文档内容
2022年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑。）
1．（3分） 的倒数是
A． B． C． D．5
2．（3分）函数 中自变量 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（3分）已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是
A．114，115 B．114，114 C．115，114 D．115，115
4．（3分）分式方程 的解是
A． B． C． D．
5．（3分）在 中， ， ， ，以 所在直线为轴，把 旋转1
周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
6．（3分）雪花、风车 展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．
请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
7．（3分）如图， 是圆 的直径，弦 平分 ，过点 的切线交 于点 ，
，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
8．（3分）下列命题中，是真命题的有
第1页（共33页）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
9．（3分）一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 、 ，其中点 、
的坐标为 ， 、 ，则 的面积是
A．3 B． C． D．
10．（3分）如图，在 中， ， ，点 在 上， ，则
的值是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应的位置上。）
11．（3分）分解因式： ．
12．（3分）高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活．交通运输部的数据显示，截
止去年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一．161000这个数据用科学记数
法可表示为 ．
13．（3分）二元一次方程组 的解为 ．
14．（3分）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与 轴的负半轴、 轴的正半轴相交：
．
第2页（共33页）15．（3分）请写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题： ．
16．（3分）如图，正方形 的边长为8，点 是 的中点， 垂直平分 且分别交
、 于点 、 ，则 ．
17．（3分）把二次函数 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长
度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么 应满足条件： ．
18．（3分） 是边长为5的等边三角形， 是边长为3的等边三角形，直线 与直
线 交于点 ．如图，若点 在 内， ，则 ；现将 绕
点 旋转1周，在这个旋转过程中，线段 长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤等。）
19．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
20．（8分）（1）解方程： ；
第3页（共33页）（2）解不等式组： ．
21．（10分）如图，在 中，点 为对角线 的中点， 过点 且分别交 、 于
点 、 ，连接 、 ．
求证：（1） ；
（2） ．
22．（10分）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为 ， ， ， ，女
生分别记为 ， ， ．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢
会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位
是 或 的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（10分）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加
30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次
测试数据如下：
育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表
跳绳个数
频数（摸底测试） 19 27 72 17
频数（最终测试） 3 6 59
（1）表格中 ；
（2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多
少？
第4页（共33页）24．（10分）如图， 为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在 右上方确定点 ，使 ，且
；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ， ， ，则四边形 的面积为 ．
25．（10分）如图，边长为6的等边三角形 内接于 ，点 为 上的动点（点 、 除
外）， 的延长线交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．
第5页（共33页）26．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙
（墙的长度为 ，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的矩形，已
知栅栏的总长度为 ，设较小矩形的宽为 （如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为 ，求此时 的值；
（2）当 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
27．（10分）如图，已知四边形 为矩形， ， ，点 在 上， ，
将 沿 翻折到 ，连接 ．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
第6页（共33页）28．（10分）已知二次函数 图象的对称轴与 轴交于点 ，图象与 轴
交于点 ， 、 为该二次函数图象上的两个动点（点 在点 的左侧），且
．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点 与点 重合，求 的值；
（3）点 是否存在其他的位置，使得 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共33页）2022年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑。）
1．（3分） 的倒数是
A． B． C． D．5
【分析】根据倒数的定义可知．
【解答】解： 的倒数是 ．
故选： ．
2．（3分）函数 中自变量 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】因为当函数用二次根式表达时，被开方数为非负数，所以 ，可求 的范围．
【解答】解： ，
解得 ，
故选： ．
3．（3分）已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是
A．114，115 B．114，114 C．115，114 D．115，115
【分析】根据众数定义确定众数；利用算术平均数的计算方法可以算得平均数．
【解答】解：平均数 ，
数据115出现了2次，次数最多，
众数是115．
故选： ．
4．（3分）分式方程 的解是
A． B． C． D．
【分析】将分式方程转化为整式方程，求出 的值，检验即可得出答案．
第8页（共33页）【解答】解： ，
方程两边都乘 得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
是原方程的解．
故选： ．
5．（3分）在 中， ， ， ，以 所在直线为轴，把 旋转1
周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
【分析】运用公式 （其中勾股定理求解得到的母线长 为 求解．
【解答】解：在 中， ， ， ，
，
由已知得，母线长 ，半径 为4，
圆锥的侧面积是 ．
故选： ．
6．（3分）雪花、风车 展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．
请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解： ．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选： ．
7．（3分）如图， 是圆 的直径，弦 平分 ，过点 的切线交 于点 ，
，则下列结论错误的是
第9页（共33页）A． B． C． D．
【分析】根据切线的性质得到 ，证明 ，由此判断 、 选项；过点 作
于 ，利用矩形的性质、直角三角形的性质判断 选项；利用三角形外角性质求得
的度数，从而判断 选项．
【解答】解： 弦 平分 ， ，
．
．
故选项 不符合题意；
，
，
，即 ，故选 不符合题意；
是 的切线，
．
．故选项 不符合题意；
如图，过点 作 于 ，则四边形 是矩形，
．
在直角 中， ．
，
．
故选项 符合题意．
故选： ．
第10页（共33页）8．（3分）下列命题中，是真命题的有
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【分析】直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
故选： ．
9．（3分）一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 、 ，其中点 、
的坐标为 ， 、 ，则 的面积是
A．3 B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 ，进而求出点 、 的坐标，根据三角形
的面积公式计算即可．
【解答】解： 点 ， 在反比例函数 上，
，
解得： ，
第11页（共33页）点 的坐标为： ， ，点 的坐标为 ，
，
故选： ．
10．（3分）如图，在 中， ， ，点 在 上， ，则
的值是
A． B． C． D．
【分析】由等腰三角形的性质可求 ， ，由直角三角形的性质和勾股定
理可求 ， 的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，
设 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
第12页（共33页），
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应的位置上。）
11．（3分）分解因式： ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
12．（3分）高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活．交通运输部的数据显示，截
止去年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一．161000这个数据用科学记数
法可表示为 ．
【分析】将较大的数写成科学记数法形式： ，其中 ， 为正整数即可．
【解答】解： ．
故答案为： ．
第13页（共33页）13．（3分）二元一次方程组 的解为 ．
【分析】根据代入消元法求解即可得出答案．
【解答】解： ，
由②得： ③，
将③代入①得： ，
解得： ，
将 代入③得： ，
原方程组的解为 ．
故答案为： ．
14．（3分）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与 轴的负半轴、 轴的正半轴相交：
（答案不唯一） ．
【分析】设函数的解析式为 ，再根据一次函数的图象分别与 轴的负半轴、
轴的正半轴相交可知 ， ，写出符合此条件的函数解析式即可．
【解答】解：设一次函数的解析式为 ，
一次函数的图象分别与 轴的负半轴、 轴的正半轴相交，
， ，
符合条件的函数解析式可以为： （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
15．（3分）请写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题： 如果 ，那么 ．
【分析】交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题．
【解答】解：命题“如果 ，那么 ”的逆命题是“如果 ，那么 ”．
故答案为：如果 ，那么 ．
16．（3分）如图，正方形 的边长为8，点 是 的中点， 垂直平分 且分别交
、 于点 、 ，则 1 ．
第14页（共33页）【分析】延长 、 交于 ，构造全等三角形 ；连接 、 ，根据
是 的垂直平分线，可得 ，根据正方形的性质证明 ，可得
，设 ，则 ，根据勾股定理可得 ，可求得
的值，进而求出 的长．
【解答】
解：如图，延长 、 交于 ，连接 、 ，
是 的垂直平分线，
，
四边形 是正方形，
，
，
是 的中点，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 和 中，根据勾股定理，得
，
即 ，
解得 ，
．
故答案是：1．
第15页（共33页）17．（3分）把二次函数 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长
度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么 应满足条件： ．
【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共
点，可得△ ，即可求解．
【解答】解： 把二次函数 的图象向上平移1个单位长度，再
向右平移3个单位长度，
平移后的解析式为： ，
平移后的解析式为： ，
对称轴为直线 ，
平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
△ ，
，
故答案为： ．
18．（3分） 是边长为5的等边三角形， 是边长为3的等边三角形，直线 与直
线 交于点 ．如图，若点 在 内， ，则 8 0 ；现将
绕点 旋转1周，在这个旋转过程中，线段 长度的最小值是 ．
第16页（共33页）【分析】第一个问题证明 ，推出 ，可得
．第二个问题，如图 1 中，设 交 于点 ．证明
，推出点 在 的外接圆上运动，当 最小时， 的值最小，
此时 ，求出 ， 可得结论．
【解答】解： ， 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
如图1中，设 交 于点 ．
第17页（共33页）同法可证 ，
，
，
，
点 在 的外接圆上运动，当 最小时， 的值最小，此时 ，
，
， ，
， ，
，
，
，
的最小值 ，
故答案为：80， ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤等。）
19．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可；
第18页（共33页）（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（8分）（1）解方程： ；
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）根据配方法可以解答此方程；
（2）先解出每个不等式，然后即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
解得 ， ；
（2） ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
原不等式组的解集是 ．
21．（10分）如图，在 中，点 为对角线 的中点， 过点 且分别交 、 于
点 、 ，连接 、 ．
第19页（共33页）求证：（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，平行四边形的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】证明：（1） 点 为对角线 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
在 和 中，
，
．
（2） ，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
22．（10分）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为 ， ， ， ，女
生分别记为 ， ， ．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢
会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位
第20页（共33页）是 或 的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是 或 的结果
有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是 或 的结果有6种，
抽得的2位学生中至少有1位是 或 的概率为 ．
23．（10分）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加
30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次
测试数据如下：
育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表
跳绳个数
频数（摸底测试） 19 27 72 17
频数（最终测试） 3 6 59
（1）表格中 6 5 ；
（2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多
少？
第21页（共33页）【分析】（1）用学生总人数减去各组的频数可求解；
（2）先求出 这组的百分比，即可求解；
（3）用学生总人数乘以百分比，可求解．
【解答】解：（1） ，
故答案为：65；
（2） ，
扇形统计图补充：如图所示：
（3） （人 ，
答：经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有50人．
24．（10分）如图， 为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在 右上方确定点 ，使 ，且
第22页（共33页）；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ， ， ，则四边形 的面积为 5 ．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）过点 作 于点 ．求出 ， ，利用梯形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图1中，点 即为所求；
（2）过点 作 于点 ．
在 中， ， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
第23页（共33页），
故答案为： ．
25．（10分）如图，边长为6的等边三角形 内接于 ，点 为 上的动点（点 、 除
外）， 的延长线交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．
【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出 ， ，即可证明
；
（2）过点 作 于点 ，由等边三角形的性质得出 ， ，由
，得出 ， ，由相似三角形的性质得 ，
得出 ，由含 角的直角三角形的性质得出 ，设 ，则 ，
， ， 进 而 得 出 ， 利 用 勾 股 定 理 得 出 一 元 二 次 方 程
，解方程求出 的值，即可求出 的长度．
【解答】（1）证明：如图1，
第24页（共33页）， ，
；
（2）解：如图2，过点 作 于点 ，
是边长为6等边三角形，
， ，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ， ，
第25页（共33页），
在 中， ，
，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
．
26．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙
（墙的长度为 ，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的矩形，已
知栅栏的总长度为 ，设较小矩形的宽为 （如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为 ，求此时 的值；
（2）当 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为 ，长为 ，可得
，解方程取符合题意的解，即可得 的值为 ；
（2）设矩形养殖场的总面积是 ，根据墙的长度为 10，可得 ，而
，由二次函数性质即得当 时，矩形养
殖场的总面积最大，最大值为 ．
【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为 ，长为 ，
，
解得 或 ，
经检验， 时， 不符合题意，舍去，
第26页（共33页），
答：此时 的值为 ；
（2）设矩形养殖场的总面积是 ，
墙的长度为10，
，
根据题意得： ，
，
当 时， 取最大值，最大值为 ，
答：当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 ．
27．（10分）如图，已知四边形 为矩形， ， ，点 在 上， ，
将 沿 翻折到 ，连接 ．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
【分析】（1）根据翻折变换的特点和勾股定理结合方程思想解答即可；
（2）根据锐角三角函数的定义，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：（1） ，
，
根据翻折可得： ， ，
四边形 是矩形，
，
第27页（共33页），
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
即： ，
解得： ，
在 中， ．
（2）过点 作 交 于点 ，
设 ，则 ，
， ，
，
即： ，
解得： ，
，
．
第28页（共33页）28．（10分）已知二次函数 图象的对称轴与 轴交于点 ，图象与 轴
交于点 ， 、 为该二次函数图象上的两个动点（点 在点 的左侧），且
．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点 与点 重合，求 的值；
（3）点 是否存在其他的位置，使得 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）二次函数与 轴交于点 ，求得 ，根据 ，即二次函数对称轴为直
线 ，求出 的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）通过证明 ， ，然后结合点 的坐标特征列方程求得
和 的长度，从而求解；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点 的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思想求出
对应点 的坐标即可．
第29页（共33页）【解答】解：将点 代入 ，
可得 ，
二次函数 图象的对称轴与 轴交于点 ，
，
解得： ，
二次函数的解析式为 ；
（2）如图，过点 作 轴于点 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
设 点坐标为 ，
， ， ，
第30页（共33页），
解得： （舍去）， ，
当 时， ，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ；
（3）存在，理由如下：
①如图，与（2）图中 关于对称轴对称时， ，
点 的坐标为 ，
此时，点 的坐标为 ，
当点 、 关于对称轴对称时，此时 与 长度相等，即 ，
②当点 在 轴上方时，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，
第31页（共33页），点 、 关于对称轴对称，
，
为等腰直角三角形，
，
设点 的坐标为 ，
， ，
，
解得 （舍去）或 ，
此时点 的坐标为 ， ；
③当点 在 轴下方时，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，
第32页（共33页），点 、 关于对称轴对称，
，
为等腰直角三角形，
，
设点 的坐标为 ，
， ，
，
解得 （舍去）或 ，
此时点 的坐标为 ， ；
综上，点 的坐标为 或 ， 或 ， ．
第33页（共33页）
