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2022年浙江省绍兴市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选
项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）实数 的相反数是
A． B． C． D．6
2．（4分）2022年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力，减排320000吨二氧化碳．数字
320000用科学记数法表示是
A． B． C． D．
3．（4分）由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是
A． B． C． D．
4．（4分）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任
意摸出一个球为红球的概率是
A． B． C． D．
5．（4分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，把一块三角板 的直角顶点 放在直线 上， ， ，则
第1页（共27页）A． B． C． D．
7．（4分）已知抛物线 的对称轴为直线 ，则关于 的方程 的根是
A．0，4 B．1，5 C．1， D． ，5
8．（4分）如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上
的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 ；
②存在无数个矩形 ；
③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 ．
其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）已知 ， ， ， ， ， 为直线 上的三个点，且 ，则
以下判断正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（4分）将一张以 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片
中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的
四边形纸片 ，其中 ， ， ， ， ，则剪掉的两个直角
三角形的斜边长不可能是
A． B． C．10 D．
第2页（共27页）二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式： ．
12．（5分）关于 的不等式 的解集是 ．
13．（5分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十
里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行
150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ．
14．（5分）如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径作弧，
交射线 于点 ，连结 ，则 的度数是 ．
15．（5分）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，将 向右平移到
位置， 的对应点是 ， 的对应点是 ，函数 的图象经过点 和 的中点 ，
则 的值是 ．
16．（5分）如图， ，点 是射线 上的动点，连结 ，作 ， ，动
点 在 延长线上， ，连结 ， ，当 ， 时， 的长是
．
三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每
小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）计算： ．
第3页（共27页）（2）解方程组： ．
18．（8分）双减政策实施后，学校为了解八年级学生每日完成书面作业所需时长 （单位：小
时）的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所收集的数据分组
整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．
八年级学生每日完成书面作业所需时长情况的统计表
组别 所需时长（小时） 学生人数（人
15
5
（1）求统计表中 ， 的值．
（2）已知该校八年级学生有800人，试估计该校八年级学生中每日完成书面作业所需时长满
足 的共有多少人．
19．（8分）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个
时刻的水位高度，其中 表示进水用时（单位：小时）， 表示水位高度（单位：米）．
0 0.5 1 1.5 2
1 1.5 2 2.5 3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，
， ．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应
的函数表达式，并画出这个函数的图象．
（2）当水位高度达到5米时，求进水用时 ．
第4页（共27页）20．（8分）圭表（如图 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它
包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺
（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的
那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭
表平面示意图，表 垂直圭 ，已知该市冬至正午太阳高度角（即 为 ，夏至正
午太阳高度角（即 为 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 的长）为4米．
（1）求 的度数．
（2）求表 的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据： ， ， ，
21．（10分）如图，半径为6的 与 的边 相切于点 ，交边 于点 ， ，
，连结 ， ．
（1）若 ，求 的长（结果保留 ．
（2）求证： 平分 ．
第5页（共27页）22．（12分）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ．
是边 上的动点（不与 ， 重合），连结 ，将 沿 翻折得 ，连结 ，记
．
（1）如图，当 与 重合时，求 的度数．
（2）当 与 不重合时，记 ，探究 与 的数量关系．
23．（12分）已知函数 ， 为常数）的图象经过点 ， ．
（1）求 ， 的值．
（2）当 时，求 的最大值．
（3）当 时，若 的最大值与最小值之和为2，求 的值．
24．（14分）如图，在矩形 中， ， ，动点 从点 出发，沿边 ， 向点
运动， ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，连结 ．
（1）如图，当 在边 上且 时，求 的度数．
（2）当 在 延长线上时，求 的长，并判断直线 与直线 的位置关系，说明理由．
（3）当直线 恰好经过点 时，求 的长．
第6页（共27页）2022年浙江省绍兴市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选
项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）实数 的相反数是
A． B． C． D．6
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解： 的相反数是6，
故选： ．
2．（4分）2022年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力，减排320000吨二氧化碳．数字
320000用科学记数法表示是
A． B． C． D．
【分析】把较大的数写成 ， 为正整数）的形式即可．
【解答】解： ，
故选： ．
3．（4分）由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的图形，可以画出主视图，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
第7页（共27页）题目中图形的主视图是 ，
故选： ．
4．（4分）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任
意摸出一个球为红球的概率是
A． B． C． D．
【分析】根据红球可能出现的结果数 所有可能出现的结果数即可得出答案．
【解答】解： 总共有4个球，其中红球有3个，摸到每个球的可能性都相等，
摸到红球的概率 ，
故选： ．
5．（4分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据多项式除以单项式判断 选项；根据同底数幂的乘法判断 选项；根据完全平方
公式判断 选项；根据幂的乘方判断 选项．
【解答】解： 选项，原式 ，故该选项符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
6．（4分）如图，把一块三角板 的直角顶点 放在直线 上， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质，可以得到 的度数，再根据 ，可以得到 的度
数．
第8页（共27页）【解答】解： ， ，
，
，
，
故选： ．
7．（4分）已知抛物线 的对称轴为直线 ，则关于 的方程 的根是
A．0，4 B．1，5 C．1， D． ，5
【分析】根据抛物线 的对称轴为直线 ，可以得到 的值，然后解方程即可．
【解答】解： 抛物线 的对称轴为直线 ，
，
解得 ，
方程 可以写成 ，
，
，
解得 ， ，
故选： ．
8．（4分）如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上
的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 ；
②存在无数个矩形 ；
③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 ．
其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
第9页（共27页）【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【解答】解：连接 ， ，且令 ， ， 相交于点 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
只要 ，那么四边形 就是平行四边形，
点 ， 是 上的动点，
存在无数个平行四边形 ，故①正确；
只要 ， ，则四边形 是矩形，
点 ， 是 上的动点，
存在无数个矩形 ，故②正确；
只要 ， ，则四边形 是菱形，
点 ， 是 上的动点，
存在无数个菱形 ，故③正确；
只要 ， ， ，则四边形 是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选： ．
9．（4分）已知 ， ， ， ， ， 为直线 上的三个点，且 ，则
以下判断正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解： 直线 ，
随 的增大而减小，当 时， ，
， ， ， ， ， 为直线 上的三个点，且 ，
第10页（共27页）若 ，则 ， 同号，但不能确定 的正负，故选项 不符合题意；
若 ，则 ， 异号，但不能确定 的正负，故选项 不符合题意；
若 ，则 ， 同号，但不能确定 的正负，故选项 不符合题意；
若 ，则 ， 异号，则 ， 同时为负，故 ， 同时为正，故 ，故选项 符
合题意；
故选： ．
10．（4分）将一张以 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片
中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的
四边形纸片 ，其中 ， ， ， ， ，则剪掉的两个直角
三角形的斜边长不可能是
A． B． C．10 D．
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪
掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：如右图1所示，
由已知可得， ，
则 ，
设 ， ，
则 ，
解得 ，
，故选项 不符合题意；
第11页（共27页），故选项 不符合题意；
如图2所示，
由已知可得， ，
则 ，
设 ， ，
则 ，
解得 ，
，故选项 不符合题意；
，
故选： ．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式： ．
【分析】直接提取公因式 ，进而分解因式得出即可．
【解答】解： ．
第12页（共27页）故答案为： ．
12．（5分）关于 的不等式 的解集是 ．
【分析】根据解一元一次不等式步骤即可解得答案．
【解答】解： ，
，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
13．（5分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十
里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行
150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 2 0 ．
【分析】设良马 天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得： ，即
可解得良马20天追上劣马．
【解答】解：设良马 天追上劣马，
根据题意得： ，
解得 ，
答：良马20天追上劣马；
故答案为：20．
14．（5分）如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径作弧，
交射线 于点 ，连结 ，则 的度数是 或 ．
【分析】分两种情况画图，由作图可知得 ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定
理解答即可．
【解答】解：如图，点 即为所求；
第13页（共27页）在 中， ， ，
，
由作图可知： ，
，
；
由作图可知： ，
，
，
，
．
综上所述： 的度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
15．（5分）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，将 向右平移到
位置， 的对应点是 ， 的对应点是 ，函数 的图象经过点 和 的中点 ，
则 的值是 6 ．
【分析】根据反比例函数 的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
【解答】解：过点 作 轴， 轴， 轴，
根据题意可知， ，
设 ，
四边形 的面积为 ，
第14页（共27页）为 的中点， 轴， 轴，
为 的中位线，
， ，
四边形 的面积为 ，
，
解得： ，
．
故答案为：6．
16．（5分）如图， ，点 是射线 上的动点，连结 ，作 ， ，动
点 在 延长线上， ，连结 ， ，当 ， 时， 的长是
．
【分析】如图，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接
．由 ，可以假设 ， ，证明 ，推出
， ，再利用勾股定理，构建方程求解即可．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连
接 ．
第15页（共27页），
可以假设 ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
， ， ， 四点共圆，
，
，
，
，
，
整理得 ，
，
和 ，
或 ，
第16页（共27页）故答案为：5或 ．
三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每
小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）（1）计算： ．
（2）解方程组： ．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，二次根式的性质与化简进行
计算即可；
（2）根据加减法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2） ，
① ②得： ，
解得 ，
把 代入②，得： ，
原方程组的解是 ．
18．（8分）双减政策实施后，学校为了解八年级学生每日完成书面作业所需时长 （单位：小
时）的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所收集的数据分组
整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．
八年级学生每日完成书面作业所需时长情况的统计表
组别 所需时长（小时） 学生人数（人
15
第17页（共27页）5
（1）求统计表中 ， 的值．
（2）已知该校八年级学生有800人，试估计该校八年级学生中每日完成书面作业所需时长满
足 的共有多少人．
【分析】（1）先求出被调查总人数，再根据扇形统计图求出 ，用总人数减去 、 、 的人
数，即可得 的值；
（2）用被调查情况估计八年级800人的情况，即可得到答案．
【解答】解：（1）被调查总人数： （人 ，
（人 ，
（人 ，
答： 为60， 为20；
（2） 当 时，在被调查的100人中有 （人 ，
在该校八年级学生 800 人中，每日完成书面作业所需时长满足 的共有
（人 ，
答：估计共有640人．
19．（8分）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个
时刻的水位高度，其中 表示进水用时（单位：小时）， 表示水位高度（单位：米）．
0 0.5 1 1.5 2
1 1.5 2 2.5 3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，
， ．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应
的函数表达式，并画出这个函数的图象．
第18页（共27页）（2）当水位高度达到5米时，求进水用时 ．
【分析】（1）根据表格数对画出函数图象即可；然后利用待定系数法即可求出相应的函数表
达式；
（2）结合（1）的函数表达式，代入值即可解决问题．
【解答】解：（1）函数的图象如图所示：
根据图象可知：选择函数 ，
将 ， 代入，
得
解得
函数表达式为： ；
第19页（共27页）（2）当 时， ，
．
答：当水位高度达到5米时，进水用时 为4小时．
20．（8分）圭表（如图 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它
包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺
（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的
那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭
表平面示意图，表 垂直圭 ，已知该市冬至正午太阳高度角（即 为 ，夏至正
午太阳高度角（即 为 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 的长）为4米．
（1）求 的度数．
（2）求表 的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据： ， ， ，
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
（2）分别求出 和 的正切值，用 表示出 和 ，得到一个只含有 的关
系式，再解答即可．
【解答】解：（1） ， ，
，
答： 的度数是 ．
（2）在 中， ，
．
在 中， ，
第20页（共27页），
，
，
（米 ，
答：表 的长是3.3米．
21．（10分）如图，半径为6的 与 的边 相切于点 ，交边 于点 ， ，
，连结 ， ．
（1）若 ，求 的长（结果保留 ．
（2）求证： 平分 ．
【分析】（1）连结 ，由 ，得 ，由弧长公式即得 的长为 ；
（2）根据 切 于点 ， ，可得 ，有 ，而 ，即可
得 ，从而 平分 ．
【解答】（1）解：连结 ，如图：
，
，
；
（2）证明： ，
，
第21页（共27页）切 于点 ，
，
，
，
，
，
平分 ．
22．（12分）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ．
是边 上的动点（不与 ， 重合），连结 ，将 沿 翻折得 ，连结 ，记
．
（1）如图，当 与 重合时，求 的度数．
（2）当 与 不重合时，记 ，探究 与 的数量关系．
【分析】（1）由 ， ，得 ，根据 平分 ， 与 重合，
即得 ，从而 ；
（2）分两种情况：①当点 在线段 上时，可得 ，根据
，即可得 ；②当点 在线段 上时，延长 交
于 点 ， 由 ， 又 ，
可得 ， ．
【解答】解：（1） ， ，
，
平分 ， 与 重合，
在 边上， ，
，
；
答： 的度数为 ；
（2）①当点 在线段 上时，如图：
第22页（共27页）将 沿 翻折得 ，
，
， ，
，
又 ， ， ，
，
，
②如图2，当点 在线段 上时，延长 交 于点 ，如图：
将 沿 翻折得 ，
，
， ，
，
又 ， ，
，
，
；
综上所述，当点 在线段 上时， ；当点 在线段 上时， ．
23．（12分）已知函数 ， 为常数）的图象经过点 ， ．
第23页（共27页）（1）求 ， 的值．
（2）当 时，求 的最大值．
（3）当 时，若 的最大值与最小值之和为2，求 的值．
【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据 的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定 的
最大值即可；
（3）根据对称轴为 ，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出 的取值范围即可．
【解答】解：（1）把 ， 代入 ，
得 ， ．
（2） ，
又 ，
当 时， 有最大值为6．
（3）①当 时，
当 时， 有最小值为 ，
当 时， 有最大值为 ，
，
或 （舍去）．
②当 时，
当 时 有最大值为6，
的最大值与最小值之和为2，
最小值为 ，
，
或 （舍去）．
综上所述， 或 ．
24．（14分）如图，在矩形 中， ， ，动点 从点 出发，沿边 ， 向点
运动， ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，连结 ．
（1）如图，当 在边 上且 时，求 的度数．
第24页（共27页）（2）当 在 延长线上时，求 的长，并判断直线 与直线 的位置关系，说明理由．
（3）当直线 恰好经过点 时，求 的长．
【分析】（1）由 知， ，可知 ，从而得出答案；
（2）根据对称性得， ，则 ，得 ，利用 证明
，得 ，则 ；
（3）当 在边 上时，若直线 过点 ，利用 证明 ，得 ，当
点 在边 上时，利用 ，则 ，从而解决问题．
【解答】解：（1） ，
，
四边形 是矩形，
，
．
由对称性知 ，
．
（2）如图2， ， ，
，
当 落在 延长线上时， ，
第25页（共27页）．
由对称性得， ，
，
得 ，
．
， ，
，
，
．
（3）如图3，当 在边 上时，
，
．
， ，
，
第26页（共27页）．
如图4，点 在边 上时，
， ，
， ．
，
，
，
，
．
综上所述， 的长为 或 ．
第27页（共27页）
