 中， ，
，
， ，
， ，
，
，即 ，
，
，
在 中， ，
．
故选： ．
第13页（共29页）12．（3 分）抛物线 的对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程
为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】 ：二次函数的性质； ：抛物线与 轴的交点
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为 ，将一元二次方程
的实数根可以看做 与函数 的有交点，再由 的
范围确定 的取值范围即可求解；
【解答】解： 的对称轴为直线 ，
，
，
一元二次方程 的实数根可以看做 与函数 的有交点，
方程在 的范围内有实数根，
当 时， ；
当 时， ；
函数 在 时有最小值2；
；
故选： ．
二、填空题（本题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3分。）
13．（3分）若 ， ，则 1 5 ．
【考点】46：同底数幂的乘法
第14页（共29页）【分析】由 ， ，根据同底数幂的乘法可得 ，继而可求得答案．
【解答】解： ， ，
．
故答案为：15．
14．（3分）当直线 经过第二、三、四象限时，则 的取值范围是
．
【考点】 ：一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次函数 ， ， 时图象经过第二、三、四象限，可得 ，
，即可求解；
【解答】解： 经过第二、三、四象限，
， ，
， ，
；
故答案为 ；
15．（3分）如图， 中， ，顶点 ， 分别在反比例函数 与
的图象上，则 的值为 ．
【考点】 ：反比例函数的性质； ：反比例函数图象上点的坐标特征； ：解直角三角形
【分析】过 作 轴，过 作 轴于 ，于是得到 ，根据反比
例函数的性质得到 ， ，根据相似三角形的性质得到 ，
第15页（共29页）求得 ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过 作 轴，过 作 轴于 ，
则 ，
顶点 ， 分别在反比例函数 与 的图象上，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
16．（3分）如图，在矩形 中， ．将 向内翻折，点 落在 上，记为 ，折痕
为 ．若将 沿 向内翻折，点 恰好落在 上，记为 ，则 ．
第16页（共29页）【考点】 ：翻折变换（折叠问题）； ：矩形的性质
【分析】利用矩形的性质，证明 ， ，推出△
， ，设 ，在 中，通过勾股定理可求出 的长
度．
【解答】解： 四边形 为矩形，
， ，
由翻折知， △ ，△ △ ， ，
， ， ，
，
， ，
，
又 ， ，
△ ，
，
在 中，
， ，
，
设 ，则
，
，
解得， （负值舍去）， ，
第17页（共29页）故答案为： ．
17．（3分）如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 是 轴上的一个
动点，当 的周长最小时， ．
【考点】 ：轴对称 最短路线问题； ：二次函数图象上点的坐标特征； ：一次函数的
性质； ：一次函数图象上点的坐标特征； ：二次函数的性质
【分析】根据轴对称，可以求得使得 的周长最小时点 的坐标，然后求出点 到直线
的距离和 的长度，即可求得 的面积，本题得以解决．
【解答】解： ，
解得， 或 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴的交于 ，则此时 的周长最小，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，
，得 ，
直线 的函数解析式为 ，
第18页（共29页）当 时， ，
即点 的坐标为 ，
将 代入直线 中，得 ，
直线 与 轴的夹角是 ，
点 到直线 的距离是： ，
的面积是： ，
故答案为： ．
18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系 中，一组同心圆的圆心为坐标原点 ，它们的半
径分别为1，2，3， ，按照“加1”依次递增；一组平行线， ， ， ， ， 都与 轴垂直，
相邻两直线的间距为 ，其中 与 轴重合若半径为2的圆与 在第一象限内交于点 ，半径
为3的圆与 在第一象限内交于点 ， ，半径为 的圆与 在第一象限内交于点 ，则
点 的坐标为 ． 为正整数）
第19页（共29页）【考点】 ：规律型：点的坐标； ：勾股定理； ：垂径定理
【分析】连 ， ， ， 、 、 与 轴分别交于 、 、 ，在 △ 中， ，
，由勾股定理得出 ，同理： ， ， ，得出
的坐标为 1， ， 的坐标为 2， ， 的坐标为 ， ，得出规律，即可得
出结果．
【解答】解：连接 ， ， ， 、 、 与 轴分别交于 、 、 ，如图所示：
在 △ 中， ， ，
，
同理： ， ， ，
的坐标为 1， ， 的坐标为 2， ， 的坐标为 ， ，
按照此规律可得点 的坐标是 ， ，即
故答案为： ．
第20页（共29页）三、解答题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）
19．（5分）己知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，求 的取值范围．
【考点】 ：解一元一次不等式；97：二元一次方程组的解
【分析】先用加减法求得 的值（用含 的式子表示），然后再列不等式求解即可．
【解答】解：
① ②得： ，
，
．
．
解得： ．
20．（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步
行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡
米，坡度为 ；将斜坡 的高度 降低 米后，斜坡 改造为斜坡
，其坡度为 ．求斜坡 的长．（结果保留根号）
【考点】 ：解直角三角形的应用 坡度坡角问题
第21页（共29页）【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得 的长，进而得到 的长，再根据锐角三角函
数可以得到 的长，最后用勾股定理即可求得 的长．
【解答】解： ， ，坡度为 ，
，
，
，
，
，
，斜坡 的坡度为 ，
，
即 ，
解得， ，
米，
答：斜坡 的长是 米．
21．（9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有
对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小
明将指针所指数字记录如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
（1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小
于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可
能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．
第22页（共29页）【考点】 ：列表法与树状图法； ：算术平均数
【分析】（1）根据平均数的定义求解可得；
（2）由这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5知后两次指正所指数字和
要满足不小于5且不大于7，再画树状图求解可得．
【解答】解：（1）前8次的指针所指数字的平均数为 ；
（2） 这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，
后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，
所以此结果的概率为 ．
22．（10分）如图，正方形 的边 在正方形 的边 上，连接 ，过点 作
，交 于点 ．连接 ， ，其中 交 于点 ．
（1）求证： 为等腰直角三角形．
（2）若 ， ，求 的长．
【考点】 ：等腰直角三角形； ：正方形的性质； ：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）通过证明四边形 是平行四边形，可得 ， ，由“
”可证 ，可得 ， ，可证 ， ，
第23页（共29页）即可得结论；
（2）由题意可得 ，由平行线分线段成比例可得 ，即可求 的长．
【解答】证明：（1） 四边形 ，四边形 都是正方形
， ， ，
，
四边形 是平行四边形
，
， ，
，
，
，且
，且
为等腰直角三角形．
（2） ， ，
， ，
，且
23．（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．
与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，
批发销售总额比去年增加了 ．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多
少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，
则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果
店一天的利润为 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大
第24页（共29页）利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．
【考点】 ：二次函数的应用
【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为
万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是 元，则去年的批发价为
元，可列出方程： ，求得 即可
（2）根据总利润 （售价 成本） 数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．
【解答】解：
（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是 元，则去年的批发价为 元
今年的批发销售总额为 万元
整理得
解得 或 （不合题意，舍去）
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均售价为 元，依题意
由（1）知平均批发价为24元，则有
整理得
抛物线开口向下
当 元时， 取最大值
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元
24．（13分）如图1，菱形 的顶点 ， 在直线上， ，以点 为旋转中心将
菱形 顺时针旋转 ，得到菱形 ， 交对角线 于点 ，
交直线 于点 ，连接 ．
（1）当 时，求 的大小．
（2）如图2，对角线 交 于点 ，交直线 与点 ，延长 交 于点 ，连接 ．
当 的周长为2时，求菱形 的周长．
第25页（共29页）【考点】 ：旋转的性质； ：等边三角形的判定与性质； ：菱形的性质
【分析】（1）证明△ △ ，推出 ，即可解决问题．
（2）证明 ，推出 ， ，再证明 ，推
出 ，推出 ，即可解决问题．
【解答】解：（1） 四边形 是菱形，
，
，
△ ，△ 是等边三角形，
，
， ，
△ 是等边三角形，
，
，
， ，
△ △ ，
，
，
，
．
（2） ，
，
，
，
四边形 四点共圆，
第26页（共29页），
， ，
，
， ，
， ，
，
，
的周长为2，
，
，
菱形 的周长为8．
25．（13分）如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，点 ，点 ， 的
中线 与 轴交于点 ，且 经过 ， ， 三点．
（1）求圆心 的坐标；
（2）若直线 与 相切于点 ，交 轴于点 ，求直线 的函数表达式；
（3）在过点 且以圆心 为顶点的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，交直线 于
点 ．若以 为半径的 与直线 相交于另一点 ．当 时，求点 的坐标．
【考点】 ：二次函数综合题
【分析】（1）利用中点公式即可求解；
第27页（共29页）（2）设： ，则 ， ，则
， ， ，则 ，即可求解；
（3）利用 ，求出 ，即可求解．
【解答】解：（1）点 ，则点 ，
点 ，则点 ；
（2） 与直线 ，则 ，
设： ，则 ，
，则 ， ，
，则 ，
则点 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式： 并解得：
直线 的表达式为： ；
（3）抛物线的表达式为： ，
将点 坐标代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： ，
过点 作 ，则 ，
第28页（共29页），
解得： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
解得 或2（舍去 ，
则点 ， ．
第29页（共29页）
