文档内容
2022年江苏省盐城市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣
2．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
3．（3分）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）盐城市图书馆现有馆藏纸质图书1600000余册．数据1600000用科学记数法表示为
（ ）
A．0.16×107 B．1.6×107 C．1.6×106 D．16×105
5．（3分）一组数据﹣2，0，3，1，﹣1的极差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，
与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．强 B．富 C．美 D．高
7．（3分）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（
第1页（共28页））
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
8．（3分）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位
置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测
物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4
米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写
在答题卡的相应位置上）
9．（3分）若 有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为 ．
第2页（共28页）11．（3分）分式方程 ＝1的解为 ．
12．（3分）如图，电路图上有A、B、C3个开关和1个小灯泡，闭合开关C或同时闭合开关A、B
都可以使小灯泡发亮．任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．
13．（3分）如图，AB、AC是 O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，
则∠C＝ °． ⊙
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得
点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为 ．
15．（3分）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n
的取值范围是 ．
16．（3分）《庄子•天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l ：y＝ x+1
1
与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线l ：y＝x于点O ，过点O 作y轴的平行线
2 1 1
交直线l 1 于点A 1 ，以此类推，令OA＝a 1 ，O 1 A 1 ＝a 2 ，…，O n﹣1 A n﹣1 ＝a n ，若a 1 +a 2 +…+a n ≤S
对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为 ．
第3页（共28页）三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）|﹣3|+tan45°﹣（ ﹣1）0．
18．（6分）解不等式组： ．
19．（8分）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
20．（8分）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核
酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测
点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
21．（8分）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人
离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 m/min；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．
22．（10分）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．
第4页（共28页）23．（10分）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且
△ACD∽△A′C′D′，若 ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从① ＝ ；② ＝ ；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择
一个作为条件（写序号），并加以证明．
25．（10分）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．
如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、
BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离
CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈2.24）
26．（12分）【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1
是其中一种方法的示意图及部分辅助线．
在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一
第5页（共28页）边的正方形．延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长
DA交IL于点M．
（1）证明：AD＝LC；
（2）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．
【迁移拓展】
（4）如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在
AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、
BFGC的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；
若不存在，请说明理由．
27．（14分）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加
一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置
有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
第6页（共28页）【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂
直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2
所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画 M，是否存在所描的点在
M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由． ⊙
⊙
第7页（共28页）2022年江苏省盐城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．倒数：乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：2022的倒数是 ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项C根据同底数幂的除法
法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据幂的乘方运算法
则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：A．a与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
D．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是
解答本题的关键．
3．（3分）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的（ ）
A． B．
第8页（共28页）C． D．
【分析】根据轴对称定义作答．
【解答】解：A、该主体建筑的构图是轴对称图形，不符合题意；
B、该主体建筑的构图找不到对称轴，不是轴对称图形，符合题意；
C、该主体建筑的构图是轴对称图形，不符合题意；
D、该主体建筑的构图是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特
殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对
称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
4．（3分）盐城市图书馆现有馆藏纸质图书1600000余册．数据1600000用科学记数法表示为
（ ）
A．0.16×107 B．1.6×107 C．1.6×106 D．16×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1600000＝1.6×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）一组数据﹣2，0，3，1，﹣1的极差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据极差的定义求解即可．
【解答】解：数据﹣2，0，3，1，﹣1的极差是3﹣（﹣2）＝3+2＝5，
故选：D．
【点评】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差是指一组数据中最大数据与最小数据
的差．
第9页（共28页）6．（3分）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，
与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．强 B．富 C．美 D．高
【分析】正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点进行作答．
【解答】解：正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，
“盐”与“高”是相对面，
“城”与“富”是相对面，
“强”与“美”是相对面，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形相对两个面上的文字，关键在于要注意正方体的空间图形，
从相对面入手解答问题．
7．（3分）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（
）
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
【分析】利用三角形外角的性质并结合平行线的性质可得出答案．
【解答】解：如图，
过点G作GH∥ED，
第10页（共28页）∵BC∥ED，
∴ED∥GH∥BC，
∴∠ABC＝∠AGH，∠DEF＝∠HGF，
∵∠HGF+AGH＝90°，
∴∠ABC+∠DEF＝90°
∴∠DEF和∠ABC互余，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，灵活运用性质解决问
题是解题的关键．
8．（3分）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位
置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测
物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4
米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
【分析】根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．
【解答】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，
第11页（共28页）∵汽车的长度大约为4米，
∴横向距离大约是8米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离
值，
∴汽车到观测点的距离约为80米，
故选：C．
【点评】本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写
在答题卡的相应位置上）
9．（3分）若 有意义，则x的取值范围是 x ≥ 1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，解不等式即可求得x的取
值范围．
【解答】解：根据题意得x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关
键．
10．（3分）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为 y ＝ ．
【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可．
【解答】解：令反比例函数为y＝ （k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（2，3），
∴3＝ ，
k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】考查反比例函数的解析式，关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式．
11．（3分）分式方程 ＝1的解为 x ＝ 2 ．
第12页（共28页）【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．
【解答】解：方程的两边都乘以（2x﹣1），得x+1＝2x﹣1，
解得x＝2．
经检验，x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
12．（3分）如图，电路图上有A、B、C3个开关和1个小灯泡，闭合开关C或同时闭合开关A、B
都可以使小灯泡发亮．任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．
【分析】直接由概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，
∴任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合C这1种结果，
∴小灯泡发光的概率为 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率＝所求情况数与总情况数
之比．
13．（3分）如图，AB、AC是 O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，
则∠C＝ 3 5 °． ⊙
【分析】连接AO并延长交 O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD＝90°，从而求
出∠BAE＝55°，然后利用⊙直径所对的圆周角是直角可得∠ABE＝90°，从而利用直角三角
形的两个锐角互余可求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．
第13页（共28页）【解答】解：连接OA并延长交 O于点E，连接BE，
⊙
∵AD与 O相切于点A，
∴∠OAD⊙＝90°，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，
∵AE是 O的直径，
∴∠ABE⊙＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，
∴∠C＝∠E＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得
点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为 ．
【分析】由旋转的性质可得AB'＝AB＝2，由锐角三角函数可求∠DAB'＝60°，由扇形面积公
式可求解．
【解答】解：∵AB＝2BC＝2，
∴BC＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠D＝∠DAB＝90°，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，
第14页（共28页）∴AB'＝AB＝2，
∵cos∠DAB'＝ ＝ ，
∴∠DAB'＝60°，
∴∠BAB'＝30°，
∴线段AB扫过的面积＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活
运用这些性质解决问题是解题的关键．
15．（3分）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n
的取值范围是 1 ≤ n ＜ 1 0 ．
【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口象上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
16．（3分）《庄子•天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l ：y＝ x+1
1
与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线l ：y＝x于点O ，过点O 作y轴的平行线
2 1 1
交直线l 1 于点A 1 ，以此类推，令OA＝a 1 ，O 1 A 1 ＝a 2 ，…，O n﹣1 A n﹣1 ＝a n ，若a 1 +a 2 +…+a n ≤S
对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为 ．
第15页（共28页）【分析】由直线l 的解析式求得A，即可求得a ，把A的坐标代入y＝x求得O 的坐标，进
1 1 1
而求得A 的坐标，即可求得a ，把A 的纵坐标代入y＝x求得O 的坐标，进而求得A 的坐
1 2 1 2 2
标，即可求得a 3 ，…，得到规律，即可求得O n﹣1 A n﹣1 ＝a n ＝（ ）n﹣1，根据a 1 +a 2 +…+a n ≤S
对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为n＝2时的最小值．
【解答】解：把x＝0代入y＝ x+1得，y＝1，
∴A（0，1），
∴OA＝a ＝1，
1
把y＝1代入y＝x得，x＝1，
∴O （1，1），
1
把x＝1代入y＝ x+1得，y＝ ×1+1＝ ，
∴A （1， ），
1
∴O A ＝a ＝ ﹣1＝ ，
1 1 2
把y＝ 代入y＝x得，y＝ ，
∴O （ ， ），
2
把x＝ 代入y＝ x+1得，y＝ × +1＝ ，
∴A （ ， ），
2
第16页（共28页）∴O A ＝a ＝ ﹣ ＝ ，
2 2 3
…，
∴O n﹣1 A n﹣1 ＝a n ＝（ ）n﹣1，
∵a +a +…+a ≤S对任意大于1的整数n恒成立，
1 2 n
∴n＝2时，S的值最小，
∵S≥a +a ＝1+ ＝ ，
1 2
∴S的最小值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合函数的解析式是
解题的关键．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）|﹣3|+tan45°﹣（ ﹣1）0．
【分析】先计算（ ）0，化简绝对值、代入tan45°，最后加减．
【解答】解：原式＝3+1﹣1
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂的意义、绝对值的意义及特殊角的三角函
数值是解决本题的关键．
18．（6分）解不等式组： ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解： ，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
故原不等式组的解集为：1≤x＜2．
第17页（共28页）【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、
灵活运用整体思想是解题的关键．
20．（8分）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核
酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测
点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结
果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，
∴甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人
离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 8 0 m/min；
第18页（共28页）（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．
【分析】（1）用路程除以速度即可得小丽步行的速度；
（2）求出小华的速度，即可求出两人相遇所需的时间，进而可得小丽所走路程，即是他们
到甲地的距离．
【解答】解：（1）由图象可知，小丽步行的速度为 ＝80（m/min），
故答案为：80；
（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是 ＝120（m/min），
∴出发后需要 ＝12（min）两人相遇，
∴相遇时小丽所走的路程为12×80＝960（m），
即当两人相遇时，他们到甲地的距离是960m．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
22．（10分）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．
【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．
【解答】如图，CD为 O的直径，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M．
求证：AM＝BM， ⊙ ， ． ⊙
证明：连接OA、OB，
第19页（共28页）∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，
∴ ， ．
【点评】本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明
是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且
△ACD∽△A′C′D′，若 ③ ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从① ＝ ；② ＝ ；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择
一个作为条件（写序号），并加以证明．
【分析】利用相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似可证明．
【解答】解：③．
理由如下：∵△ACD∽△A′C′D′，
∴∠ADC＝∠A'D'C'，
∴∠ADB＝∠A'D'B'，
∵∠BAD＝∠B'A'D'，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠A'D'C'＝∠B'+∠B'A'D'，
∴∠B＝∠B'，
∴△ABD∽△A'B'D'．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．
第20页（共28页）25．（10分）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．
如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、
BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离
CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈2.24）
【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5，∠ABE＝37°，可求
AE和BE，即可得出AC的长；
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
【解答】
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝ ，cos∠ABE＝ ，
∴ ＝0.60， ＝0.80，
∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝6，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝ ＝3 ．
第21页（共28页）（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1，
∴CF＝5，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝ ＝2 ．
∴OD＝2 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三
角形是解题的关键．
26．（12分）【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1
是其中一种方法的示意图及部分辅助线．
在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一
边的正方形．延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长
DA交IL于点M．
（1）证明：AD＝LC；
（2）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．
【迁移拓展】
（4）如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在
AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、
BFGC的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和SAS证明△ACB≌△HCG，可得结论；
第22页（共28页）（2）证明S△CHG ＝S△CHL ，所以S△AMI ＝S△CHL ，由此可得结论；
（3）证明正方形ACHI的面积+正方形BFGC的面积＝ ADJK的面积+ KJEB的面积＝
正方形ADEB，可得结论； ▱ ▱
（4）如图2，延长IH和FG交于点L，连接LC，以A为圆心CL为半径画弧交IH于一点，过
这一点和A作直线，以A为圆心，AI为半径作弧交这直线于D，分别以A，B为圆心，以
AB，AI为半径画弧交于E，连接AD，DE，BE，则四边形ADEB即为所求．
【解答】（1）证明：如图1，连接MG，
∵四边形ACHI，ABED和BCGF是正方形，
∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∴∠GCH＝∠ACB，
∴△ACB≌△HCG（SAS），
∴GH＝AB＝AD，
∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°，
∴四边形CGLH是矩形，
∴CL＝GH，
∴AD＝LC；
（2）证明一：∵∠CAI＝∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝∠MAI，
∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°，
∴△ABC≌△AMI（ASA），
第23页（共28页）由（1）知：△ACB≌△HCG，
∴△AMI≌△HGC，
∵四边形CGLH是矩形，
∴S△CHG ＝S△CHL ，
∴S△AMI ＝S△CHL ，
∴正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
证明二：∵四边形CGLH是矩形，
∴PH＝PC，
∴∠CHG＝∠LCH，
∴∠CAB＝∠CHG＝∠LCH，
∵∠ACH＝90°，
∴∠ACK+∠LCH＝90°，
∴∠ACK+∠CAK＝90°，
∴∠AKC＝90°，
∴∠AKC＝∠BAD＝90°，
∴DM∥LK，
∵AC∥LI，
∴四边形ACLM是平行四边形，
∵正方形ACHI的面积＝AC•CH， ACLH的面积＝AC•CH，
∴正方形ACHI的面积等于四边形▱ACLM的面积；
（3）证明：由正方形ADEB可得AB∥DE，
又AD∥LC，
∴四边形ADJK是平行四边形，
第24页（共28页）由（2）知，四边形ACLM是平行四边形，
由（1）知：AD＝LC，
∴ ADJK的面积＝ ACLM的面积＝正方形ACHI，
延▱长EB交LG于Q，▱
同理有 KJEB的面积＝ CBQL的面积＝正方形BFGC，
∴正方▱形ACHI的面积+正▱方形BFGC的面积＝ ADJK的面积+ KJEB的面积＝正方形
ADEB， ▱ ▱
∴AC2+BC2＝AB2；
（4）解：如图2即为所求作的 ADEB．
▱
【点评】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质
和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的证明等知识；熟练掌握正方形的
第25页（共28页）性质和全等相似三角形的判定与性质，根据图形面积的关系证出勾股定理是解题的关键，
属于中考常考题型．
27．（14分）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加
一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置
有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂
直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2
所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 （﹣ 3 ， 4 ）或（ 3 ， 4 ） ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画 M，是否存在所描的点在
M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由． ⊙
【⊙分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横
坐标，进而可得出点的坐标；
【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣ ，n﹣1）或（ ，n﹣1），结合点横、纵坐
标间的关系，可得出该点在二次函数y＝ x2﹣ 的图象上，进而可证出小明的猜想正确；
【深度思考】设该点的坐标为（± ，n﹣1），结合 M的圆心坐标，利用勾股定理，即
⊙
第26页（共28页）可用含n的代数式表示出m的值，再结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y
＝5﹣1＝4，
∵横坐标x＝± ＝±3，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n
﹣1），
∴该点的横坐标为± ＝± ，
∴该点的坐标为（﹣ ，n﹣1）或（ ，n﹣1）．
∵（± ）2＝2n﹣1，n﹣1＝ ，
∴该点在二次函数y＝ （x2﹣1）＝ x2﹣ 的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（± ，n﹣1）， M的圆心坐标为（0， m），
⊙
∴ ＝ m，
∴m＝ ＝ ＝ ＝n﹣1+2+ ．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的点在 M上，m的值为4．
⊙
第27页（共28页）【点评】本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，
解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、
纵坐标间的关系，找出点在二次函数y＝ x2﹣ 的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用
含n的代数式表示出m的值．
第28页（共28页）
