文档内容
2019年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑．
1．（4分）（2019•重庆）下列各数中，比 小的数是
A．2 B．1 C．0 D．
2．（4分）（2019•重庆）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•重庆）如图， ，若 ， ， ，则 的长是
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（4分）（2019•重庆）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 与 交
于点 ，连结 ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•重庆）下列命题正确的是
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
第1页（共35页）B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．（4分）（2019•重庆）估计 的值应在
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．（4分）（2019•重庆）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半
而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其
钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱
数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为 ，乙的钱数为 ，则可建立方程组为
A． B．
C． D．
8．（4分）（2019•重庆）按如图所示的运算程序，能使输出 值为1的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
9．（4分）（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 分别在 轴、
轴上，对角线 轴，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点 ．若
点 ， ，则 的值为
第2页（共35页）A．16 B．20 C．32 D．40
10．（4分）（2019•重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展
了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比） 的山坡 上发现有一棵古树 ．测
得古树底端 到山脚点 的距离 米，在距山脚点 水平距离6米的点 处，测得古
树顶端 的仰角 （古树 与山坡 的剖面、点 在同一平面上，古树 与
直线 垂直），则古树 的高度约为
（参考数据： ， ，
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
11．（4分）（2019•重庆）若关于 的一元一次不等式组 的解集是 ，且关
于 的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为
A．0 B．1 C．4 D．6
12．（4分）（2019•重庆）如图，在 中， 是 边上的中点，连结 ，把 沿
翻折，得到 ， 与 交于点 ，连结 ，若 ， ，则点 到
的距离为
第3页（共35页）A． B． C． D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中
对应的横线上．
13．（4分）（2019•重庆）计算：
14．（4分）（2019•重庆）今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过
25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为 ．
15．（4分）（2019•重庆）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个
白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个
球，则两次都摸到红球的概率为 ．
16．（4分）（2019•重庆）如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ， ，
，分别以点 、点 为圆心，以 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影
部分的面积为 ．（结果保留
17．（4分）（2019•重庆）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员
乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发
现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即
原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程 （米 与甲出
发的时间 （分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲
距公司的路程是 米．
第4页（共35页）18．（4分）（2019•重庆）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村
种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面
积之比 ，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种
植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的 种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三
种中药材种植总面积的 ．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到 ，则该村
还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）（2019•重庆）计算：
（1）
（2）
20．（10分）（2019•重庆）如图，在 中， ， 是 边上的中点，连结 ，
平分 交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： ．
21．（10分）（2019•重庆）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心秩首．
今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该
校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分
第5页（共35页）用 表示，共分成四组： ． ， ． ， ． ， ． ，下面
给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82
八年级10名学生的竞赛成绩在 组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93
众数 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中 ， ， 的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说
明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共730人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀
的学生人数是多少？
22．（10分）（2019•重庆）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数
的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数
时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数 “纯数”．
定义；对于自然数 ，在计算 时，各数位都不产生进位，则称这个自然数
为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算 时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算 时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
第6页（共35页）23．（10分）（2019•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式 利
用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描
点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 ．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数 中，当 时，
；当 时， ．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的
一条性质；
（3）已知函 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
的解集．
24．（10分）（2019•重庆）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅
套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全
部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，
50平方米和80平方米的住户分别有 和 参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6
月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测
算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加
活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 ，每户物管
第7页（共35页）费将会减少 ；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的
基础上将增加 ，每户物管费将会减少 ．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴
纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 ，求 的值．
25．（10分）（2019•重庆）如图，在平行四边形 中，点 在边 上，连结 ，
，垂足为 ，交 于点 ， ，垂足为 ， ，垂足为 ，交 于
点 ，点 是 上一点，连接 ．
（1）若 ， ， ，求 的面积．
（2）若 ， ，求证： ．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出
必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，
（点 在点 的左侧），交 轴于点 ，点 为抛物线的顶点，对称轴与 轴交于点 ．
（1）连结 ，点 是线段 上一动点（点 不与端点 ， 重合），过点 作 ，
交抛物线于点 （点 在对称轴的右侧），过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ，点
是线段 上一动点，当 取得最大值时，求 的最小值；
（2）在（1）中，当 取得最大值， 取得最小值时，把点 向上平移 个单
位得到点 ，连结 ，把 绕点 顺时针旋转一定的角度 ，得到△
，其中边 交坐标轴于点 ．在旋转过程中，是否存在一点 ，使得 ？
若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共35页）第9页（共35页）2019 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑．
1．（4分）下列各数中，比 小的数是
A．2 B．1 C．0 D．
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．
【解答】解： ，
比 小的数是 ，
故选： ．
2．（4分）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，如图所示：
．
故选： ．
3．（4分）如图， ，若 ， ， ，则 的长是
第10页（共35页）A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．
【解答】解： ，
，
， ， ，
，
解得： ．
故选： ．
4．（4分）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 与 交于点 ，连结
．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】由切线的性质得出 ，求出 ，由等腰三角形的性质得出
，再由三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解： 是 的切线，
，
，
，
，
，
，
；
故选： ．
第11页（共35页）5．（4分）下列命题正确的是
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定方法判断即可．
【解答】解： 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选： ．
6．（4分）估计 的值应在
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
故选： ．
7．（4分）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙
得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少
钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、
乙各有多少钱？设甲的钱数为 ，乙的钱数为 ，则可建立方程组为
第12页（共35页）A． B．
C． D．
【分析】设甲的钱数为 ，人数为 ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把
其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设甲的钱数为 ，乙的钱数为 ，
依题意，得： ．
故选： ．
8．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出 值为1的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】根据题意一一计算即可判断．
【解答】解：当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
故选： ．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 分别在 轴、 轴上，对角线
轴，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点 ．若点 ，
，则 的值为
第13页（共35页）A．16 B．20 C．32 D．40
【分析】根据平行于 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设 ．利用矩形的性质得出
为 中点， ．根据线段中点坐标公式得出 ， ．
由勾股定理得出 ，列出方程 ，求出 ，得到 点坐
标，代入 ，利用待定系数法求出 ．
【解答】解： 轴， ，
、 两点纵坐标相同，都为4，
可设 ．
矩形 的对角线的交点为 ，
为 中点， ．
， ．
，
，
， ， ，
，
解得 ，
．
反比例函数 的图象经过点 ，
．
故选： ．
10．（4分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活
第14页（共35页）动．如图，在一个坡度（或坡比） 的山坡 上发现有一棵古树 ．测得古树底端
到山脚点 的距离 米，在距山脚点 水平距离6米的点 处，测得古树顶端 的仰
角 （古树 与山坡 的剖面、点 在同一平面上，古树 与直线 垂直），
则古树 的高度约为
（参考数据： ， ，
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
【分析】如图，根据已知条件得到 ，设 ， ，根据勾股定理得
到 ，求得 ， ，得到 ，根据三角函
数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图， ，
设 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
答：古树 的高度约为23.3米，
故选： ．
第15页（共35页）11．（4分）若关于 的一元一次不等式组 的解集是 ，且关于 的分式方
程 有非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为
A．0 B．1 C．4 D．6
【分析】先解关于 的一元一次不等式组 ，再根据其解集是 ，得 小于
5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出 的值，再求和即可．
【解答】解：由不等式组 得：
解集是 ，
；
由关于 的分式方程 得
，
有非负整数解，
，
，且 ， （舍，此时分式方程为增根）， ，
它们的和为1．
故选： ．
12．（4分）如图，在 中， 是 边上的中点，连结 ，把 沿 翻折，得到
， 与 交于点 ，连结 ，若 ， ，则点 到 的距离为
第16页（共35页）A． B． C． D．
【分析】连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，由翻折知， ，
垂直平分 ，证 为等边三角形，利用解直角三角形求出 ，
， ，在 中，利用勾股定理求出 的长，在 中利
用面积法求出 的长．
【解答】解：如图，连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
， 是 边上的中点，
，
由翻折知， ， 垂直平分 ，
， ， ，
，
为等边三角形，
，
，
，
在 △ 中，
， ，
， ，
，
在 中，
，
第17页（共35页），
，
，
故选： ．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中
对应的横线上．
13．（4分）计算： 3
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂计算可得．
【解答】解：原式 ，
故答案为：3．
14．（4分）今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人
次，请把数25600000用科学记数法表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值是易
错点，由于25600000有8位，所以可以确定 ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
15．（4分）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，
搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到
红球的概率为 ．
【分析】先画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后
根据概率公式求解．
第18页（共35页）【解答】解：画树状图为：
共有30种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为6，
所以两次都摸到红球的概率为 ．
故答案为： ．
16．（4分）如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ，分别以
点 、点 为圆心，以 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为
．（结果保留
【分析】根据菱形的性质得到 ， ， ，根
据直角三角形的性质求出 、 ，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可．
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
由勾股定理得， ，
， ，
阴影部分的面积 ，
第19页（共35页）故答案为： ．
17．（4分）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的
手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机
落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返
回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程 （米 与甲出发的时间
（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路
程是 600 0 米．
【分析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，
从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程．
【解答】解：由题意可得，
甲的速度为： 米 分，
乙的速度为： 米 分，
乙从与甲相遇到返回公司用的时间为4分钟，
则乙回到公司时，甲距公司的路程是： （米 ，
故答案为：6000．
18．（4分）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材
川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比
，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三
种中药材，经测算需将余下土地面积的 种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药
材种植总面积的 ．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到 ，则该村还需种
植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ．
【分析】设该村已种药材面积 ，余下土地面积为 ，还需种植贝母的面积为 ，则总面积为
第20页（共35页），川香已种植面积 、贝母已种植面积 ，黄连已种植面积
依题意列出方程组，用 的代数式分别表示 、 ，然后进行计算即可．
【解答】解：设该村已种药材面积 ，余下土地面积为 ，还需种植贝母的面积为 ，则总面积
为 ，川香已种植面积 、贝母已种植面积 ，黄连已种植面积
依题意可得，
由①得 ③，
将③代入②， ，
贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比 ，
故答案为 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
第21页（共35页）（2）
．
20．（10分）如图，在 中， ， 是 边上的中点，连结 ， 平分 交
于点 ，过点 作 交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： ．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明 ，再利用等腰三角形的性质
求出 即可解决问题．
（2）只要证明 即可解决问题．
【解答】（1）解： ，
，
，
，
， ，
，
，
．
（2）证明： 平分 ，
第22页（共35页），
，
，
，
．
21．（10分）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心秩首．今年某校为
确保学生安全，开展了“远离溺水 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级
中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 表示，共
分成四组： ． ， ． ， ． ， ． ，下面给出了部分
信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82
八年级10名学生的竞赛成绩在 组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93
众数 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中 ， ， 的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说
明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共730人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀
的学生人数是多少？
第23页（共35页）【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较
好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1） ，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平方数，
；
在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年
级的中位数和众数均高于七年级．
（3）参加此次竞赛活动成绩优秀 的学生人数 人，
答：参加此次竞赛活动成绩优秀 的学生人数是468人．
22．（10分）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数
的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究
了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数 “纯数”．
定义；对于自然数 ，在计算 时，各数位都不产生进位，则称这个自然数
为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算 时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算 时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
第24页（共35页）【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是
“纯数”；
（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决．
【解答】解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，
理由：当 时， ， ，
个位是 ，需要进位，
不是“纯数”；
当 时， ， ，
个位是 ，不需要进位，十位是 ，不需要进位，百位为 ，不
需要进位，千位为 ，不需要进位，
是“纯数”；
（2）由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，
当这个数是三位自然数是，只能是100，
由上可得，不大于100的“纯数”的个数为 ，
即不大于100的“纯数”的有13个．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式 利用函数图象研
究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方
法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 ．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数 中，当 时，
；当 时， ．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的
一条性质；
（3）已知函 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
第25页（共35页）的解集．
【分析】（1）根据在函数 中，当 时， ；当 时， ，可以求得
该函数的表达式；
（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；
（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．
【解答】解：（1） 在函数 中，当 时， ；当 时， ，
，得 ，
这个函数的表达式是 ；
（2） ，
，
函数 过点 和点 ；函数 过点 和点 ；
该函数的图象如右图所示，性质是当 时， 随 的增大而增大；
（3）由函数图象可得，
不等式 的解集是 ．
第26页（共35页）24．（10分）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平
方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人
住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，
50平方米和80平方米的住户分别有 和 参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6
月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测
算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加
活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 ，每户物管
费将会减少 ；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的
基础上将增加 ，每户物管费将会减少 ．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴
纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 ，求 的值．
【分析】（1）设该小区有 套80平方米住宅，则50平方米住宅有 套，根据物管费90000元，
可列方程求解；
（2）50平方米住宅有 户参与活动一，80平方米住宅有 户参与
活动一；50平方米住宅每户所交物管费为 元，有 户参与活动二；
80平方米住宅每户所交物管费为 元，有 户参与活动二．根据参加活
第27页（共35页）动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 ，列
出方程求解即可．
【解答】（1）解：设该小区有 套80平方米住宅，则50平方米住宅有 套，由题意得：
，
解得
答：该小区共有250套80平方米的住宅．
（2）参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有 户参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有 户参与活动一；
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为 元，有 户参与活动二；
80平方米住宅每户所交物管费为 元，有 户参与活动二．
由 题 意 得
令 ，化简得
（舍 ， ，
．
答： 的值为50．
25．（10分）如图，在平行四边形 中，点 在边 上，连结 ， ，垂足为 ，
交 于点 ， ，垂足为 ， ，垂足为 ，交 于点 ，点 是 上一
点，连接 ．
（1）若 ， ， ，求 的面积．
（2）若 ， ，求证： ．
第28页（共35页）【分析】（1）作 于 ，设 ，则 ，在 和 中，由勾股
定理得出方程，解方程得出 ，即 ，得出 ，求出 ，由三角形面积公式
即可得出结果；
（2）连接 ，证明 得出 ， ，再证明 得出
，由 ，得出 ，即可得出结论．
【解答】（1）解：作 于 ，如图1所示：
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得： ，即 ，
，
，
，
；
（2）证明：连接 ，如图2所示：
， ， ，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
第29页（共35页）， ， ，
， ，
在 和 中， ，
，
，
又 ，
，
．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出
必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点
的左侧），交 轴于点 ，点 为抛物线的顶点，对称轴与 轴交于点 ．
（1）连结 ，点 是线段 上一动点（点 不与端点 ， 重合），过点 作 ，
交抛物线于点 （点 在对称轴的右侧），过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ，点
是线段 上一动点，当 取得最大值时，求 的最小值；
第30页（共35页）（2）在（1）中，当 取得最大值， 取得最小值时，把点 向上平移 个单
位得到点 ，连结 ，把 绕点 顺时针旋转一定的角度 ，得到△
，其中边 交坐标轴于点 ．在旋转过程中，是否存在一点 ，使得 ？
若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定点 的位置，可设点 ，则点 ，可得
，根据二次函数的性质得 时，
取到最大值，此时 取到最大值，此时 ，此时 ，在 轴上找一点 ，
，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 点，交 轴于点 ， ，直线
的解析式为： ，从而得到直线 的解析式为： 联立解出点
， 得 的最小值即为 的长，且 最后得出
；
（2）由题意可得出点 ， ，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一
半”取 的中点 ，连接 ，则 ，此时， ，把
第31页（共35页）绕点 顺时针旋转一定的角度 ，得到△ ，其中边 交坐标轴
于点 ，则用 ，分四种情况求解．
【解答】解：（1）如图1
抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），交 轴于点
令 解得： ， ，令 ，解得： ，
， ，
点 为抛物线的顶点，且 ，
点 的坐标为
直线 的解析式为： ，
由题意，可设点 ，则点
当 时， 取到最大值，此时 取到最大值，此时 ，
此时， ， ，
在 轴上找一点 ， ，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 点，交 轴于点
，
第32页（共35页），直线 的解析式为： ，且点 ，
，直线 的解析式为：
点 ，
的最小值即为 的长，且
；
（2）由（1）知，点 ，
把点 向上平移 个单位得到点
点
在 中 ， ， ， 取 的 中 点 ， 连 接 ， 则
，此时，
把 绕点 顺时针旋转一定的角度 ，得到△ ，其中边 交坐标
轴于点
①如图2
第33页（共35页）点落在 轴的负半轴，则 ，过点 作 轴交 轴于点 ，且
则 ，
，解得：
在 中根据勾股定理可得
点 的坐标为 ， ；
②如图3，
当 点落在 轴的正半轴上时，同理可得 ，
③如图4
第34页（共35页）当 点落在 轴的正半轴上时，同理可得 ，
④如图5
当 点落在 轴的负半轴上时，同理可得 ，
综上所述，所有满足条件的点 的坐标为： ， ， ， ， ， ，
，
第35页（共35页）
