文档内容
2019年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）
1．（3分）（2019•无锡）5的相反数是
A． B．5 C． D．
2．（3分）（2019•无锡）函数 中的自变量 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•无锡）分解因式 的结果是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•无锡）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
5．（3分）（2019•无锡）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是
A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥
6．（3分）（2019•无锡）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．内角和为 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
8．（3分）（2019•无锡）如图， 是 的切线，切点为 ， 的延长线交 于点 ，若
，则 的度数为
第1页（共30页）A． B． C． D．
9．（3分）（2019•无锡）如图，已知 为反比例函数 的图象上一点，过点 作
轴，垂足为 ．若 的面积为2，则 的值为
A．2 B． C．．4 D．
10．（3分）（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名
工人每人每天加工 个零件 为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每
人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知 的值至少为
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答
案直接填写在相应的横线上）
11．（2分）（2019•无锡） 的平方根是 ．
12．（2分）（2019•无锡）2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计
接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为 人次．
13．（2分）（2019•无锡）计算： ．
14．（2分）（2019•无锡）某个函数具有性质：当 时， 随 的增大而增大，这个函数的表
达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）．
15．（2分）（2019•无锡）已知圆锥的母线长是 ，侧面积是 ，则这个圆锥底面圆的
半径是 ．
第2页（共30页）16．（2分）（2019•无锡）已知一次函数 的图象如图所示，则关于 的不等式
的解集为 ．
17．（2分）（2019•无锡）如图，在 中， ， 在 内自由移
动，若 的半径为1，且圆心 在 内所能到达的区域的面积为 ，则 的周长
为 ．
18．（2分）（2019•无锡）如图，在 中， ， ， 为边 上一动点
点除外），以 为一边作正方形 ，连接 ，则 面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2019•无锡）计算：
（1） ；
（2） ．
20．（8分）（2019•无锡）解方程：
第3页（共30页）（1） ；
（2） ．
21．（8分）（2019•无锡）如图，在 中， ，点 、 分别在 、 上， ，
、 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
22．（6分）（2019•无锡）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2
个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸
到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状
图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（6分）（2019•无锡）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的
为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不
及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了 的学生
进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
等级 优秀 良好 及格 不及格
平均分 92.1 85.0 69.2 41.3
（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请
估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
第4页（共30页）24．（8分）（2019•无锡）一次函数 的图象与 轴的负半轴相交于点 ，与 轴的正
半轴相交于点 ，且 ． 的外接圆的圆心 的横坐标为 ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
25．（8分）（2019•无锡）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地
出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离 与出发时间之间的函数关
系式如图1中线段 所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲
地，两人之间的距离 与出发时间 之间的函数关系式如图2中折线段
所示．
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求点 的坐标，并解释点 的实际意义．
第5页（共30页）26．（10分）（2019•无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1， 为 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出 的内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，
三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在 中， 为 的中点，作 的中点 ．
②如图3，在由小正方形组成的 的网格中， 的顶点都在小正方形的顶点上，作
的高 ．
27．（10分）（2019•无锡）已知二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，
在 左侧，且 ，与 轴交于点 ．
（1）求 点坐标，并判断 的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线 相交于点 ，已知 ，直线 与
轴交于点 ，连接 ．
①若 的面积为8，求二次函数的解析式；
②若 为锐角三角形，请直接写出 的取值范围．
第6页（共30页）28．（12分）（2019•无锡）如图1，在矩形 中， ，动点 从 出发，以每秒1个单
位的速度，沿射线 方向移动，作 关于直线 的对称 ，设点 的运动时间为
．
（1）若 ．
①如图2，当点 落在 上时，显然 是直角三角形，求此时 的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得 是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意
的 的值？若不存在，请说明理由．
（2）当 点不与 点重合时，若直线 与直线 相交于点 ，且当 时存在某一时刻
有结论 成立，试探究：对于 的任意时刻，结论“ ”是否总是成
立？请说明理由．
第7页（共30页）2019 年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）
1．（3分）5的相反数是
A． B．5 C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ”号，求解即可．
【解答】解：5的相反数是 ，
故选： ．
2．（3分）函数 中的自变量 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：函数 中： ，
解得： ．
故选： ．
3．（3分）分解因式 的结果是
A． B． C． D．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
4．（3分）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数是中位数，在这组数据中出现次数最
多的是66，得到这组数据的众数．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，
第8页（共30页）第3个数是66，
所以中位数是66，
在这组数据中出现次数最多的是66，
即众数是66，
故选： ．
5．（3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是
A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥
【分析】有2个视图是长方形可得该几何体为柱体，第3个视图也是长方形可得该几何体为长
方体，进而判断出几何体的形状．．
【解答】解： 有2个视图是长方形，
该几何体为柱体，
第3个视图是长方形，
该几何体为长方体．
故选： ．
6．（3分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解： 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
故选： ．
7．（3分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．内角和为 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【解答】解：矩形和菱形的内角和都为 ，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂
直且平分，
矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
第9页（共30页）故选： ．
8．（3分）如图， 是 的切线，切点为 ， 的延长线交 于点 ，若 ，则
的度数为
A． B． C． D．
【分析】连接 ，如图，根据切线的性质得 ，再利用互余计算出 ，然
后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算 的度数．
【解答】解：连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
9．（3分）如图，已知 为反比例函数 的图象上一点，过点 作 轴，垂足
为 ．若 的面积为2，则 的值为
第10页（共30页）A．2 B． C．．4 D．
【分析】再根据反比例函数的比例系数 的几何意义得到 ，然后去绝对值即可得到满
足条件的 的值．
【解答】解：连结 ，如图，
轴，
，
，
，
．
故选： ．
10．（3分）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每
天加工 个零件 为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加
工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知 的值至少为
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据15名工人的前期工作量 名工人的后期工作量 列出不等式并解答．
【解答】解：设原计划 天完成，开工 天后3人外出培训，
则 ，
得到 ．
所以 ．
整理，得 ．
．
将其代入化简，得 ，即 ，
整理，得 ．
第11页（共30页），
，
．
至少为9．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答
案直接填写在相应的横线上）
11．（2分） 的平方根是 ．
【分析】根据平方根的定义求解．
【解答】解： 的平方根是 ．
故答案为： ．
12．（2分）2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约
20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为 人次．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：将20000000用科学记数法表示为： ．
故答案为： ．
13．（2分）计算： ．
【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．
【解答】解： ．
故答案为： ．
14．（2分）某个函数具有性质：当 时， 随 的增大而增大，这个函数的表达式可以是
（答案不唯一） （只要写出一个符合题意的答案即可）．
【分析】根据函数的性质写出一个反比例函数或二次函数为佳．
【解答】解： 中开口向上，对称轴为 ，
第12页（共30页）当 时 随着 的增大而增大，
故答案为： （答案不唯一）．
15．（2分）已知圆锥的母线长是 ，侧面积是 ，则这个圆锥底面圆的半径是 3
．
【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧
长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．
【解答】解： 圆锥的母线长是 ，侧面积是 ，
圆锥的侧面展开扇形的弧长为： ，
锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
，
故答案为：3．
16．（2分）已知一次函数 的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为
．
【分析】直接利用图象把 代入，进而得出 ， 之间的关系，再利用一元一次不等式解法
得出答案．
【解答】解： 图象过 ，则 ，
则 ，
故 ，
，
，
解得： ．
故答案为： ．
17．（2分）如图，在 中， ， 在 内自由移动，若 的半
第13页（共30页）径为1，且圆心 在 内所能到达的区域的面积为 ，则 的周长为 2 5 ．
【分析】如图，由题意点 所能到达的区域是 ，连接 ，延长 交 于 ，作
于 ， 于 ，作 于 ．利用相似三角形的性质以及三角形的面
积公式求出 ，再证明 ，推出 ， ， ，
设 ，在 中，则有 ，推出 ，由 ，
推出 ，推出 ，可得 ，求出 即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意点 所能到达的区域是 ，连接 ，延长 交 于 ，作
于 ， 于 ，作 于 ．
， ， ，
， ，
，
，
设 ， ，
，
或 （舍弃），
，
第14页（共30页）四边形 是矩形，
，
设 ， ， ，
， ， ，
，
， ， ，设 ，
在 中，则有 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
的周长 ，
故答案为25．
18．（2分）如图，在 中， ， ， 为边 上一动点 点除外），以
为一边作正方形 ，连接 ，则 面积的最大值为 8 ．
第15页（共30页）【分析】过点 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ．由
， ，得到 ，易证 ，求得 ，设
， 则 ， 易 证 ， ， 所 以
，当 时， 面积的最大值为8．
【解答】解：过点 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ．
， ，
，
易证 ，
，
即
，
设 ，则 ，
易证 ，
，
，
当 时， 面积的最大值为8．
故答案为8．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
第16页（共30页）19．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用幂的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
20．（8分）解方程：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）两边都乘以 化为整式方程，解之求得 的值，继而检验即可得．
【解答】解：（1） ， ， ，
△ ，
则 ，
；
（2）两边都乘以 ，得： ，
解得 ，
经检验 是方程的解．
21．（8分）如图，在 中， ，点 、 分别在 、 上， ， 、 相
交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
第17页（共30页）【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 根据全等三角形的判定定理即可得
到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 根据等腰三角形的判定定理即可得到
【解答】（1）证明： ，
，
在 与 中 ，
；
（2）证明：由（1）知 ，
，
．
22．（6分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些
球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没
有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状
图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据
概率公式求解．
【解答】解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率 ；
第18页（共30页）故答案为： ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，
所以两次摸到红球的概率 ．
23．（6分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到
80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为
了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了 的学生进行体质测
试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
等级 优秀 良好 及格 不及格
平均分 92.1 85.0 69.2 41.3
（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请
估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
【分析】（1）根据各组的百分比之和为1，计算即可；
（2）利用加权平均数公式计算即可；
（3）设总人数为 个，列不等式组即可得到结论．
【解答】解：（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ；
第19页（共30页）故答案为： ；
（2） ；
答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为84.1分；
（3）设总人数为 个， 所以 又因为 为整数 所
以 ，
即优秀的学生有 人．
24．（8分）一次函数 的图象与 轴的负半轴相交于点 ，与 轴的正半轴相交于点
，且 ． 的外接圆的圆心 的横坐标为 ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由垂径定理得：点 为 的中点， ，则 ，即 ，而
， ，则 ，即可求解；
（2） ， ， ，则 ，则 ，即
，即可求解．
【解答】解：（1）作 ，
由垂径定理得：点 为 的中点，
第20页（共30页），
， ，即 ，
， ，
，
即 ，
设 ，将 、 带入得： ，
（2） ， ，
，则 ，
，
阴影部分面积为 ．
25．（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔
直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离 与出发时间之间的函数关系式如图1中
线段 所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的
距离 与出发时间 之间的函数关系式如图2中折线段 所示．
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求点 的坐标，并解释点 的实际意义．
第21页（共30页）【分析】（1）由点 ，点 ，点 表示的实际意义，可求解；
（2）理解点 表示的实际意义，则点 的横坐标为小明从甲地到乙地的时间，点 纵坐标为
小丽这个时间段走的路程，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：小丽速度
设小明速度为
由题意得：
答：小明的速度为 ，小丽的速度为 ．
（2）由图象可得：点 表示小明到了甲地，此时小丽没到，
点 的横坐标 ，
点 的纵坐标
点 ，
26．（10分）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1， 为 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出 的内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，
三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在 中， 为 的中点，作 的中点 ．
②如图3，在由小正方形组成的 的网格中， 的顶点都在小正方形的顶点上，作
的高 ．
第22页（共30页）【分析】（1）连结 并延长交圆 于点 ，作 的中垂线交圆于点 ， ，四边形
即为所求．
（2）①连结 ， 交于点 ，连结 交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，点
即为所求；
②结合网格特点和三角形高的概念作图可得．
【解答】解：（1）如图1，连结 并延长交圆 于点 ，作 的中垂线交圆于点 ， ，四边
形 即为所求．
（2）①如图2，连结 ， 交于点 ，连结 交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，
即为所求
②如图3所示， 即为所求．
第23页（共30页）27．（10分）已知二次函数 的图象与 轴交于 、 两点， 在 左侧，
且 ，与 轴交于点 ．
（1）求 点坐标，并判断 的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线 相交于点 ，已知 ，直线 与
轴交于点 ，连接 ．
①若 的面积为8，求二次函数的解析式；
②若 为锐角三角形，请直接写出 的取值范围．
【分析】（1）确定 ，则 ，则对称轴在 轴右侧，即 ，即可求解；
（2）①过点 作 ，则 ， ，求出 ， 、
，由 ，即可求解；②分 为锐角、当 为锐角时，两种情
况，分别求解即可．
【解答】解：（1）令 ，则 ， ，
第24页（共30页）， 对称轴在 轴右侧，即
， ；
（2）①过点 作 ，
则 ，
，
设 ，则 ，
， ，
， ，
则 ，
，
，
，
， ，
设 ，
即 ，
令 ，则 ，
，
， ，
第25页（共30页）；
②由①知 ， ， ， ，则 一定为锐角，
， ， ，
当 为锐角时，
，
，
解得 ；
当 为锐角时，
，
，
解得 ，
综上： ， ；
故： ．
28．（12分）如图1，在矩形 中， ，动点 从 出发，以每秒1个单位的速度，沿
射线 方向移动，作 关于直线 的对称 ，设点 的运动时间为 ．
（1）若 ．
①如图2，当点 落在 上时，显然 是直角三角形，求此时 的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得 是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意
的 的值？若不存在，请说明理由．
（2）当 点不与 点重合时，若直线 与直线 相交于点 ，且当 时存在某一时刻
有结论 成立，试探究：对于 的任意时刻，结论“ ”是否总是成
立？请说明理由．
【分析】（1）①利用勾股定理求出 ，由 ，推出 ，即可解决问题．
第26页（共30页）②分三种情形分别求解即可：如图 中，当 ’ 时．如图 中，当 ’
时．如图 中，当 ’ 时．
（2）如图 中，首先证明四边形 是正方形，如图 中，利用全等三角形的性质，
翻折不变性即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，
四边形 是矩形，
，
，
， ，
，
，
，
．
②如图 中，当 ’ 时，
第27页（共30页）四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
在 中， ，
，
．
如图 中，当 ’ 时，
在 中， ，
在 ’中则有： ，解得 ．
如图 中，当 ’ 时，易证四边形 ’为正方形，易知 ．
第28页（共30页）综上所述，满足条件的 的值为 或 或 ．
（2）如图 中，
，
又 翻折，
， ，
又 ’ ， ，
，
’ ，
即四边形 是正方形，
如图，设 ．
第29页（共30页），
，
易证 △ ’ ，
，
翻折，
’ ，
’ ’ ，
’ ，
．
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