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2022年江苏省宿迁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分） 的绝对值是
A． B． C． D．2
2．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）如图， ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
4．（3分）下列展开图中，是正方体展开图的是
A． B．
C． D．
5．（3分）若等腰三角形的两边长分别是 和 ，则这个等腰三角形的周长是
A． B． C． 或 D． 或
6．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房
七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人
无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房 间，房客 人，则
列出关于 、 的二元一次方程组正确的是
A． B．
第1页（共28页）C． D．
7．（3分）如果 ，那么下列不等式正确的是
A． B． C． D．
8．（3分）如图，点 在反比例函数 的图象上，以 为一边作等腰直角三角形
，其中 ， ，则线段 长的最小值是
A．1 B． C． D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．（3分）分解因式： ．
10．（3分）2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到
“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到 ，其中修复红树林 146200亩，请将
146200用科学记数法表示是 ．
11．（3分）已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是 ．
12．（3分）满足 的最大整数 是 ．
13．（3分）若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是 ．
14．（3分）用半径为 ，圆心角为 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底
面圆的半径是 ．
15．（3分）按规律排列的单项式： ， ， ， ， ， ，则第20个单项式是 ．
16．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值 随自变量 增大而减
小”；乙：“函数图象经过点 ”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式
是 ．
17．（3分）如图，在正六边形 中， ，点 在边 上，且 ．若经过点
第2页（共28页）的直线 将正六边形面积平分，则直线 被正六边形所截的线段长是 ．
18．（3分）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 的中点，某
一时刻，动点 从点 出发，沿 方向以每秒2个单位长度的速度向点 匀速运动；同时，
动点 从点 出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动，其中一点运动
到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接 ，过点 作 的垂线，垂足为 ．在这一运动
过程中，点 所经过的路径长是 ．
三、简答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算： ．
20．（8分）解方程： ．
21．（8分）如图，在 中，点 、 分别是边 、 的中点．求证： ．
22．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校 名九
年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不
完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：
第3页（共28页）（1） ， ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”
活动4天及以上的人数．
23．（10分）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发
生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
24．（10分）如图，某学习小组在教学楼 的顶部观测信号塔 底部的俯角为 ，信号塔
顶部的仰角为 ．已知教学楼 的高度为 ，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
25．（10分）如图，在 中， ， ，以 为直径的 与边 交于点
．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ，求图中阴影部分的面积．
第4页（共28页）26．（10分）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家
超市的标价均为10元 件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部
分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购
物金额为 元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
27．（12分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点
、 、 、 、 均为格点．
【操作探究】
在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段
、 ，相交于点 并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点 ，构建两个直角三角形，分别是 和 ．
在 中， ，
在 中， ，
所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
【拓展应用】
（1）如图②是以格点 为圆心， 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在 上找出一点
，使 ，写出作法，并给出证明；
（2）如图③是以格点 为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦 上找出一点 ．使
第5页（共28页），写出作法，不用证明．
28．（12分）如图，二次函数 与 轴交于 ， 两点，顶点为 ，连接
、 ，若点 是线段 上一动点，连接 ，将 沿 折叠后，点 落在点 的
位置，线段 与 轴交于点 ，且点 与 、 点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证： △ ；
②求 的最小值；
（3）当 时，求直线 与二次函数的交点横坐标．
第6页（共28页）2022年江苏省宿迁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分） 的绝对值是
A． B． C． D．2
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对
值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解： ，
．
故选： ．
2．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的法则进行计算，逐一判断
即可解答．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 符合题意；
、 ，故 不符合题意；
故选： ．
3．（3分）如图， ，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
第7页（共28页）【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
4．（3分）下列展开图中，是正方体展开图的是
A． B．
C． D．
【分析】根据正方形的展开图得出结论即可．
【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故 选项和 选
项都不符合题意；
四个连成一排的小正方形可以围成前后左右四面，剩下的两面必须分在上下两面才能围成
正方体，
故 选项不符合题意， 选项符合题意，
故选： ．
5．（3分）若等腰三角形的两边长分别是 和 ，则这个等腰三角形的周长是
A． B． C． 或 D． 或
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 和 ，而没有明确腰、底分别是多少，所以
要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当 是腰长时，3，3，5能组成三角形，
当 是腰长时，5，5，3能够组成三角形．
则三角形的周长为 或 ．
第8页（共28页）故选： ．
6．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房
七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人
无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房 间，房客 人，则
列出关于 、 的二元一次方程组正确的是
A． B．
C． D．
【分析】设该店有客房 间，房客 人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程
组即可．
【解答】解：设该店有客房 间，房客 人；
根据题意得： ，
故选： ．
7．（3分）如果 ，那么下列不等式正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解： 、 ，
，故本选项符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
故选： ．
8．（3分）如图，点 在反比例函数 的图象上，以 为一边作等腰直角三角形
，其中 ， ，则线段 长的最小值是
第9页（共28页）A．1 B． C． D．4
【分析】根据三角形 是等腰直角三角形，当 最小时， 最小，再根据两点间的距离
公式解答即可．
【解答】解： 三角形 是等腰直角三角形，
当 最小时， 最小，
设 点坐标为 ，
，
，
即： ，
，
，
两边同时开平方得： ，
当 时， 有最小值，
解得 ， （舍去），
点坐标为 ， ，
，
三角形 是等腰直角三角形， 为斜边，
．
第10页（共28页）故选： ．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．（3分）分解因式： ．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
10．（3分）2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到
“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到 ，其中修复红树林 146200亩，请将
146200用科学记数法表示是 ．
【分析】根据科学记数法的形式改写即可．
【解答】解：146200用科学记数法表示是 ，
故答案为： ．
11．（3分）已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是 5 ．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据中5出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是5，
故答案为：5．
12．（3分）满足 的最大整数 是 3 ．
【分析】根据无理数的估算分析解题．
【解答】解： ，且 ，
最大整数 是3．
故答案为：3．
第11页（共28页）13．（3分）若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是
．
【分析】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．
【解答】解： △
．
又 关于 的一元二次方程 有实数根，
．
．
故答案为： ．
14．（3分）用半径为 ，圆心角为 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底
面圆的半径是 2 ．
【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为 ，利用扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，列
出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为 ，
由题意得： ，
解得： ，
这个圆锥的底面圆的半径为 ，
故答案为：2．
15．（3分）按规律排列的单项式： ， ， ， ， ， ，则第20个单项式是 ．
【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．
【解答】解：根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第 项的数为 ，
则第20个单项式是 ，
故答案为： ．
16．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值 随自变量 增大而减
小”；乙：“函数图象经过点 ”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式
是 （答案不唯一） ．
【分析】根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的
性质，可得出 ， ，取 即可得出结论．
第12页（共28页）【解答】解： 函数值 随自变量 增大而减小，且该函数图象经过点 ，
该函数为一次函数．
设一次函数的表达式为 ，则 ， ．
取 ，此时一次函数的表达式为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
17．（3分）如图，在正六边形 中， ，点 在边 上，且 ．若经过点
的直线 将正六边形面积平分，则直线 被正六边形所截的线段长是 ．
【分析】设正六边形 的中心为 ，过点 、 作直线 交 于点 ，则直线 将正
六边形的面积平分，直线 被正六边形所截的线段长是 ，连接 ，过点 作
于 点 ， 连 接 ， 由 正 六 边 形 的 性 质 得 出 ，
， ，进而得出 是等边三角形，得出
，由 ，得出 ，由 ，得出 ，进而求出
， ，再求出 ，利用勾股定理求出 ，即可求出 的长度，
即可得出答案．
【解答】解：如图，设正六边形 的中心为 ，过点 、 作直线 交 于点 ，则直
线 将正六边形的面积平分，直线 被正六边形所截的线段长是 ，连接 ，过点 作
于点 ，连接 ，
第13页（共28页）六边形 是正六边形， ，中心为 ，
， ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
18．（3分）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 的中点，某
一时刻，动点 从点 出发，沿 方向以每秒2个单位长度的速度向点 匀速运动；同时，
动点 从点 出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动，其中一点运动
到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接 ，过点 作 的垂线，垂足为 ．在这一运动
过程中，点 所经过的路径长是 ．
【分析】如图1中，连接 交 于点 ，连接 ．首先证明 ，利用勾股定理求出
第14页（共28页）．由 ，推出点 在 为直径的 上运动，当点 与 重合时，如图2中，
连接 ， ．点 的运动轨迹是 ．求出 ，再利用弧长公式求解．
【解答】解：如图1中，连接 交 于点 ，连接 ．
四边形 是矩形， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
点 在 为直径的 上运动，
当点 与 重合时，如图2中，连接 ， ．点 的运动轨迹是 ．
第15页（共28页）此时 ， ，
，
， ，
平分 ，
，
，
点 的运动轨迹的长 ．
故答案为： ．
三、简答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算： ．
【分析】先计算 、 ，再代入 算乘法，最后加减．
【解答】解：原式
．
20．（8分）解方程： ．
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即
可．
【解答】解： ，
，
，
经检验 是原方程的解，
则原方程的解是 ．
21．（8分）如图，在 中，点 、 分别是边 、 的中点．求证： ．
第16页（共28页）【分析】由平行四边形的性质可得 ， ，由中点的性质可得 ，可证四
边形 是平行四边形，即可求解．
【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
点 、 分别是边 、 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
．
22．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校 名九
年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不
完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：
（1） 20 0 ， ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”
活动4天及以上的人数．
【分析】（1）根据各部分所占百分比之和为1可求得 的值，由参加“综合与实践”活动为2
天的人数及其所占百分比可得 的值；
（2）用总人数乘以活动天数为3天的学生人数所占百分比可得对应人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中参加“综合与实践”活动4天及以上的人数所占百分比即可得．
【解答】解：（1） ，
第17页（共28页），
；
故答案为：200，30；
（2）参加“综合与实践”活动天数为3天的学生人数为 （名 ，
补全条形图如下：
（3）估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数为
（名 ．
23．（10分）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发
生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【分析】（1）根据题意可知甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能
性，其中选中丙的有1种可能性，从而可以求得恰好选中丙的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得一定有乙的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可
能性，
故恰好选中丙的概率是 ，
故答案为： ；
（2）树状图如下：
第18页（共28页）由上可得，一共有12种可能性，其中一定有乙的可能性有6种，
故一定有乙的概率是 ．
24．（10分）如图，某学习小组在教学楼 的顶部观测信号塔 底部的俯角为 ，信号塔
顶部的仰角为 ．已知教学楼 的高度为 ，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得 ，先在 中，利
用锐角三角函数的定义求出 的长，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出
的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，
由题意得：
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
信号塔的高度为 ．
第19页（共28页）25．（10分）如图，在 中， ， ，以 为直径的 与边 交于点
．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得 ，可得结论；
（2）根据图中阴影部分的面积 可得结论．
【解答】解：（1）直线 与 相切，理由如下：
， ，
，
，
，
是 的直径，
直线 与 相切；
（2）连接 ， ，
第20页（共28页）是 的直径，
，
，
是等腰直角三角形， ，
， ，
，
图中阴影部分的面积
．
26．（10分）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家
超市的标价均为10元 件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部
分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 30 0 元；乙超市的
购物金额为 元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【分析】（1）利用总价 单价 数量，可求出购买30件这种文化用品所需原价，再结合两超市
给出的优惠方案，即可求出在两家超市的购物金额；
（2）设购买 件这种文化用品，当 时，在甲超市的购物金额为 元，在乙超市的购
物金额为 元，显然在乙超市支付的费用较少；当 时，在甲超市的购物金额为
元，在乙超市的购物金额为 元，分 ， 及
三种情况，可求出 的取值范围或 的值，综上，即可得出结论．
【解答】解：（1） （元 ， ，
在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为 （元 ．
故答案为：300；240．
（2）设购买 件这种文化用品．
当 时，在甲超市的购物金额为 元，在乙超市的购物金额为 （元 ，
，
选择乙超市支付的费用较少；
第21页（共28页）当 时，在甲超市的购物金额为 （元 ，在乙超市的购物
金额为 （元 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ．
综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两
超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．
27．（12分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点
、 、 、 、 均为格点．
【操作探究】
在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段
、 ，相交于点 并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点 ，构建两个直角三角形，分别是 和 ．
在 中， ，
在 中， ，
所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
【拓展应用】
（1）如图②是以格点 为圆心， 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在 上找出一点
，使 ，写出作法，并给出证明；
（2）如图③是以格点 为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦 上找出一点 ．使
，写出作法，不用证明．
第22页（共28页）【分析】【操作探究】利用网格特征，解决问题即可；
【拓展应用】（1）取格点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求．利用垂径定理证明即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题，通过计算发现 ，再利用网格特征，画出点 即
可．
【解答】解：【操作探究】在网格中取格点 ，构建两个直角三角形，分别是 和 ．
在 中， ，
在 中， ，
所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
故答案为： ；
【拓展应用】（1）如图②中，点 即为所求．
第23页（共28页）作法：取格点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求；
证明：由作图可知， ， 是半径，
；
（2）如图③中，点 即为所求．
作法：取格点 ， ，连接 交 于点 ，点 即为所求．
28．（12分）如图，二次函数 与 轴交于 ， 两点，顶点为 ，连接
、 ，若点 是线段 上一动点，连接 ，将 沿 折叠后，点 落在点 的
位置，线段 与 轴交于点 ，且点 与 、 点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证： △ ；
②求 的最小值；
（3）当 时，求直线 与二次函数的交点横坐标．
第24页（共28页）【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式；
（2）①根据两角相等可证明两三角形相似；
②根据 △ ，得 ，则 ，即 的最小值就是 的最小值，
为定值，所以当 最小为2时， 有最小值是 ；
（3）根据面积的关系可得： △ 时，相似比为 ，可得 ，作辅助
线，构建直角三角形，根据等角的正切可得 和 的长，最后再证明△ ，可
得 的长，利用待定系数法可得 的解析式，最后联立方程可得结论．
【解答】（1）解： 二次函数 与 轴交于 ， 两点，
二次函数的解析式为： ；
（2）①证明：如图1，
由翻折得： ，
由对称得： ，
，
，
第25页（共28页），
△ ；
②解： △ ，
，
，
，
的最小值就是 的最小值，
，
，
，
当 时， 最小， 的值最小，
当 时， 的最小值为 ；
（3）解： ，
，
△ ，
，
，
，
，
，
如图2，连接 ，过点 作 于 ，延长 交 于 ，设抛物线的对称轴与 轴
交于点 ，
第26页（共28页）由翻折得： ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
，
（舍 ， ，
，
，
△ ，
，即 ，
，
，
设直线 的解析式为： ，
第27页（共28页），
解得： ，
直线 的解析式为： ，
，
，
解得： ，
直线 与二次函数的交点横坐标是 ．
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