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2019年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019•陕西）计算：
A．1 B．0 C．3 D．
2．（3分）（2019•陕西）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•陕西）如图， 是 的角平分线， ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•陕西）若正比例函数 的图象经过点 ，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
5．（3分）（2019•陕西）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•陕西）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点
第1页（共27页）， ，垂足为 ．若 ，则 的长为
A． B． C． D．3
7．（3分）（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移6个单位长度，
则平移后的图象与 轴的交点坐标为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•陕西）如图，在矩形 中， ， ，若点 ， 分别在 ，
上，且 ， ， ， 分别是 的三等分点，则四边形 的面积为
A．1 B． C．2 D．4
9．（3分）（2019•陕西）如图， 是 的直径， ， 是 的弦，且 ， 与
交于点 ，连接 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与
关于 轴对称，则符合条件的 ， 的值为
第2页（共27页）A． ， B． ， C． ， D． ，
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）（2019•陕西）已知实数 ，0.16， ， ， ， ，其中为无理数的是 ．
12．（3分）（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为 ．
13．（3分）（2019•陕西）如图， 是矩形 的对称中心， ， ，若一个反比例
函数的图象经过点 ，交 于点 ，则点 的坐标为 ．
14．（3分）（2019•陕西）如图，在正方形 中， ， 与 交于点 ， 是 的
中点，点 在 边上，且 ． 为对角线 上一点，则 的最大值为 ．
三、解答题（共78分）
15．（5分）（2019•陕西）计算：
16．（5分）（2019•陕西）化简：
17．（5分）（2019•陕西）如图，在 中， ， 是 边上的高．请用尺规作图法，
求作 的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
第3页（共27页）18．（5分）（2019•陕西）如图，点 ， ， 在直线 上， ， ，且 ，
求证： ．
19．（7分）（2019•陕西）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不
忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月
份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量” 进行了随机抽样调查，并对
所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 ．
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本
的学生人数．
20．（7分）（2019•陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下
午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古
树的底部 ，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点 ，并在点 处安装了测
量器 ，测得古树的顶端 的仰角为 ；再在 的延长线上确定一点 ，使 米，
并在 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 方向移动，当移动带点 时，他
刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 的像，此时，测得 米，小明眼睛与地面的距
离 米，测倾器的高度 米．已知点 、 、 、 在同一水平直线上，且 、
第4页（共27页）、 均垂直于 ，求这棵古树的高度 ．（小平面镜的大小忽略不计）
21．（7分）（2019•陕西）根据记录，从地面向上 以内，每升高 ，气温降低 ；又知
在距离地面 以上高空，气温几乎不变．若地面气温为 ，设距地面的高度为
处的气温为
（1）写出距地面的高度在 以内的 与 之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据
得知，飞机外气温为 时，飞机距离地面的高度为 ，求当时这架飞机下方地面的气
温；小敏想，假如飞机当时在距离地面 的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如
当时飞机距离地面 时，飞机外的气温．
22．（7分）（2019•陕西）现有 、 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．
其中， 袋装有2个白球，1个红球； 袋装有2个红球，1个白球．
（1）将 袋摇匀，然后从 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的 ， 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这
两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的
方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
23．（8分）（2019•陕西）如图， 是 的一条弦， 是 的切线．作 并与
交于点 ，延长 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径 ， ，求 的长．
第5页（共27页）24．（10分）（2019•陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点
和点 ， 关于原点 堆成的抛物线为 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）点 在抛物线 上，且位于第一象限，过点 作 轴，垂足为 ．若 与
相似，求复合条件的点 的坐标．
25．（12分）（2019•陕西）问题提出：
（1）如图1，已知 ，试确定一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，
请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形 中， ， ，若要在该矩形中作出一个面积最大的 ，
且使 ，求满足条件的点 到点 的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔 ，按规定，要以塔 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为
平行四边形的草根景区 ．根据实际情况，要求顶点 是定点，点 到塔 的距离为50
米， ，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 ？
第6页（共27页）若可以，求出满足要求的平行四边形 的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔 的占
地面积忽略不计）
第7页（共27页）2019 年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算：
A．1 B．0 C．3 D．
【考点】零指数幂
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
2．（3分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角．
故选： ．
3．（3分）如图， 是 的角平分线， ，若 ，则 的度数为
第8页（共27页）A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到 ，再根据平行线的性
质，即可得出 的度数．
【解答】解： ，
，
，
平分 ，
，
又 ，且 与 为同位角，
，
故选： ．
4．（3分）若正比例函数 的图象经过点 ，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】由正比例函数图象过点 ，可知点 的坐标满足正比例函数的关系式，由此可得出关
于 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解： 正比例函数 的图象经过点 ，
，解得： ．
故选： ．
5．（3分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】整式的混合运算
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】解： ，故选项 错误，
，故选项 错误，
，故选项 错误，
，故选项 正确，
第9页（共27页）故选： ．
6．（3分）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， ，
垂足为 ．若 ，则 的长为
A． B． C． D．3
【考点】角平分线的性质
【分析】过点 作 于 如图所示，根据角平分线的性质得到 ，解直角
三角形即可得到结论．
【解答】解：过点 作 于 如图所示，
为 的平分线，且 于 ， 于 ，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
为等腰直角三角形，
，
，
故选： ．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图
象与 轴的交点坐标为
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令 ，解得即可．
第10页（共27页）【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数 的图象向上平移6个单位长度所得函
数的解析式为 ，
此时与 轴相交，则 ，
，即 ，
点坐标为 ，
故选： ．
8．（3分）如图，在矩形 中， ， ，若点 ， 分别在 ， 上，且
， ， ， 分别是 的三等分点，则四边形 的面积为
A．1 B． C．2 D．4
【考点】：矩形的性质；平行四边形的判定与性质
【分析】由题意可证 ， ， ， ，可得四边形 为平行四边
形，即可求解．
【解答】解： ， ， ，
、 分别是 的三等分点
，
，且
，
同理可得 ，
四边形 为平行四边形，且 和 间距离为1
，
故选： ．
第11页（共27页）9．（3分）如图， 是 的直径， ， 是 的弦，且 ， 与 交于点 ，
连接 ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系
【分析】连接 ，得到 ，求出 ， 即可．
【解答】解：连接 ．
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
10．（3 分）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与
关于 轴对称，则符合条件的 ， 的值为
第12页（共27页）A． ， B． ， C． ， D． ，
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据关于 轴对称， ， 不变， 变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．
【解答】解： 抛物线 与 关于 轴对称，
，解之得 ，
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）已知实数 ，0.16， ， ， ， ，其中为无理数的是 ， ， ．
【考点】立方根；算术平方根；无理数
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有
理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理
数．由此即可判定选择项．
【解答】解： ， 、0.16是有理数；
无理数有 、 、 ．
故答案为： 、 、 ．
12．（3分）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为 6 ．
【考点】正多边形和圆
【分析】根据正六边形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，
由正六边形性质可知， ， 为两个边长相等的等边三角形，
，
故答案为6．
第13页（共27页）13．（3分）如图， 是矩形 的对称中心， ， ，若一个反比例函数的图象经
过点 ，交 于点 ，则点 的坐标为 ， ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；中心对称
【分析】根据矩形的性质求得 ，由 是矩形 的对称中心，求得 ，设反比例
函数的解析式为 ，代入 点的坐标，即可求得 的值，然后根据反比例函数图象上点的
坐标特征即可求得 点的坐标．
【解答】解： ， ，
，
是矩形 的对称中心，
，
设反比例函数的解析式为 ，
，
反比例函数的解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
故 的坐标为 ， ．
故答案为 ， ．
14．（3分）如图，在正方形 中， ， 与 交于点 ， 是 的中点，点 在
第14页（共27页）边上，且 ． 为对角线 上一点，则 的最大值为 2 ．
【考点】轴对称 最短路线问题；正方形的性质
【 分 析 】 作 以 为 对 称 轴 作 的 对 称 点 ， 连 接 ， ， 依 据
，可得当 ， ， 三点共线时，取“ ”，再求得
，即可得出 ， ，再根据△ 为等腰直角三角
形，即可得到 ．
【解答】解：如图所示，作以 为对称轴作 的对称点 ，连接 ， ，
根据轴对称性质可知， ，
，
当 ， ， 三点共线时，取“ ”，
正方形边长为8，
，
为 中点，
，
为 中点，
，
，
，
，
，
第15页（共27页）， ，
，
△ 为等腰直角三角形，
，
即 的最大值为2，
故答案为：2．
三、解答题（共78分）
15．（5分）计算：
【考点】实数的运算；负整数指数幂
【分析】直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
16．（5分）化简：
【考点】分式的混合运算
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
【解答】解：原式
．
17．（5分）如图，在 中， ， 是 边上的高．请用尺规作图法，求作
的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
第16页（共27页）【考点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；作图 复杂作图
【分析】作线段 的垂直平分线，交 于点 ，以 为圆心， 为半径作 ， 即为
所求．
【解答】解：如图所示： 即为所求．
18．（5分）如图，点 ， ， 在直线 上， ， ，且 ，求证：
．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】根据平行线的性质得到 ，证明 ，根据全等三角形的性
质证明结论．
【解答】证明： ，
，即 ，
，
，
在 和 中，
第17页（共27页），
．
19．（7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀
革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主
题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量” 进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取
学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 3 ．
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本
的学生人数．
【考点】众数；用样本估计总体；加权平均数；条形统计图；扇形统计图
【分析】（1）根据统计图可知众数为3；
（2）平均数 ；
（3）四月份“读书量”为5本的学生人数 （人 ．
【解答】解：（1）根据统计图可知众数为3，
第18页（共27页）故答案为3；
（2）平均数 ；
（3）四月份“读书量”为5本的学生人数 （人 ，
答：四月份“读书量”为5本的学生人数为120人．
20．（7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习
小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部 ，
如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点 ，并在点 处安装了测量器 ，测
得古树的顶端 的仰角为 ；再在 的延长线上确定一点 ，使 米，并在 处的
地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 方向移动，当移动带点 时，他刚好在小平
面镜内看到这棵古树的顶端 的像，此时，测得 米，小明眼睛与地面的距离
米，测倾器的高度 米．已知点 、 、 、 在同一水平直线上，且 、 、 均
垂直于 ，求这棵古树的高度 ．（小平面镜的大小忽略不计）
【考点】解直角三角形的应用 仰角俯角问题；相似三角形的应用
【分析】过点 作 于点 ，则 ， ．解 ，得出
，那么 ．再证明 ，根据相似三角形对
应边成比例求出 ，进而求出 即可．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，
第19页（共27页）则 ， ．
在 中， ，
，
．
， ，
．
由题意，易知 ，
，
即 ，
解之，得 ，
．
这棵古树的高 为 ．
21．（7分）根据记录，从地面向上 以内，每升高 ，气温降低 ；又知在距离地面
以上高空，气温几乎不变．若地面气温为 ，设距地面的高度为 处的气温为
（1）写出距地面的高度在 以内的 与 之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据
得知，飞机外气温为 时，飞机距离地面的高度为 ，求当时这架飞机下方地面的气
温；小敏想，假如飞机当时在距离地面 的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如
当时飞机距离地面 时，飞机外的气温．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据气温等于该处的温度减去下降的温度列式即可；
（2）根据（1）的结论解答即可．
第20页（共27页）【解答】解：（1）根据题意得： ；
（2）将 ， 代入 ，得 ，
当时地面气温为
，
假如当时飞机距地面 时，飞机外的气温为 ．
22．（7分）现有 、 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中， 袋
装有2个白球，1个红球； 袋装有2个红球，1个白球．
（1）将 袋摇匀，然后从 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的 ， 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这
两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的
方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【考点】列表法与树状图法；游戏公平性
【分析】（1） （摸出白球） ；
（2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5
种 （颜色不相同） ， （颜色相同） ， 这个游戏规则对双方不公平
【解答】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种
（摸出白球） ；
（2）根据题意，列表如下：
红1 红2 白
白1 （白1，红 （白1，红 （白1，白）
白2 （白2，红 （白2，红 （白2，白）
红 （红，红 （红，红 （白1，白）
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种
（颜色不相同） ， （颜色相同）
第21页（共27页）这个游戏规则对双方不公平
23．（8分）如图， 是 的一条弦， 是 的切线．作 并与 交于点 ，延
长 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径 ， ，求 的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据切线的性质得出 ，等腰三角形的性质 ，根据等
角的余角相等得出 ，即可证得 ；
（2）证得 ，求得 ， ，由 ，求得 ，即
可证得 ．
【解答】（1）证明： 是 的切线，
，
， ．
又 ，
，
，
（2）解：连接
是 的直径，
在 中， ， ，
，
第22页（共27页），
，
由（1）知， ，
， ，
即 ，
又 ，
．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 和点
， 关于原点 堆成的抛物线为 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）点 在抛物线 上，且位于第一象限，过点 作 轴，垂足为 ．若 与
相似，求复合条件的点 的坐标．
第23页（共27页）【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点 、 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分 、 两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）将点 、 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，
（2） 点 、 在 上的对应点分别为 、 ，
设抛物线 的表达式 ，
将 代入 ，得 ，
抛物线 的表达式为 ，
， ，
， ，
设： ， ，
轴，
点 的坐标为 ，
， ，
与 相似，
第24页（共27页）① 时，
，即 ，
解得： 或4；
②当 时，
同理可得： 或6；
、 、 、 均在第一象限，
符合条件的点 的坐标为 或 或 或 ．
25．（12分）问题提出：
（1）如图1，已知 ，试确定一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，
请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形 中， ， ，若要在该矩形中作出一个面积最大的 ，
且使 ，求满足条件的点 到点 的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔 ，按规定，要以塔 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为
平行四边形的草根景区 ．根据实际情况，要求顶点 是定点，点 到塔 的距离为50
米， ，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 ？
若可以，求出满足要求的平行四边形 的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔 的占
地面积忽略不计）
【考点】四边形综合题
【分析】（1）利用平行四边形的判定方法画出图形即可．
（2）以点 为圆心， 长为半径作 ， 一定于 相交于 ， 两点，点 ， 即为所
求．
（3）可以，如图所示，连接 ，作 的外接圆 ，则点 在优弧 上，取 的中点
第25页（共27页），连接 ， ，四边形 即为所求．
【解答】解：（1）如图记为点 所在的位置．
（2）如图，
， ， 取 的中点 ，则 ．
以点 为圆心， 长为半径作 ， 一定于 相交于 ， 两点，
连接 ， ， ， ，点 不能再矩形外；
的顶点 或 位置时， 的面积最大，
作 ，垂足为 ，则 ，
，
由对称性得 ．
（3）可以，如图所示，连接 ，
第26页（共27页）为 的对称中心， ， ，
，
作 的外接圆 ，则点 在优弧 上，取 的中点 ，连接 ， ，
则 ，且 ， △ 为正三角形．
连接 并延长，经过点 至 ，使 ，连接 ， ，
，
四边形 为菱形，且 ，
作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
，
所以符合要求的 的最大面积为 ．
第27页（共27页）
