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2019年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共16分,每小题2分)
1．（2分）（2019•北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一
颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨
道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
2．（2分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）（2019•北京）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
4．（2分）（2019•北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移
1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
5．（2分）（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接
CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
第1页（共34页）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
6．（2分）（2019•北京）如果m+n＝1，那么代数式（ + ）•（m2﹣n2）的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7．（2分）（2019•北京）用三个不等式a＞b，ab＞0， ＜ 中的两个不等式作为题设，余下的
一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2分）（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集
了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部
分
时间t 0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40
人数
学生类型
性别 男 7 31 25 30 4
女 8 29 26 32 8
学段 初中 25 36 44 11
高中
第2页（共34页）下面有四个推断：
这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
①这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
②这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
③这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
④所有合理推断的序号是（ ）
A． B． C． D．
二、填空①题③（本题共16分，每②小④题2分） ①②③ ①②③④
9．（2分）（2019•北京）分式 的值为0，则x的值是 ．
10．（2分）（2019•北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2．
（结果保留一位小数）
11．（2分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有
正确答案的序号）
第3页（共34页）12．（2分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，
B，P是网格线交点）．
13．（2分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝
上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝ ，则k +k 的值为 ．
1 2
14．（2分）（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直
角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．
15．（2分）（2019•北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s 2，在计算平均
0
数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记
这组新数据的方差为s 2，则s 2 s 2（填“＞”，“＝”或”＜”）
1 1 0
16．（2分）（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与
端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
①存在无数个四边形MNPQ是矩形；
②存在无数个四边形MNPQ是菱形；
③至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
④所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，
第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，
17．（5分）（2019•北京）计算：|﹣ |﹣（4﹣ ）0+2sin60°+（ ）﹣1．
π
第4页（共34页）18．（5分）（2019•北京）解不等式组：
19．（5分）（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值
及此时方程的根．
20．（5分）（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE
＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝ ，求AO的
长．
21．（5分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．
对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出
了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜
60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
第5页（共34页）d．中国的国家创新指数得分为69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内
的少数几个国家所对应的点位于虚线l 的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；
1
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万
美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是 ．
相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加
①快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决
②胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
22．（6分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点
A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的
平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接
CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
23．（6分）（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
第6页（共34页）将诗词分成4组，第i组有x 首，i＝1，2，3，4；
i
①对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三
②遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组 x x x
1 1 1
第2组 x x x
2 2 2
第3组
第4组 x x x
4 4 4
每天最多背诵14首，最少背诵4首．
③解答下列问题：
（1）填入x 补全上表；
3
（2）若x ＝4，x ＝3，x ＝4，则x 的所有可能取值为 ；
1 2 3 4
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．
24．（6分）（2019•北京）如图，P是 与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是 上一动
点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小
腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，
如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
第7页（共34页）（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 cm．
25．（5分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线
y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
①若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
②
26．（6分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣ 与y轴交于点A，将
点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（ ，﹣ ），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，
求a的取值范围．
27．（7分）（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝ +1，P为射线OB
上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段
PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
第8页（共34页）（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有
ON＝QP，并证明．
28．（7分）（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果 上的所有点都
在△ABC的内部或边上，则称 为△ABC的中内弧．例如，图1中 是△ABC的一条中
内弧．
（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝ ，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最
长的中内弧 ，并直接写出此时 的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E
分别是AB，AC的中点．
若t＝ ，求△ABC的中内弧 所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
①
若在△ABC中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直
②接写出t的取值范围．
第9页（共34页）2019 年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分,每小题2分)
1．（2分）（2019•北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一
颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨
道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选：C．
2．（2分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
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【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．（2分）（2019•北京）正十边形的外角和为（ ）
第10页（共34页）A．180° B．360° C．720° D．1440°
【考点】多边形内角与外角．
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【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
4．（2分）（2019•北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移
1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【考点】数轴．
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【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．
【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，
∴点C表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：A．
5．（2分）（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接
CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．
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第11页（共34页）【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝ ∠MON＝20°，故B选项正确；
∵∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝20°，
∴∠OCD＝∠OCM＝80°，
∴∠MCD＝160°，
又∠CMN＝ ∠AON＝20°，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
6．（2分）（2019•北京）如果m+n＝1，那么代数式（ + ）•（m2﹣n2）的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】分式的化简求值．
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【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
第12页（共34页）【解答】解：原式＝ •（m+n）（m﹣n）＝ •（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），
当m+n＝1时，原式＝3．
故选：D．
7．（2分）（2019•北京）用三个不等式a＞b，ab＞0， ＜ 中的两个不等式作为题设，余下的
一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题与定理．
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【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】解： 若a＞b，ab＞0，则 ＜ ，真命题；
①
若ab＞0， ＜ ，则a＞b，真命题；
②
若a＞b， ＜ ，则ab＞0，真命题；
③
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
8．（2分）（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集
了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部
分
时间t 0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40
人数
学生类型
性别 男 7 31 25 30 4
女 8 29 26 32 8
学段 初中 25 36 44 11
高中
第13页（共34页）下面有四个推断：
这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
①这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
②这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
③这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
④所有合理推断的序号是（ ）
A． B． C． D．
【考①点③】频数（率）分布表②；④频数（率）分布直方①图②；③算术平均数；中①位数②．③④
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【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋
势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间
两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解： 解这200名学生参加公益劳动时间的平均数： （24.5×97+25.5×103）÷200
＝25.015，一①定在24.5﹣25.5之间，正确； ①
这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间，正确；
②这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间，正确；
③这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间，错误．
④故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）（2019•北京）分式 的值为0，则x的值是 1 ．
【考点】63：分式的值为零的条件．
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【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
第14页（共34页）【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
10．（2分）（2019•北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1. 9 cm2．
（结果保留一位小数）
【考点】三角形的面积．
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【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公
式即可求出△ABC的面积．
【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，
∴S△ABC ＝ AB•CD＝ ×2.2×1.7≈1.9（cm2）．
故答案为：1.9．
11．（2分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所
有正确答案的序号） ①②
【考点】简单几何体的三视图．
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【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作
第15页（共34页）答．
【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
故答案为： ．
12．（2分）（201①9•②北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ 4 5 °（点A，B，
P是网格线交点）．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
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【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝
12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到
结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
13．（2分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝
上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝ ，则k +k 的值为 0 ．
1 2
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的
坐标．
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【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝ 上，可得k ＝ab，由点A与点B关于x
1
第16页（共34页）轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k ，然后得出答案．
2
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝ 上，
∴k ＝ab；
1
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y＝ 上，
∴k ＝﹣ab；
2
∴k +k ＝ab+（﹣ab）＝0；
1 2
故答案为：0．
14．（2分）（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直
角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 1 2 ．
【考点】菱形的性质；正方形的性质．
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【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：
，解得： ，得出AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，即可得出菱形的面积．
【解答】解：如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
设OA＝x，OB＝y，
由题意得： ，
解得： ，
∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，
第17页（共34页）∴菱形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×6×4＝12；
故答案为：12．
15．（2分）（2019•北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s 2，在计算平均
0
数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记
这组新数据的方差为s 2，则s 2 ＝ s 2（填“＞”，“＝”或”＜”）
1 1 0
【考点】算术平均数；方差．
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【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波
动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都
加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴则s 2＝S 2．
1 0
故答案为＝．
16．（2分）（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与
端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
①存在无数个四边形MNPQ是矩形；
②存在无数个四边形MNPQ是菱形；
③至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
④所有正确结论的序号是 ．
【考点】平行四边形的判定①与②性质③；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定．
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【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可
得到结论．
【解答】解： 如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线M①P和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
第18页（共34页）则四边形MNPQ是平行四边形，
故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正
②确；
如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
③当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，
④则△AMQ≌△DQP，
∴AM＝QD，AQ＝PD，
∵PD＝BM，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；
故答案为： ．
①②③
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，
第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，
17．（5分）（2019•北京）计算：|﹣ |﹣（4﹣ ）0+2sin60°+（ ）﹣1．
π
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的
性质分别化简得出答案
【解答】解：原式＝ ﹣1+2× +4＝ ﹣1+ +4＝3+ ．
18．（5分）（2019•北京）解不等式组：
【考点】解一元一次不等式组．
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第19页（共34页）【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解： ，
解 得：x＜2，
①
解 得x＜ ，
②
则不等式组的解集为x＜2．
19．（5分）（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值
及此时方程的根．
【考点】根的判别式．
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【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m＝1，
∴x2﹣2x+1＝0，
则（x﹣1）2＝0，
解得：x ＝x ＝1．
1 2
20．（5分）（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE
＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝ ，求AO的
长．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．
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【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，得出AB：BE＝AD：DF，证出
第20页（共34页）EF∥BD即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出tanG＝tan∠ADO＝ ＝ ，得
出OA＝ OD，由BD＝4，得出OD＝2，得出OA＝1．
【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴AB：BE＝AD：DF，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF；
（2）解：如图2所示：
∵由（1）得：EF∥BD，
∴∠G＝∠ADO，
∴tanG＝tan∠ADO＝ ＝ ，
∴OA＝ OD，
∵BD＝4，
∴OD＝2，
∴OA＝1．
21．（5分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．
对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出
了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜
60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
第21页（共34页）b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 1 7 ；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内
的少数几个国家所对应的点位于虚线l 的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；
1
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2. 8 万
美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是 ．
相比于点A，B所代表的①国家②，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加
①快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决
②胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
【考点】近似数和有效数字；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．
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第22页（共34页）【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；
（2）根据中国在虚线l 的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；
1
（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；
（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断
的合理性． ①②
【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，
∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，
故答案为：17；
（2）如图所示：
（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新
指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；
故答案为：2.8；
（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加
①快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决
②胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
故答案为： ．
①②
22．（6分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点
A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的
平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接
CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
第23页（共34页）【考点】角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
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【分析】（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆 O，由∠ABD＝∠CBD得到
＝ ，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD＝CD； ⊙
（2）如图，证明CD＝CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证
明OD⊥DE，从而可判断DE为 O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．
【解答】（1）证明：∵到点O的⊙距离等于a的所有点组成图形G，
∴图形G为△ABC的外接圆 O，
∵AD平分∠ABC， ⊙
∴∠ABD＝∠CBD，
∴ ＝ ，
∴AD＝CD；
（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，
∴CD＝CM，
∵DM⊥BC，
∴BC垂直平分DM，
∴BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵ ＝ ，
∴OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为 O的切线，
∴直线D⊙E与图形G的公共点个数为1．
第24页（共34页）23．（6分）（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
将诗词分成4组，第i组有x 首，i＝1，2，3，4；
i
①对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三
②遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组 x x x
1 1 1
第2组 x x x
2 2 2
第3组
第4组 x x x
4 4 4
每天最多背诵14首，最少背诵4首．
③解答下列问题：
（1）填入x 补全上表；
3
（2）若x ＝4，x ＝3，x ＝4，则x 的所有可能取值为 4 ， 5 ， 6 ；
1 2 3 4
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 2 3 首．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式，即可得到结论．
【解答】解：（1）
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组 x x x
1 1 1
第2组 x x x
2 2 2
第25页（共34页）第3组 x x x
3 3 3
第4组 x x x
4 4 4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x ≥4，x ≥4，x ≥4，
1 3 4
∴x +x ≥8 ，
1 3
∵x
1
+x
3
+x
4
≤①14 ，
把 代入 得，②x
4
≤6，
∴①4≤x
4
≤②6，
∴x 的所有可能取值为4，5，6，
4
故答案为：4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x +x ≤14 ，x +x ≤14 ，x +x +x ≤14 ，x +x ≤14 ，
1 2 2 3 1 3 4 2 4
+ + ①﹣ 得，3x 2 ≤②28， ③ ④
① ② ④ ③
∴x ≤ ，
2
∴x +x +x +x ≤ +14＝ ，
1 2 3 4
∴x +x +x +x ≤23 ，
1 2 3 4
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为：23．
24．（6分）（2019•北京）如图，P是 与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是 上一动
点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小
腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，
如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
第26页（共34页）在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 AD 的长度是自变量， PD 的长度和 PC
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 1.5 9（ 答案不唯一） cm．
【考点】动点问题的函数图象．
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【分析】（1）按照变量的定义，根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自
变量，即可求解；
（2）描点画出如图图象；
（3）PC＝2PD，即PD＝ PC，画出y＝ x，交曲线AD的值为所求，即可求解．
【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量
故答案为：AD、PC、PD；
（2）描点画出如图图象；
第27页（共34页）（3）PC＝2PD，即PD＝ PC，
画出y＝ x，交曲线AD的值约为1.59，
故答案为1.59（答案不唯一）．
25．（5分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线
y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
①若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
②【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】（1）令x＝0，y＝1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2） 当k＝2时，A（2，5），B（﹣ ，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点； 当x
① ②
＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点；
【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）由题意，A（k，k2+1），B（ ，﹣k），C（k，﹣k），
当k＝2时，A（2，5），B（﹣ ，﹣2），C（2，﹣2），
①
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；
直线AB的解析式为y＝kx+1，
②当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，
∴k＝﹣2，
当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点，
∴当0＞k≥﹣1或k＝﹣2时W内没有整数点；
26．（6分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣ 与y轴交于点A，将
点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
第28页（共34页）（3）已知点P（ ，﹣ ），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，
求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣
平移．
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【分析】（1）A（0，﹣ ）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣ ）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称；
（3） a＞0时，当x＝2时，y＝﹣ ＜2，当y＝﹣ 时，x＝0或x＝2，所以函数与AB无交
①
点；
a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣ ＝2，x＝ 或x＝ 当 ≤2
②
时，a≤﹣ ；
【解答】解：（1）A（0，﹣ ）
点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣ ）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称，
∴抛物线对称轴x＝1；
（3）∵对称轴x＝1，
∴b﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣ ，
a＞0时，
①
当x＝2时，y＝﹣ ＜2，
当y＝﹣ 时，x＝0或x＝2，
∴函数与AB无交点；
a＜0时，
②
当y＝2时，ax2﹣2ax﹣ ＝2，
第29页（共34页）x＝ 或x＝
当 ≤2时，a≤﹣ ；
∴当a≤﹣ 时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
27．（7分）（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝ +1，P为射线OB
上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段
PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有
ON＝QP，并证明．
【考点】三角形综合题．
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【分析】（1）根据题意画出图形．
（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和
180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．
（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝
∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作
NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝
NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB
＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝ a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC
＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH
＝ MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝ a+a＝ +1，求得a＝1，故
OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．
【解答】解：（1）如图1所示为所求．
第30页（共34页）（2）设∠OPM＝ ，
∵线段PM绕点Pα顺时针旋转150°得到线段PN
∴∠MPN＝150°，PM＝PN
∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣
∵∠AOB＝30° α
∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣ ＝150°﹣
∴∠OMP＝∠OPN α α
（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：
过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2
∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°
∵∠AOB＝30°，OP＝2
∴PD＝ OP＝1
∴OD＝
∵OH＝ +1
∴DH＝OH﹣OD＝1
∵∠OMP＝∠OPN
∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN
即∠PMD＝∠NPC
在△PDM与△NCP中
第31页（共34页）∴△PDM≌△NCP（AAS）
∴PD＝NC，DM＝CP
设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
∴HQ＝MH＝x+1
∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x
∴OC＝DQ
在△OCN与△QDP中
∴△OCN≌△QDP（SAS）
∴ON＝QP
28．（7分）（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果 上的所有点都
在△ABC的内部或边上，则称 为△ABC的中内弧．例如，图1中 是△ABC的一条中
内弧．
（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝ ，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最
长的中内弧 ，并直接写出此时 的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E
分别是AB，AC的中点．
若t＝ ，求△ABC的中内弧 所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
① 第32页（共34页）若在△ABC中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直
②接写出t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
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【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为
直径的半圆， 的长即以DE为直径的圆周长的一半；
（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上， 当t＝ 时，要注意圆心
①
P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足
90°≤∠AEP＜135°； 根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．
【解答】解：（1）如②图2，以DE为直径的半圆弧 ，就是△ABC的最长的中内弧 ，
连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝ ，D，E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝ ＝ ＝4，DE＝ BC＝ ×4＝2，
∴弧 ＝ ×2 ＝ ；
π π
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直
平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，
当t＝ 时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（ ，1），
①
设P（ ，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°
∴∠ACO＝45°，
∵DE∥OC
∴∠AED＝∠ACO＝45°
作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；
∴m≤
综上所述，m≤ 或m≥1．
如图4，设圆心P在AC上，
②
第33页（共34页）∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝ ，
∴P（t， ），
∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠AOB＝90°
∴AE＝ ＝ ＝ ，
∵PD＝PE，
∴∠AED＝∠PDE
∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，
∴∠DAE＝∠ADP
∴AP＝PD＝PE＝ AE
由三角形中内弧定义知，PD≤PM
∴ AE≤ ，AE≤3，即 ≤3，解得：t≤ ，
∵t＞0
∴0＜t≤ ．
第34页（共34页）
