文档内容
2022年江西省中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列各数中，负数是
A． B．0 C．2 D．
2．实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是
A． B． C． D．
4．将字母“ ”，“ ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“
”的个数是
A．9 B．10 C．11 D．12
5．如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为
A． B． C． D．
6．甲、乙两种物质的溶解度 与温度 之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误
的是
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至 时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为 时，甲、乙的溶解度都小于
D．当温度为 时，甲、乙的溶解度相等
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解： ．
8．正五边形的外角和为 度．
9．关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是 ．
10．甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用
时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样
第1页（共22页）人，则可列分式方程为 ．
11．沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图
所示），则长方形的对角线长为 ．
12．已知点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，若 为等腰三
角形，且腰长为5，则 的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
14．（6分）以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：
解：原式 ①
②
③
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，
其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 事件；
．不可能
．必然
．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都
是共产党员的概率．
16．（6分）如图是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图
痕迹）．
（1）在图1中作 的角平分线；
（ 2 ） 在 图 2 中 过 点 作 一 条 直 线 ， 使 点 ， 到 直 线 的 距 离 相 等 ．
第2页（共22页）17．（6分）如图，四边形 为菱形，点 在 的延长线上， ．
（1）求证： ；
（2）当 ， 时，求 的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上， ，将
线段 向右下方平移，得到线段 ，此时点 落在反比例函数的图象上，点 落在 轴正
半轴上，且 ．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 （用含 的式子表示）；
（2）求 的值和直线 的表达式．
19．（8分）课本再现
（1）在 中， 是 所对的圆心角， 是 所对的圆周角，我们在数学课上探索
两者之间的关系时，要根据圆心 与 的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在
图 2 和图 3 中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明
；
知识应用
（2）如图4，若 的半径为2， ， 分别与 相切于点 ， ， ，求 的长．
第3页（共22页）20．（8分）图 1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图 2所示的示意图，已知
， ， ， ， 四点在同一直线上，测得 ， ，
．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点 到 的距离）．
（参考数据： ， ，
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双
减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科
补习班”简称“报班” ，根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分
别得到统计表1和统计图
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数 0 1 2 3 4及以上 合计
人数
类别
“双减” 102 48 75 51 24
前
“双减” 255 15 24 0
后
第4页（共22页）（1）根据表1， 的值为 ， 的值为 ；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 ．请依据
以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众
数为 ；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线
是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆
坡上的基准点 为飞行距离计分的参照点，落地点超过 点越远，飞行距离分越高．2022年
北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度 为 ，基准点 到起跳台的水平距离为
，高度为 为定值）．设运动员从起跳点 起跳后的高度 与水平距离 之间
的函数关系为 ．
（1） 的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达 点，且此时 ， ，求基准点 的高度 ；
②若 时，运动员落地点要超过 点，则 的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否超
过 点，并说明理由．
第5页（共22页）六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板
的一个顶点放在正方形中心 处，并绕点 逆时针旋转，探究直角
三角板 与正方形 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为 ．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点 放在点 处，在旋转过程中，当 与 重合时，重叠部分
的面积为 ；当 与 垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为 ，
在旋转过程中，重叠部分的面积 与 的关系为 ；
类比探究
（2）若将三角板的顶点 放在点 处，在旋转过程中， ， 分别与正方形的边相交于点
， ．
①如图2，当 时，试判断重叠部分 的形状，并说明理由；
②如图3，当 时，求重叠部分四边形 的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心 处，该锐角记为 （设 ，将
绕点 逆时针旋转，在旋转过程中， 的两边与正方形 的边所围成的图
形的面积为 ，请直接写出 的最小值与最大值（分别用含 的式子表示）．
（参考数据： ， ，
第6页（共22页）2022年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列各数中，负数是
A． B．0 C．2 D．
【分析】根据负数的定义即可得出答案．
【解答】解： 是负数，2， 是正数，0既不是正数也不是负数，
故选： ．
2．实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案．
【解答】解：根据数轴得： ， ，故 选项符合题意， ， ， 选项不符合题意；
故选： ．
3．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法判断 选项；根据去括号法则判断 选项；根据单项式乘多项式
判断 选项；根据完全平方公式判断 选项．
【解答】解： 选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
4．将字母“ ”，“ ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“
”的个数是
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】列举每个图形中 的个数，找到规律即可得出答案．
【解答】解：第1个图中 的个数为4，
第2个图中 的个数为 ，
第3个图中 的个数为 ，
第4个图中 的个数为 ，
故选： ．
5．如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为
第7页（共22页）A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：如图，它的俯视图为：
故选： ．
6．甲、乙两种物质的溶解度 与温度 之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误
的是
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至 时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为 时，甲、乙的溶解度都小于
D．当温度为 时，甲、乙的溶解度相等
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【解答】解：由图象可知， 、 、 都正确，
当温度为 时，甲、乙的溶解度都为 ，故 错误，
故选： ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解： ．
【分析】直接把公因式 提出来即可．
【解答】解： ．
故答案为： ．
8．正五边形的外角和为 36 0 度．
【分析】根据多边形外角和等于 即可解决问题．
【解答】解：正五边形的外角和为360度，
故答案为：360．
9．关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是 1 ．
【分析】根据根的判别式△ ，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出 值．
第8页（共22页）【解答】解： 关于 的方程 有两个相等的实数根，
△ ，
解得： ．
故答案为：1．
10．甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用
时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样
人，则可列分式方程为 ．
【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．
【解答】解：设甲每小时采样 人，则乙每小时采样 人，根据题意得：
．
故答案为： ．
11．沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图
所示），则长方形的对角线长为 ．
【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半
为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，
长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
则长方形的对角线长 ．
故答案为： ．
12．已知点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，若 为等腰三
角形，且腰长为5，则 的长为 5 或 或 ．
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【解答】解：当 时， ；
当 时， ；
当 时，设 ， ， ，
，
，
解得： ， ，
或 ，
或 ；
第9页（共22页）综上所述， 的长为5或 或 ．
故答案为：5或 或 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式 ，
．
（2）
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为： ．
14．（6分）以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：
解：原式 ①
②
③
（1）上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）原式 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，
其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 事件；
．不可能
．必然
．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都
第10页（共22页）是共产党员的概率．
【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；
（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用 表示，其余3人均是共产党
员用 表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状
图即可解决问题．
【解答】解：（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为： ；
（2）设甲是共青团员用 表示，其余3人均是共产党员用 表示．从这4名护士中随机抽取2
人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件 的
结果有6种，
则 （A） ，
16．（6分）如图是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图
痕迹）．
（1）在图1中作 的角平分线；
（ 2 ） 在 图 2 中 过 点 作 一 条 直 线 ， 使 点 ， 到 直 线 的 距 离 相 等 ．
【分析】（1）连接 ，取 的中点 ，作射线 即可；
（2）利用数形结合的射线画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，射线 即为所求；
（2）如图2中，直线 或直线 即为所求．
17．（6分）如图，四边形 为菱形，点 在 的延长线上， ．
（1）求证： ；
（2）当 ， 时，求 的长．
第11页（共22页）【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；
（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．
【解答】（1）证明： 四边形 为菱形，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
， ，
，
．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上， ，将
线段 向右下方平移，得到线段 ，此时点 落在反比例函数的图象上，点 落在 轴正
半轴上，且 ．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 （用含 的式子表
示）；
（2）求 的值和直线 的表达式．
【分析】（1）根据 可得点 的坐标，根据 可得点 的坐标为 ，由平移规律
可得点 的坐标；
（2）根据点 和 的坐标列方程可得 的值，从而得 的值，再利用待定系数法可得直线
的解析式．
【解答】解：（1）由题意得： ， ，
由平移可知：线段 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
点 ，
，
第12页（共22页）故答案为： ， ， ；
（2） 点 和点 在反比例函数 的图象上，
，
，
， ，
，
设直线 的表达式为： ，
，
解得： ，
直线 的表达式为： ．
19．（8分）课本再现
（1）在 中， 是 所对的圆心角， 是 所对的圆周角，我们在数学课上探索
两者之间的关系时，要根据圆心 与 的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在
图 2 和图 3 中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明
；
知识应用
（2）如图4，若 的半径为2， ， 分别与 相切于点 ， ， ，求 的长．
【分析】（1）①如图2，当点 在 的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角
形的性质可得结论；②如图3，当 在 的外部时，作直径 ，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得 ，由切线的性质可得 ，
可得 ，从而得 的长．
【解答】解：（1）①如图2，连接 ，并延长 交 于点 ，
，
， ，
， ，
第13页（共22页），
；
如图3，连接 ，并延长 交 于点 ，
，
， ，
， ，
，
；
（2）如图4，连接 ， ， ，
，
，
， 分别与 相切于点 ， ，
， ，
，
，
．
20．（8分）图 1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图 2所示的示意图，已知
， ， ， ， 四点在同一直线上，测得 ， ，
．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点 到 的距离）．
（参考数据： ， ，
第14页（共22页）【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；
（2）过点 作 于 ，计算 的长，利用 的正弦可得结论．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形；
（2）解：如图，过点 作 于 ，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
中， ，
，
．
答：雕塑的高为 ．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双
减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科
补习班”简称“报班” ，根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分
别得到统计表1和统计图
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数 0 1 2 3 4及以上 合计
人数
类别
“双减” 102 48 75 51 24
前
第15页（共22页）“双减” 255 15 24 0
后
（1）根据表1， 的值为 30 0 ， 的值为 ；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 ．请依据
以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众
数为 ；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
【分析】（1）将表1中“双减前”各个数据求和确定 的值，然后再计算求得 值，从而求解；
（2）通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比；
（3）①根据中位数和众数的概念分析求解；
②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明．
【解答】解：（1） ，
，
，
故答案为：300；0.02；
（2）汇总表1和图1可得：
0 1 2 3 4及以上 总数
“双减”前 172 82 118 82 46 500
“双减”后 423 24 40 12 1 500
，
答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为 ；
（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，
“双减”前学生报班个数的中位数为1，
“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，
“双减”后学生报班个数的众数为0，
故答案为：1；0；
②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培
训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．
第16页（共22页）22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线
是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆
坡上的基准点 为飞行距离计分的参照点，落地点超过 点越远，飞行距离分越高．2022年
北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度 为 ，基准点 到起跳台的水平距离为
，高度为 为定值）．设运动员从起跳点 起跳后的高度 与水平距离 之间
的函数关系为 ．
（1） 的值为 6 6 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达 点，且此时 ， ，求基准点 的高度 ；
②若 时，运动员落地点要超过 点，则 的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否超
过 点，并说明理由．
【分析】（1）根据起跳台的高度 为 ，即可得 ；
（2）①由 ， ，知 ，根据基准点 到起跳台的水平距离为
，即得基准点 的高度 为 ；
②运动员落地点要超过 点，即是 时， ，故 ，即可解得
答案；
（3）运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，即是抛物线的顶点为 ，
设抛物线解析式为 ，可得抛物线解析式为 ，当
时， ，从而可知他的落地点能超过 点．
【解答】解：（1） 起跳台的高度 为 ，
，
把 代入 得：
，
故答案为：66；
（2）① ， ，
，
基准点 到起跳台的水平距离为 ，
，
基准点 的高度 为 ；
② ，
第17页（共22页），
运动员落地点要超过 点，
时， ，
即 ，
解得 ，
故答案为： ；
（3）他的落地点能超过 点，理由如下：
运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，
抛物线的顶点为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得：
，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
当 时， ，
，
他的落地点能超过 点．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板
的一个顶点放在正方形中心 处，并绕点 逆时针旋转，探究直角
三角板 与正方形 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为 ．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点 放在点 处，在旋转过程中，当 与 重合时，重叠部分
的面积为 1 ；当 与 垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为 ，
在旋转过程中，重叠部分的面积 与 的关系为 ；
类比探究
（2）若将三角板的顶点 放在点 处，在旋转过程中， ， 分别与正方形的边相交于点
， ．
①如图2，当 时，试判断重叠部分 的形状，并说明理由；
②如图3，当 时，求重叠部分四边形 的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心 处，该锐角记为 （设 ，将
绕点 逆时针旋转，在旋转过程中， 的两边与正方形 的边所围成的图
形的面积为 ，请直接写出 的最小值与最大值（分别用含 的式子表示）．
（参考数据： ， ，
第18页（共22页）【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点 放在点 处，在旋转过程中，当 与 重合时，
与 重合，此时重叠部分的面积 的面积 正方形 的面积 ；当 与
垂直时， ，重叠部分的面积 正方形 的面积 ；一般地，若正方形面积
为 ，在旋转过程中，重叠部分的面积 与 的关系为 ．利用全等三角形的性质证明
即可；
（2）①结论： 是等边三角形．证明 ，可得结论；
②如图 3 中，连接 ，过点 作 于点 ．证明 ，推出
，解直角三角形求出 ，即可解决问题；
（3）如图 中，过点 作 于点 ，当 时， 的面积最小，即 最
小．如图 中，当 时， 最大．分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点 放在点 处，在旋转过程中，当 与 重合时，
与 重合，此时重叠部分的面积 的面积 正方形 的面积 ；
当 与 垂直时， ，重叠部分的面积 正方形 的面积 ；
一般地，若正方形面积为 ，在旋转过程中，重叠部分的面积 与 的关系为 ．
理由：如图1中，设 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，
于点 ．
是正方形 的中心，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
第19页（共22页），
，
，
，
，
，
．
故答案为：1，1， ．
（2）①如图2中，结论： 是等边三角形．
理由：过点 作 ，
是正方形 的中心，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
②如图3中，连接 ，过点 作 于点 ．
， ， ，
，
，
，
，
第20页（共22页），
，
，
，
．
（3）如图 中，过点 作 于点 ，当 时， 的面积最小，即 最
小．
在 中， ，
，
．
如图 中，当 时， 最大．
同法可证 ，
，
，
，
，
，
第21页（共22页）．
第22页（共22页）
