文档内容
2021年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：3×（﹣2）＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）计算：（a3b）﹣2＝（ ）
A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b
4．（3分）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝
50°，则∠1的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则 的值为（ ）
第1页（共21页）A． B． C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得
到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
7．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝
6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6 cm D．8cm
8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝ ．
10．（3分）正九边形一个内角的度数为 ．
11．（3分）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对
角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ．
12．（3分）若A（1，y ），B（3，y ）是反比例函数y＝ （m＜ ）图象上的两点，则y 、y 的
1 2 1 2
第2页（共21页）大小关系是y y .（填“＞”、“＝”或“＜”）
1 2
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4， O的半径为1．若 O在正方形ABCD内平移
（ O 可以与该正方形的边相切），则⊙点 A 到 O 上的⊙点的距离的最大值为
．⊙ ⊙
三、解答题（共13小题，计18分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：（﹣ ）0+|1﹣ |﹣ ．
15．（5分）解不等式组： ．
16．（5分）解方程： ﹣ ＝1．
17．（5分）如图，已知直线l ∥l ，直线l 分别与l 、l 交于点A、B．请用尺规作图法，在线段
1 2 3 1 2
AB上求作一点P，使点P到l 、l 的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
1 2
18．（5分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
第3页（共21页）19．（5分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售
10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装
每件的标价．
20．（5分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3
的概率为 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随
机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概
率．
21．（6分）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮
想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不
易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知
B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）
22．（7分）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕
式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平
均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天
的日平均气温，并绘制成如下统计图：
第4页（共21页）根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的中位数为 ，众数为 ；
（2）求这60天的日平均气温的平均数；
（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西
安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．
23．（7分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，
“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路
返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是
m/min；
（2）求AB的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．
24．（8分）如图，AB是 O的直径，点E、F在 O上，且 ＝2 ，连接OE、AF，过点B作
⊙ ⊙
第5页（共21页）O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
⊙（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．
25．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与
△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，在 ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且
DF＝5，求四边▱形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地
上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个
四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝
2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，
CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积
尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求
四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．
第6页（共21页）2021年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：3×（﹣2）＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
【解答】解：3×（﹣2）＝﹣6．
故选：D．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
3．（3分）计算：（a3b）﹣2＝（ ）
A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b
【解答】解：（a3b）﹣2＝ ＝ ．
故选：A．
4．（3分）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝
50°，则∠1的大小为（ ）
第7页（共21页）A．60° B．70° C．75° D．85°
【解答】解：∵∠1＝∠B+∠ADB，∠ADB＝∠A+∠C，
∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），
∴∠1＝180°﹣（25°+35°+50°），
∴∠1＝180°﹣110°，
∴∠1＝70°，
故选：B．
5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝ ∠ABC＝30°，
第8页（共21页）∵tan∠ABD＝ ，
∴ ，
故选：D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得
到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，
把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，
解得m＝﹣5．
故选：A．
7．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝
6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6 cm D．8cm
【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝ AC＝ ×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
第9页（共21页）在Rt△BCM中，
∵BM＝5，CM＝3，
∴BM＝ ＝ ＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题知 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣ ）2﹣ ，
∴（1）函数图象开口向上，
（2）与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），
（3）当x＝ 时，函数有最小值为﹣ ，
第10页（共21页）（4）函数对称轴为直线x＝ ，根据图象可知当当x＞ 时，y的值随x值的增大而增大，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝ x （ x + 3 ） 2 ．
【解答】解：原式＝x（9+6x+x2）
＝x（x+3）2．
故答案为x（x+3）2
10．（3分）正九边形一个内角的度数为 140 ° ．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝ ＝140°．
故答案为：140°．
11．（3分）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对
角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ﹣ 2 ．
【解答】解：依题意得：﹣1﹣6+1＝0+a﹣4，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）若A（1，y ），B（3，y ）是反比例函数y＝ （m＜ ）图象上的两点，则y 、y 的
1 2 1 2
大小关系是y ＜ y .（填“＞”、“＝”或“＜”）
1 2
【解答】解：∵2m﹣1＜0(m＜ )，
∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵0＜1＜3，
∴y ＜y ，
1 2
故答案为：＜．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4， O的半径为1．若 O在正方形ABCD内平移
第11页（⊙共21页）
⊙（ O可以与该正方形的边相切），则点A到 O上的点的距离的最大值为 3 +1 ．
⊙ ⊙
【解答】解：当 O与CB、CD相切时，点A到 O上的点Q的距离最大，如图，
过O点作OE⊥B⊙C于E，OF⊥CD于F， ⊙
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝ BC＝4 ，OC＝ OE＝ ，
∴AQ＝OA+OQ＝4 ﹣ +1＝3 +1，
即点A到 O上的点的距离的最大值为3 +1，
故答案为⊙3 +1．
三、解答题（共13小题，计18分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：（﹣ ）0+|1﹣ |﹣ ．
【解答】解：原式＝1+ ﹣1﹣2
＝﹣ ．
15．（5分）解不等式组： ．
【解答】解：解不等式x+5＜4，得：x＜﹣1，
第12页（共21页）解不等式 ≥2x﹣1，得：x≤3，
∴不等式组的解集为x＜﹣1．
16．（5分）解方程： ﹣ ＝1．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），
x2﹣2x+1﹣3＝x2﹣1，
x2﹣2x﹣x2＝﹣1﹣1+3，
﹣2x＝1，
x＝﹣ ，
检验：当x＝﹣ 时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣ 是原方程的解．
17．（5分）如图，已知直线l ∥l ，直线l 分别与l 、l 交于点A、B．请用尺规作图法，在线段
1 2 3 1 2
AB上求作一点P，使点P到l 、l 的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
1 2
【解答】解：如图，点P为所作．
18．（5分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
第13页（共21页）【解答】证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
19．（5分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售
10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装
每件的标价．
【解答】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意得，
10×0.8x＝11（x﹣30），
解得x＝110，
答：这种服装每件的标价为110元．
20．（5分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3
的概率为 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随
机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概
率．
【解答】解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌
面数字是3的概率为 ＝ ，
第14页（共21页）故答案为： ；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为 ＝ ．
21．（6分）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮
想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不
易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知
B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）
【解答】解：在△ADC中，设AD＝x，
∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，
在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，
∴AD＝BD•tan30°，
即x＝ (16+x)，
解得：x＝8 +8，
∴AB＝2AD＝2×（8 ）＝16 ，
∴钢索AB的长度约为（16 ）m．
22．（7分）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕
式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平
均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天
第15页（共21页）的日平均气温，并绘制成如下统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的中位数为 19. 5 ℃ ，众数为 1 9 ℃ ；
（2）求这60天的日平均气温的平均数；
（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西
安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．
【解答】解：（1）这60天的日平均气温的中位数为 ＝19.5（℃），众数为19℃，
故答案为：19.5℃，19℃；
（ 2 ） 这 60 天 的 日 平 均 气 温 的 平 均 数 为 ×
（17×5+18×12+19×13+20×9+21×6+22×4+23×6+24×5）＝20（℃）；
（3）∵ ×30＝20（天），
∴估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天．
23．（7分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，
“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路
返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 1
m/min；
（2）求AB的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．
第16页（共21页）【解答】解：（1）由图像知：“鼠”6min跑了30m,
∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min）,
“猫”5min跑了30m,
∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min）,
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1(m/min),
故答案为：1；
（2）设AB的解析式为：y＝kx+b,
∵图象经过A(7,30)和B(10,18),
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
,
解得： ,
∴AB的解析式为:y＝﹣4x+58；
(3)令y＝0,则﹣4x+58＝0，
∴x＝14.5，
∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）．
答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．
24．（8分）如图，AB是 O的直径，点E、F在 O上，且 ＝2 ，连接OE、AF，过点B作
O的切线，分别与⊙OE、AF的延长线交于⊙点C、D．
⊙（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．
第17页（共21页）【解答】（1）证明：取 的中点M，连接OM、OF，
∵ ＝2 ，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠COB＝ ∠BOF，
∵∠A＝ ∠COF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：连接BF，如图，
∵CD为 O的切线，
∴AB⊥C⊙D，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得BD＝8，
在Rt△ABD中，AD＝ ＝ ＝10，
∵AB是 O的直径，
∴∠AFB⊙＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽Rt△DAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DF＝ ．
第18页（共21页）25．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与
△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，
取x＝0，得y＝8，
∴C(0，8)，
取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∴B(4，0)；
（2）存在点P，设P(0，y)，
∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，
∴ ，
即： ，
解得：y ＝16， ，
1
∴P(0，16)或P(0， )．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，在 ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且
DF＝5，求四边▱形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地
上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个
第19页（共21页）四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝
2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，
CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积
尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求
四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∴∠ADH＝∠BAD＝45°，
在Rt△ADH中，AD＝6，
∴AH＝AD•sinA＝6×sin45°＝3 ，
∵点E是AD的中点，
∴DE＝ AD＝3，
同理EG＝ ，
∵DF＝5，
∴FC＝CD﹣DF＝3，
∴S四边形ABFE ＝S
ABCD
﹣S△DEF ﹣S△BFC ＝8×3 ﹣ ×5× ﹣ ×3×3 ＝ ；
▱
（2）存在，如图2，分别延长AE，与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，
∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，
设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，
第20页（共21页）∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，
∴S四边形OPMN ＝S矩形ABCK ﹣S△AMN ﹣S△BON ﹣S△OCP ﹣S△PKM
＝800×1200﹣ x（1200﹣2x）﹣ •2x（800﹣x）﹣ x（1200﹣2x）﹣ •2x（800﹣x）
＝4（x﹣350）2+470000，
∴当x＝350时，S四边形OPMN最小 ＝470000（平方米），
AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为47000平方米，此时，点N到点A的距
离为350米．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/6/26 7:54:10；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557
第21页（共21页）
