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2019年辽宁省铁岭市昌图县中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．如图为一个台阶，它的主视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a3•b3＝（ab）3 B．a2•a3＝a6
C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
4．体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一位同学的成绩比较稳定，通常要比
较两名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
5．将点A（﹣2，3）绕坐标原点逆时针旋转90后得到点A'，则点A'的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
6．向一个半径为2的圆中投掷石子（假设石子全部投入圆形区域内），那么石子落在此圆的内接正方
形中的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．一个圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则它的侧面积是（ ）
A．4 B．2 C． D．
π π π
8．关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ）A．m≤1 B．m＜1 C．﹣3≤m≤1 D．﹣3＜m＜1
9．如图，三角形OAB和三角形BCD是等腰直角三角形，点B、D在x轴上，∠ABO＝∠CDB＝90°，点
A在双曲线 上，若△OAC的面积为 ，则k的值为（ ）
A． B． C．﹣9 D．﹣12
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且经过点（﹣1，0），则下列结论： abc＜0；
①
2a﹣b＝0； a＜﹣ ； 若方程ax2+bx+c﹣2＝0的两个根为x 和x ，则（x +1）（x ﹣3）＜0，
1 2 1 2
② ③ ④
正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）
11．截止2018年底，中国互联网用户达8.29亿．数据8.29亿用科学记数法表示为 ．
12．在实数范围内分解因式：x3﹣2x＝ ．
13．如图，已知∠ACB＝90°，直线MN∥AB，若∠1＝33°，则∠2＝ °．14．已知 +|y﹣3|＝0，那么xy＝ ．
15．如图，AB为 O的直径，弦CD⊥直径AB，垂足为E，连接OC，BD，如果∠D＝55°，那么∠DCO＝
°． ⊙
16．在一个不透明的口袋中装有40个红、白两色小球，这些小球除颜色外都相同，如果从中随机摸出
一球为红球的概率是 ，那么袋中一共有白球 个．
17．△ABC三个顶点的坐标分别是A（3，4），B（1，1），C（4，1），将△ABC以点O为位似中心，位似比
为 缩小后，点A对应点A′的坐标是 ．
18．如图，点B 是△ABC的边AB的中点，过点B 作BC边的平行线交AC边于点C ，点B 是△AB C
1 1 1 2 1 1
的边AB 的中点，过点B 作B C 边的平行线交AC 于点C ，如此继续作下去……，若△ABC的面
1 2 1 1 1 2
积为S，则四边形B B C 的面积为 ．
n n﹣1 n﹣1 n
∁三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简再求值： ，其中x＝ ．
20．（12分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、
乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，
并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图 ， ，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的
球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题①： ②
（1）九（1）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请
用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
21．如图， ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，
PD． ▱
（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．22．小强和小明同学在学习了“平面镜反射原理后，”自己用一个小平面镜MN做实验．他们先将平
面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面
墙面上一幅画的底边C点，他们不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠MAM′＝
7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD＝10cm，求平面镜放置点与墙面的距离AB．（
≈1.73，结果精确到0.1）．
23．如图，AC是 O的直径，点B为 O上一点，PA切 O于点A，PB与AC的延长线交于点M，
⊙ ⊙ ⊙
∠CAB＝ ∠APB．
（1）求证：PB是 O的切线；
⊙
（2）当sinM＝ ，OA＝2时，求MB，AB的长．
24．某工厂加工一种商品，每天加工件数不超过100件时，每件成本80元，每天加工超过100件时，每多加工5件，成本下降2元，但每件成本不得低于70元．设工厂每天加工商品x（件），每件商品成
本为y（元），
（1）求出每件成本y（元）与每天加工数量X（件）之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）若每件商品的利润定为成本的20%，求每天加工多少件商品时利润最大，最大利润是多少？
25．正方形ABCD的边长为6，它的对角线AC、BD相交于点O，∠EPF＝45°，两边与正方形的边AB、
AD分别交于E、F两点，
如图1，当点∠EPF的顶点P在点O处，且AO平分∠EPF时，求证BE＝DF；
①如图2，将 中的∠EPF绕点O旋转，写出线段BE、DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点P为线①段AC的三等分点，且AE＝1时，直接写出线段DF的长．
③
26．如图，二次函数y＝ax2+bx+ 的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．点P为第一象
限的抛物线上的一个动点，过点P分别做BC和x轴的垂线，交BC于点E和F，交x轴于点M和
N．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段PE最大值，并求出线段PE最大时点P的坐标；
（3）若S ＝3S 时，求出点P的坐标．
△PMN △PEF2019 年辽宁省铁岭市昌图县中考数学模拟试卷（4 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝
对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
【解答】解：根据主视图是从正面看到的可得：
它的主视图是
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．【分析】A、原式利用积的乘方运算法则变形得到结果，即可做出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝（ab）3，正确；
B、原式＝a5，错误；
C、原式＝a3，错误；
D、原式＝a6，错误，
故选：A．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
4．【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义．
5．【分析】如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．证明△AOE≌△OA′F（AAS），推出OF＝AE＝3，
A′F＝OE＝2即可解决问题．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．
∵A（﹣2，3），
∴AE＝3，OE＝2，
∵∠AOE+∠A′OF＝90°，∠A′OF+∠A′＝90°，
∴∠AOE＝∠A′，
∵∠AEO＝∠A′FO＝90°，OA＝OA′，
∴△AOE≌△OA′F（AAS），
∴OF＝AE＝3，A′F＝OE＝2，
∴A′（﹣3，﹣2），
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：图形或点旋转之后，要结合旋转的角度和图形
的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
6．【分析】先得出圆内接正方形的边长，再用正方形的面积除以圆的面积即可得．
【解答】解：∵半径为2的圆内接正方形边长为2 ，
∴圆的面积为4 ，正方形的面积为8，
π则石子落在此圆的内接正方形中的概率是 ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了几何概率的求法：求某事件发生在某个局部图形的概率等于这个局部的面积与
整个图形的面积的比．
7．【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，
∴底面半径＝1cm，底面周长＝2 cm，
π
∴圆锥的侧面积＝ ×2 ×2＝2 （cm2），
π π
故选：B．
【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解题意，记住扇形的面积公式．
8．【分析】利用二次根式有意义的条件和判别式的意义得到 ，然后解不等式
组即可．
【解答】解：根据题意得 ，
解得﹣3≤m≤1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜
0时，方程无实数根．
9．【分析】设AB＝OB＝a，CD＝BD＝b，则OD＝a+b，由已知条件根据△OAC的面积＝梯形ABDC的
面积+△OAB的面积﹣△OCD的面积得出 （a+b）•b+ a2﹣ （a+b）•b＝ ，即可得出a的值，从
而得出A的坐标，根据待定系数法即可求得k．
【解答】解：设AB＝OB＝a，CD＝BD＝b，则OD＝a+b，∵△OAC的面积为 ，
∴S ＝S +S ﹣S ＝ ，
△OAC 梯形ABDC △OAB △OCD
∴ （a+b）•b+ a2﹣ （a+b）•b＝ ，
解得a＝3，
∴A（﹣3，3），
∵点A在双曲线 上，
∴k＝﹣3×3＝﹣9，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形面积的计算、反比例函数的系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质；
熟练掌握等腰直角三角形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．
10．【分析】由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，﹣ ＝1，因此abc＜0，﹣b＝2a，2a﹣b＝4a≠0，故 正确，
①
错误；当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，3a+c＝0，c＝﹣3a＞2，a＜﹣ ，故 正确；由对称轴直线x＝
② ③
1，抛物线与x轴左侧交点（﹣1，0），可知抛物线与x轴另一个交点（3，0），由图象可知，y＝2时，x
1
＜﹣1，x ＞3，所以x +1＜0，x ﹣3＞0，因此（x +1）（x ﹣3）＜0．
2 1 2 1 2
【解答】解：由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，﹣ ＝1，
∴abc＜0，﹣b＝2a，2a﹣b＝4a≠0，故 正确， 错误；
① ②
x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，3a+c＝0，c＝﹣3a＞2，a＜﹣ ，故 正确；
③
由对称轴直线x＝1，抛物线与x轴左侧交点（﹣1，0），可知抛物线与x轴另一个交点（3，0），
由图象可知，y＝2时，x ＜﹣1，x ＞3，
1 2∴x +1＜0，x ﹣3＞0，
1 2
∴（x +1）（x ﹣3）＜0．
1 2
故 正确．
故④选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）
11．【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n
为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【解答】解：数据8.29亿用科学记数法表示为8.29×108．
故答案为：8.29×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】提取公因式x后运用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：x3﹣2x＝x（x2﹣2）＝x（x+ ）（x﹣ ）．
【点评】本题考查提公因式法、平方差公式分解因式，把2写成（ ）2是继续利用平方差公式进行
因式分解的关键．
13．【分析】直接利用已知得出∠ACN的度数，再利用平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠1＝33°，
∴∠ACN＝57°，
∵直线MN∥AB，
∴∠2＝∠ACN＝57°．
故答案为：57°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ACN的度数是解题关键．
14．【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的方程，求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式
进行计算即可．
【解答】解：∵ +|y﹣3|＝0，
∴x+2＝0，解得x＝﹣2；
y﹣3＝0，解得y＝3．
∴xy＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．
【点评】本题考查的是非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．【分析】根据垂直求出∠CEO，根据圆周角定理求出∠COB，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∵∠D＝55°，
∴由圆周角定理得：∠COB＝2∠BDC＝110°，
∴∠DCO＝∠COB﹣∠CEO＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，垂直定义和圆周角定理，能根据圆周角定理求出∠COB＝
2∠BDC是解此题的关键．
16．【分析】直接利用白球个数÷小球总数＝得到白球的概率进而得出答案．
【解答】解：设袋中一共有白球x个，根据题意可得：
∵从中随机摸出一球为红球的概率是 ，
∴从中随机摸出一球为白球的概率是 ，
∴ ＝ ，
解得：x＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率求法是解题关键．
17．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形
对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为A（3，4），B（1，1），
∴将△ABC以点O为位似中心，位似比为 缩小后，点A对应点A′的坐标是：（1.5，2）或（﹣1.5，
﹣2）．
故答案为：（1.5，2）或（﹣1.5，﹣2）．
【点评】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
18．【分析】根据点B 是△ABC的边AB的中点，B C ∥BC，可表示出△AB C 的面积，同理可表示出
1 1 1 1 1
△AB C 、△AB C 、△AB 的面积，即可求出四边形B B C 的面积．
2 2 n﹣1 n﹣1 n n n n﹣1 n﹣1 n
【解答】解：∵点B 是△ABC的∁边AB的中点，B C ∥BC， ∁
1 1 1
∴△AB C ～△ABC，相似比为1：2，
1 1
∴△AB C 与△ABC的面积比为1：4，
1 1
∴△AB C 的面积为 S；
1 1
∵点B 是△AB C 的边AB 的中点，B C ∥B C ，
2 1 1 1 1 1 2 2
∴△AB C ～△AB C ，相似比为1：2，
2 2 1 1
∴△AB C 与△AB C 的面积比为1：4，
2 2 1 1
∴△AB C 的面积为 S；
2 2
同理可得：△AB C 的面积为 S，
n﹣1 n﹣1
△AB 的面积为 S，
n n
∁
∴四边形B B C 的面积为 S；
n n﹣1 n﹣1 n
∁
故答案为： S．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的面积比等于相
似比的平方．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝[ + ]÷＝ •（x2﹣1）
＝x2+1，
当x＝﹣2 时，
原式＝12+1
＝13．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足
球的人数，然后补全统计图即可；
（2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、n的值，用喜欢足球的人数所占的百分比
乘以360°即可；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%＝40（人），
喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16＝40﹣32＝8（人），
补全统计图如图所示；
（2）∵ ×100%＝10%，
×100%＝20%，
∴m＝10，n＝20，
表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°＝72°；
故答案为：（1）40；（2）10；20；72；
（3）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P（恰好是1男1女）＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝
∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝ ，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE．
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴AP＝ AB＝2，
∴PH＝ ，DH＝5，
∴tan∠ADP＝ ＝ ．
【点评】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难
度不大．
22．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可求得AB的长．
【解答】解：作AE⊥M′N′，设AB＝x米，
∵∠PAE＝∠DAE，
∴∠N′AD＝∠M′AP＝7.5°+30°＝37.5°，
∴∠DAB＝37.5°+7.5°＝45°，
∴在Rt△ABD中，DB＝AB＝x，
又∵在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠CAB＝x• ＝ x，
∴x﹣ x＝10，
解得，x＝5（3+ ）≈23.7（米），
答：平面镜放置点与墙面的距离AB是23.7米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．【分析】（1）连接OB，根据切线的性质得到OA⊥AP，求得∠OBM＝90°，OB⊥MP，根据求得的判
定定理即可得到结论；
（2）连接BC，解直角三角形得到MC＝1，MB＝ ＝ ，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，
根据相似三角形的性质得到AB＝ CB，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵∠CAB＝ ∠COB，∠CAB＝ ∠APB，
∴∠COB＝∠APB，
∵PA切 O于点A，
∴OA⊥A⊙P，
∴∠APB+∠M＝90°，
∴∠COB+∠M＝90°，
∴∠OBM＝90°，
∴OB⊥MP，
∴PB是 O的切线；
（2）解⊙：连接BC，
∵∠OBM＝90°，
∴sinM＝ ，
∴OM＝ ＝3，∴MC＝1，MB＝ ＝ ，
∵AC是 O的直径，
∴∠ABC⊙＝90°，
∴∠OBA+∠OBC＝90°，
∵∠MBC+∠OBC＝90°，
∵∠M＝∠M，
∴△MCB∽△MBA，
∴ ，
∴AB＝ CB，
∵BC2+AB2＝AC2，
∴BC2+5BC2＝42，
∴BC＝ ，
∴AB＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅
助线是解题的关键．
24．【分析】（1）分两部分写函数解析式；
（2）设每天加工的利润为w元，当0＜x≤100时，w＝20%×80x＝16x，当100＜x≤125时，w＝﹣
（x﹣150）2+1800，结合函数图象求解；
【解答】解：（1）当0＜x≤100时，y＝80∵
∴当100＜x≤125时，
∴y＝ ，
（2）设每天加工的利润为w元，
当0＜x≤100时，w＝20%×80x＝16x，
∵k＝16，∴w对x的增大而增大，
∴当x＝100时，w最大，最大为1600元；
当100＜x≤125时，w＝20%（﹣ x+120）x＝﹣ +24x＝﹣ （x﹣150）2+1800，
∵a＝﹣ ＜0，开口向下，
∴当x＜150时，w随x的增大而增大，
∴当x＝125时，w最大，最大值为1750元，
∵1750＞1600，
∴当x＝125时，w最大，
答：每天加工125件时，利润最大，最大利润为1750元．
【点评】本题考查分段函数解析式，二次函数最值，一次函数最值；能够根据已知条件列出合理的
表达式，结合函数图象求解是关键．
25．【分析】（1）证明△AEO≌△AFO（ASA），得到AB﹣AE＝AD﹣AF；
（2）证明△BEO∽△DOF，得到 ；
（3）分两种情况 AP＝ AC， AP＝ AC；过点P作PM⊥AB，过F作FN⊥AP，证明
① ②
Rt△EPM∽Rt△FPN，设AN＝x，根据对对应边成比例，得到x的值，再在
等腰直角三角t△ANF中求出AF即可；【解答】解：（1）∵AO平分∠EPF，
∴∠EPA＝∠FPA，
∵在正方形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，OA＝OA，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴AE＝AF，
∵AB＝AD，
∴AB﹣AE＝AD﹣AF，
∴BE＝BF；
（2）∵在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠BEO+∠BOE＝135°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠BOE+∠DOF＝135°，
∴∠BEO＝∠DOF，
∴△BEO∽△DOF，
∴ ，
∴BE•DF＝OB•OD，
∵BD＝6 ，∴OB＝OD＝3 ，
∴BE•DF＝18；
（3） 或 ；
过点P作PM⊥AB，过F作FN⊥AP，如图 ，
①∵∠EPF＝45°，∠MAP＝45°， ①
∴∠APM＝45°，
∴∠EPM＝∠FPN，
∴Rt△EPM∽Rt△FPN，
∴ ，
∵正方形ABCD的边长为6，∴AC＝6 ，
∵点P为线段AC的三等分点，
∴AP＝2 ，
∵Rt△AMP是等腰直角三角形，
∴AM＝PM＝2，
∵AE＝1，
∴EM＝1，
∵Rt△ANF是等腰直角三角形，
设AN＝x，
∴ ，
∴x＝ ，
∴AF＝ ，
∴FD＝6﹣ ＝ ；
过点P作PM⊥AB，过F作FN⊥AP，如图 ，
②∵∠EPF＝45°，∠MAP＝45°， ②
∴∠APM＝45°，
∴∠EPM＝∠FPN，
∴Rt△EPM∽Rt△FPN，
∴ ，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AC＝6 ，
∵点P为线段AC的三等分点，∴AP＝4 ，
∵Rt△AMP是等腰直角三角形，
∴AM＝PM＝4，
∵AE＝1，
∴EM＝3，
∵Rt△ANF是等腰直角三角形，
设AN＝x，
∴ ，
∴x＝ ，
∴AF＝ ，
∴FD＝6﹣ ＝ ；
【点评】本题考查三角形的全等，三角形的相似；分类讨论；熟练掌握三角形相似的判定和性质，正
方形的性质是解题的关键．26．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由OB，OC的长可得出∠ABC＝30°，结
合PN⊥x轴，PE⊥BC可得出PE＝ PF，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解
析式，设点P的坐标为（x，﹣ x2+ x+ ），则点F的坐标为（x，﹣ x+ ），进而可得
出PE＝﹣ x2+ x，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）由∠PEF＝∠PNM，∠P＝∠P可得出△PEF∽△PNM，利用相似三角形的性质结合S ＝
△PMN
3S 可得出PN＝ PE，再结合（2）可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出x
△PEF
的值，将其代入点P的坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+ ，得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣ x2+ x+ ．
（2）当x＝0时，y＝ ，
∴点C的坐标为（0， ），
∴tan∠ABC＝ ＝ ，
∴∠ABC＝30°．
∵PN⊥x轴，∴∠PFE＝∠BFN＝60°，
又∵PE⊥BC，
∴sin∠PFE＝ ，
∴PE＝ PF．
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0），C（0， ）代入y＝mx+n，得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+ ．
设点P的坐标为（x，﹣ x2+ x+ ），则点F的坐标为（x，﹣ x+ ），
∴PE＝ [﹣ x2+ x+ ﹣（﹣ x+ ）]＝﹣ x2+ x．
又∵PE＝﹣ x2+ x＝﹣ （x﹣ ）2+ ，﹣ ＜0，
∴当x＝ 时，PE取得最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）．
（3）∵∠PEF＝∠PNM，∠P＝∠P，
∴△PEF∽△PNM，
∴ ＝（ ）2．
∵S ＝3S ，
△PMN △PEF∴ ＝ ，
∴PN＝ PE．
∴ （﹣ x2+ x）＝﹣ x2+ x+ ，
解得：x ＝2，x ＝3（舍去），
1 2
∴点P的坐标为（2， ）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求
一次函数解析式、二次函数的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及解一元二次方程，解题
的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用二次函数图象上点
的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，找出PE＝﹣ x2+ x；（3）利用相似三角形的性质结
合（2）的结论，找出关于x的一元二次方程．
