文档内容
2023年陕西省中考数学试卷（A卷）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：
A．2 B． C．8 D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）如图， ， ．若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
4．（3分）计算：
A． B． C． D．
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数 和 为常数， 的图象可
能是
第1页（共31页）A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图， 是 的中位线，点 在 上， ．连接 并延长，
与 的延长线相交于点 ．若 ，则线段 的长为
第2页（共31页）A． B．7 C． D．8
7．（3分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面
看到的一个“老碗”（图① 的形状示意图． 是 的一部分， 是 的中点，连接
，与弦 交于点 ，连接 ， ．已知 ，碗深 ，则 的半
径 为
A． B． C． D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数 为常数）的图象经过点
，其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）如图，在数轴上，点 表示 ，点 与点 位于原点的两侧，且与原点的距
离相等．则点 表示的数是 ．
第3页（共31页）10．（3分）如图，正八边形的边长为2，对角线 、 相交于点 ．则线段 的长
为 ．
11．（3分）点 是菱形 的对称中心， ，连接 ，则 的度数为
．
12．（3分）如图，在矩形 和正方形 中，点 在 轴正半轴上，点 ， 均
在 轴正半轴上，点 在边 上， ， ．若点 ， 在同一个反比例函
数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
13．（3分）如图，在矩形 中， ， ．点 在边 上，且 ，
、 分别是边 、 上的动点，且 ， 是线段 上的动点，连接 ，
．若 ．则线段 的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式： ．
15．（5分）计算： ．
第4页（共31页）16．（5分）化简： ．
17．（5分）如图．已知角 ， ，请用尺规作图法，在 内部求作一点
．使 ．且 ．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在 中， ， ．过点 作 ，垂足为 ，
延长 至点 ．使 ．在边 上截取 ，连接 ．求证： ．
19．（5分）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是
1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机
摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个
小球上标有的数字之积是偶数的概率．
20．（5分）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．
已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多 3元，求该文具店中这种大笔记
本的单价．
21．（6分）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不
可到达）的高 ．如图所示，当小明爸爸站在点 处时，他在该景观灯照射下的影子长
为 ，测得 ；当小明站在爸爸影子的顶端 处时，测得点 的仰角 为
已知爸爸的身高 ，小明眼睛到地面的距离 ，点 、 、 在同一条
直线上， ， ， ．求该景观灯的高 ．（参考数据：
， ，
第5页（共31页）22．（7分）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上 处的直
径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高 是其胸径
的一次函数．已知这种树的胸径为 时，树高为 ；这种铜的胸径为 时，
树高为 ．
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为 时，其树高是多少？
23．（7分）某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了20棵西红柿植株，
并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，
48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通过对以上数据的分析整理，绘制
了统计图表：
分组 频数 组内小西红柿的总个数
1 28
154
9 452
6 366
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是 ；
（2）求这20个数据的平均数；
（3）“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300樱西红枝植株上小西缸柿
的总个数．
第6页（共31页）24．（8分）如图， 内接于 ， ，过点 作 的垂线，交 于点
，并与 的延长线交于点 ，作 ，垂足为 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径 ， ，求线段 的长．
25．（8分）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的
跨度与拱高之积为 ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出
了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 ．其中，点 在 轴上，
， ．
方案二，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 ．其中，点 在 轴上，
， ．
要在拱门中设置高为 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，
矩形框架 的面积记为 ，点 、 在抛物线上，边 在 上；方案二中，矩形
框架 的面积记为 ，点 ， 在抛物线上，边 在 上．现知，小华已正
第7页（共31页）确求出方案二中，当 时， ，请你根据以上提供的相关信息，解答下
列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当 时，求矩形框架 的面积 并比较 ， 的大小．
26．（10分）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若 O的
半径为4，点P在 O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值； ⊙
（2）如图②所示⊙，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点 B处，
点 E 处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝
10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域
内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道 O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，
与 O交于点N．连接BN，点P在 O上，⊙连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要
修的⊙三条道路，要在所修迅路BN、⊙EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求
此时环道 O的圆心O到AB的距离OM的长．
⊙
第8页（共31页）第9页（共31页）2023年陕西省中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：
A．2 B． C．8 D．
【分析】先根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解： ．
故选： ．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解： 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选： ．
3．（3分）如图， ， ．若 ，则 的度数为
第10页（共31页）A． B． C． D．
【分析】由对顶角相等可得 ，再由平行线的性质可求得 ，
，结合已知条件可求得 ，即可求解．
【解答】解：如图，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
故选： ．
4．（3分）计算：
A． B． C． D．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【解答】解：
．
故选： ．
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数 和 为常数， 的图象可
能是
第11页（共31页）A．
B．
C．
D．
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数 和 的图象经过
哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解： ，
函数 是经过原点的直线，经过第二、四象限，
函数 是经过第一、三、四象限的直线，
故选： ．
6．（3分）如图， 是 的中位线，点 在 上， ．连接 并延长，
第12页（共31页）与 的延长线相交于点 ．若 ，则线段 的长为
A． B．7 C． D．8
【分析】根据三角形中中位线定理证得 ，求出 ，进而证得 ，根
据相似三角形的性质求出 ，即可求出结论．
【解答】解： 是 的中位线，
， ，
，
，
，
．
故选： ．
7．（3分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面
看到的一个“老碗”（图① 的形状示意图． 是 的一部分， 是 的中点，连接
，与弦 交于点 ，连接 ， ．已知 ，碗深 ，则 的半
第13页（共31页）径 为
A． B． C． D．
【分析】首先利用垂径定理的推论得出 ， ，再设 的
半 径 为 ， 则 ． 在 中 根 据 勾 股 定 理 列 出 方 程
，求出 即可．
【解答】解： 是 的一部分， 是 的中点， ，
， ．
设 的半径 为 ，则 ．
在 中， ，
，
，
，
即 的半径 为 ．
故选： ．
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数 为常数）的图象经过点
，其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
第14页（共31页）【分析】将 代入二次函数解析式，进而得出 的值，再利用对称轴在 轴左侧，得出
，再利用公式法求出二次函数最值．
【解答】解：由题意可得： ，
解得： ， ，
二次函数 ，对称轴在 轴左侧，
，
，
，
二次函数有最小值为： ．
故选： ．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）如图，在数轴上，点 表示 ，点 与点 位于原点的两侧，且与原点的距
离相等．则点 表示的数是 ．
【分析】根据原点左边的数是负数，由绝对值的定义可得答案．
【解答】解：由题意得：点 表示的数是 ．
故答案为： ．
10．（3分）如图，正八边形的边长为2，对角线 、 相交于点 ．则线段 的长
为 ．
第15页（共31页）【分析】根据正八边形的性质得出四边形 是矩形， 、 是等腰直角三角
形， ，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出 ，
， 即可．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，由题意可知，四边形 是矩形， 、
是等腰直角三角形， ，
在 中， ， ，
，
同理 ，
，
故答案为： ．
11．（3分）点 是菱形 的对称中心， ，连接 ，则 的度数为
．
【分析】连接 ，根据中心对称图形的定义得出点 是菱形 的两对角线的交点，
根据菱形的性质得出 ， ，那么 ．
【解答】解：如图，连接 ，
点 是菱形 的对称中心， ，
第16页（共31页）点 是菱形 的两对角线的交点，
， ，
．
故答案为： ．
12．（3分）如图，在矩形 和正方形 中，点 在 轴正半轴上，点 ， 均
在 轴正半轴上，点 在边 上， ， ．若点 ， 在同一个反比例函
数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
【分析】根据矩形的性质得到 ，根据正方形的性质得到 ，设
， ，得到 ， ，设反比例函数的表达式为 ，列方
程即可得到结论．
【解答】解： 四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
，
设 ， ，
， ，
第17页（共31页）设反比例函数的表达式为 ，
，
解得 或 （不合题意舍去），
，
，
这个反比例函数的表达式是 ，
故答案为： ．
13．（3分）如图，在矩形 中， ， ．点 在边 上，且 ，
、 分别是边 、 上的动点，且 ， 是线段 上的动点，连接 ，
．若 ．则线段 的长为 ．
【分析】由题意知 是等腰直角三角形，作点 关于 的对称点 ，则 在直线
上，连接 ， ， ．即 ， ， ，
所以此时 、 、 三点共线且 ，点 在 的中点处， ，
．
【解答】解： ，
第18页（共31页）是等腰直角三角形，
作点 关于 的对称点 ，则 在直线 上，连接 ，如图：
．
，即 ，
此时 、 、 三点共线且 ，点 在 的中点处，
，
．
故答案为： ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式： ．
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解： ，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
不等式的两边都除以 ，得 ．
15．（5分）计算： ．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别
化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
第19页（共31页）16．（5分）化简： ．
【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：
．
17．（5分）如图．已知角 ， ，请用尺规作图法，在 内部求作一点
．使 ．且 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】先作 的平分线 ，再作 的垂直平分线 ，直线 交 于 点，则
点满足条件．
【解答】解：如图，点 即为所求．
18．（5分）如图，在 中， ， ．过点 作 ，垂足为 ，
延长 至点 ．使 ．在边 上截取 ，连接 ．求证： ．
第20页（共31页）【分析】利用三角形内角和定理得 的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结
论．
【解答】证明：在 中， ， ，
．
．
．
，
．
在 和 中，
，
．
．
19．（5分）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是
1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机
摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个
小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这
个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积
是偶数的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ，
故答案为： ；
（2）树状图如下：
第21页（共31页）由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率 ．
20．（5分）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．
已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多 3元，求该文具店中这种大笔记
本的单价．
【分析】设该文具店中这种大笔记本的单价是 元，根据买了一种大笔记本4个和一种小
笔记本6个，共用了62元，得 ，即可解得答案．
【解答】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是 元，则小笔记本的单价是 元，
买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，
，
解得： ；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
21．（6分）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不
可到达）的高 ．如图所示，当小明爸爸站在点 处时，他在该景观灯照射下的影子长
为 ，测得 ；当小明站在爸爸影子的顶端 处时，测得点 的仰角 为
已知爸爸的身高 ，小明眼睛到地面的距离 ，点 、 、 在同一条
直线上， ， ， ．求该景观灯的高 ．（参考数据：
， ，
第22页（共31页）【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： ， ，
然后设 ，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求
出 的长，再根据垂直定义可得 ，从而证明 字模型相似三角形
，最后利用相似三角形的性质可得 ，从而列出关于 的方程，进行
计算即可解答．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ， ，
设 ，
在 中， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
第23页（共31页），
解得： ，
，
该景观灯的高 约为 ．
22．（7分）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上 处的直
径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高 是其胸径
的一次函数．已知这种树的胸径为 时，树高为 ；这种铜的胸径为 时，
树高为 ．
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为 时，其树高是多少？
【分析】（1）设 ，利用待定系数法解答即可；
（2）把 代入（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）设 ，
根据题意，得 ，
解之，得 ，
；
（2）当 时， ．
当这种树的胸径为 时，其树高为 ．
23．（7分）某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了20棵西红柿植株，
并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，
48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通过对以上数据的分析整理，绘制
了统计图表：
第24页（共31页）分组 频数 组内小西红柿的总个数
1 28
154
9 452
6 366
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是 5 4 ；
（2）求这20个数据的平均数；
（3）“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300樱西红枝植株上小西缸柿
的总个数．
【分析】（1）用总数减去其它三组的频数可得 的值，进而补全频数分布直方图，然后根
据众数的定义解答即可；
（2）根据算术平均数的计算公式解答即可；
（3）用300乘（2）的结论可得答案．
【解答】解：（1）由题意得， ，
补全频数分布直方图如下
第25页（共31页）这20个数据中，54出现的次数最多，故众数为54．
故答案为：54；
（2） ．
这20个数据的平均数是50；
（3）所求总个数： ．
估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个．
24．（8分）如图， 内接于 ， ，过点 作 的垂线，交 于点
，并与 的延长线交于点 ，作 ，垂足为 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径 ， ，求线段 的长．
【分析】（1）如图，连接 ，根据圆周角定理得到 ，求得
，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，根据圆周角定理得到 为 的直径，求得 ．根据勾股定理得到
，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接 ，
则 ，
，
，
．
；
（2）解：如图， ，
为 的直径，
．
第26页（共31页），
，
，
， ，
．
，
， ，
连接 ，则 ， ，
，
．
25．（8分）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的
跨度与拱高之积为 ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出
了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 ．其中，点 在 轴上，
， ．
方案二，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 ．其中，点 在 轴上，
， ．
要在拱门中设置高为 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，
第27页（共31页）矩形框架 的面积记为 ，点 、 在抛物线上，边 在 上；方案二中，矩形
框架 的面积记为 ，点 ， 在抛物线上，边 在 上．现知，小华已正
确求出方案二中，当 时， ，请你根据以上提供的相关信息，解答下
列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当 时，求矩形框架 的面积 并比较 ， 的大小．
【分析】（1）由题意知抛物线的顶点 ，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物
线的函数表达式为 ；
（2）令 可得 或 ，故 ， ；再比较 ， 的
大小即可．
【解答】解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点 ，
设抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
第28页（共31页）；
方案一中抛物线的函数表达式为 ；
（2）在 中，令 得： ；
解得 或 ，
，
；
，
．
26．（10分）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若 O的
半径为4，点P在 O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值； ⊙
（2）如图②所示⊙，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点 B处，
点 E 处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝
10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域
内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道 O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，
与 O交于点N．连接BN，点P在 O上，⊙连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要
修的⊙三条道路，要在所修迅路BN、⊙EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求
此时环道 O的圆心O到AB的距离OM的长．
⊙
第29页（共31页）【分析】（1）连接 OP，OM，过点 O 作 OM'⊥AB，垂足为 M'，则 PM≥OM﹣
4≥OM'﹣4，由直角三角形的性质得出OM'＝AM'•tan30°＝4 ，则可得出答案；
（2）分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m），连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．
证出四边形BB'ON是平行四边形．由平行四边形的性质得出BN＝B′O．当点O在B'E
上时，BN+PE 取得最小值．作 O'，使圆心 O'在 B'E 上，半径 r＝30（m），作
O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交⊙于点H．证明△B'O'H∽△B'EA'，由相似三角形的性
质得出 ，求出O'H的长可得出答案．
【解答】解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，
则 OP+PM≥OM．
∵ O半径为4，
∴⊙PM≥OM﹣4≥OM'﹣4，
∵OA＝OB．∠AOB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴OM'＝AM'•tan30°＝12tan30°＝4 ，
∴PM≥OM'﹣4＝4 ﹣4，
∴线段PM的最小值为4 ﹣4；
（2）如图②，分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m），
第30页（共31页）连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．
∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON＝BB'，
∴四边形BB'ON是平行四边形．
∴BN＝B′O．
∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，
∴BN+PE≥B'E﹣r，
∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．
作 O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30（m），
作⊙O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．
∴O'H∥A'E，
∴△B'O'H∽△B'EA'，
∴ ，
∵ O'在矩形AFDE区域内（含边界），
∴⊙当 O'与FD相切时，B′H最短，即B′H＝10000﹣6000+30＝4030（m）．
此时⊙，O′H也最短．
∵M'N'＝O'H，
∴M'N'也最短．
∴O'H＝ ＝4017.91（m），
∴O'M'＝O'H+30＝4047.91（m），
∴此时环道 O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m．
⊙
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