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2022年浙江省舟山市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、
错选，均不得分）
1．（3分）若收入3元记为 ，则支出2元记为
A．1 B． C．2 D．
2．（3分）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是
A． B．
C． D．
3．（3分）根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数
据251000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（3分）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是
A． B．
C． D．
5．（3分）估计 的值在
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
6．（3分）如图，在 中， ．点 ， ， 分别在边 ， ， 上，
， ，则四边形 的周长是
第1页（共26页）A．32 B．24 C．16 D．8
7．（3分） ， 两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列关于他们射击成绩的平均数和
方差的描述中，能说明 成绩较好且更稳定的是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
8．（3分）上学期某班的学生都是双人桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 ，
本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生 人，女生 人，根
据题意可得方程组为
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在 和 中， ，点 在边 的中点上，若
， ，连结 ，则 的长为
A． B． C．4 D．
10．（3分）已知点 ， 在直线 为常数， 上，若 的最大值为9，
则 的值为
A． B．2 C． D．1
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
第2页（共26页）11．（4分）分解因式： ．
12．（4分）正八边形一个内角的度数为 ．
13．（4分）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．
从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是 ．
14．（4分）如图，在直角坐标系中， 的顶点 与原点 重合，点 在反比例函数
的图象上，点 的坐标为 ， 与 轴平行，若 ，则 ．
15．（4分）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点 处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈
水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点 ， 处，
当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为 ．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使 扩大到原来的
倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （用含 ， 的代数式表示）．
16．（4分）如图，在扇形 中，点 ， 在 上，将 沿弦 折叠后恰好与 ， 相
切于点 ， ．已知 ， ，则 的度数为 ，折痕 的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10
第3页（共26页）分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）计算： ．
（2）解不等式： ．
18．（6分）小惠自编一题：“如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ，
．求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明： ， ， 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才
能证明．
垂直平分 ．
， ，
四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“ ”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并
证明．
19．（6分）观察下面的等式： ， ， ，
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 的等式表示， 为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
20．（8分）6月13日，某港口的湖水高度 和时间 的部分数据及函数图象如下：
11 12 13 14 15 16 17 18
189 137 103 80 101 133 202 260
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当 时， 的值为多少？当 的值最大时， 的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过 时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合
第4页（共26页）货 轮 进 出 此 港 口 ？
21．（8分）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图
形，其示意图如图 2，已知 ， ， ， ，
．
（1）连结 ，求线段 的长．
（2）求点 ， 之间的距离．
（结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ，
，
22．（10分）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区
1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足 ，请回答第2个问题：
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）．
第5页（共26页）．没时间
．家长不舍得
．不喜欢
．其它
中小学生每周参加家庭劳动时间 分为5组：第一组 ，第二组 ，第
三组 ，第四组 ，第五组 ．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于 ．请结合上述统计图，
对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
23．（10分）已知抛物线 经过点 ．
（1）求抛物线 的函数表达式．
（2）将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ．若抛物线 的顶点关于坐标原点
的对称点在抛物线 上，求 的值．
（3）把抛物线 向右平移 个单位得到抛物线 ．已知点 ， 都在抛
物线 上，若当 时，都有 ，求 的取值范围．
第6页（共26页）24．（12分）如图1，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，连结 ， 交于
点 ，已知 ．
（1）线段 与 垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点 ， ， 的圆交 于点 ，连结 交 于点 ．求证： ．
（3）如图 3，在（2）的条件下，当点 是线段 的中点时，求 的值．
第7页（共26页）2022年浙江省舟山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、
错选，均不得分）
1．（3分）若收入3元记为 ，则支出2元记为
A．1 B． C．2 D．
【分析】根据正负数的意义可得收入为正，支出为负解答即可．
【解答】解：若收入3元记为 ，则支出2元记为 ，
故选： ．
2．（3分）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看底层是三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选： ．
3．（3分）根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数
据251000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【解答】解： ．
故选： ．
4．（3分）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是
第8页（共26页）A． B．
C． D．
【分析】根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图可知，选项 、 、 中的线都可以作为角平分线；
选项 中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，
故选： ．
5．（3分）估计 的值在
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【分析】根据无理数的估算分析解题．
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
6．（3分）如图，在 中， ．点 ， ， 分别在边 ， ， 上，
， ，则四边形 的周长是
A．32 B．24 C．16 D．8
【分析】根据 ， ，可以得到四边形 是平行四边形， ，
，再根据 和等量代换，即可求得四边形 的周长．
第9页（共26页）【解答】解： ， ，
四边形 是平行四边形， ， ，
，
，
， ，
， ，
四边形 的周长是 ，
四边形 的周长是 ，
，
四边形 的周长是 ，
故选： ．
7．（3分） ， 两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列关于他们射击成绩的平均数和
方差的描述中，能说明 成绩较好且更稳定的是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【分析】根据平均数及方差的意义直接求解即可．
【解答】解： ， 两名射击运动员进行了相同次数的射击，当 的平均数大于 ，且方差比
小时，能说明 成绩较好且更稳定．
故选： ．
8．（3分）上学期某班的学生都是双人桌，其中 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 ，
本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生 人，女生 人，根
据题意可得方程组为
A． B． C． D．
第10页（共26页）【分析】根据 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 ，可以得到 ，根据本学期
该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，可得 ，从而可以列出相应的方程组，本
题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选： ．
9．（3分）如图，在 和 中， ，点 在边 的中点上，若
， ，连结 ，则 的长为
A． B． C．4 D．
【分析】根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到 和 的长，根据等
面积法可以求得 的长，再根据勾股定理求得 的长，最后计算出 的长即可．
【解答】解：作 交 的延长线于点 ，作 交 的延长线于点 ，
， ，点 是 的中点，
， ，
，
，
，
，
，
第11页（共26页）解得 ，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
， ，
， ，
，
，
故选： ．
10．（3分）已知点 ， 在直线 为常数， 上，若 的最大值为9，
则 的值为
A． B．2 C． D．1
【 分 析 】 由 点 ， 在 直 线 上 ， 可 得 ， 即 得
，根据 的最大值为9，得 ，即可求出 ．
【解答】解： 点 ， 在直线 上，
，
第12页（共26页）由①可得： ，
的最大值为9，
， ，
解得 ，
把 代入②得： ，
，
故选： ．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）分解因式： ．
【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．
【解答】解： ．
故答案为： ．
12．（4分）正八边形一个内角的度数为 ．
【分析】首先根据多边形内角和定理： ，且 为正整数）求出内角和，然后再
计算一个内角的度数．
【解答】解：正八边形的内角和为： ，
每一个内角的度数为 ．
故答案为： ．
13．（4分）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．
从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是 ．
【分析】直接根据概率公式可求解．
【解答】解： 盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，
从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是 ；
故答案为： ．
14．（4分）如图，在直角坐标系中， 的顶点 与原点 重合，点 在反比例函数
第13页（共26页）的图象上，点 的坐标为 ， 与 轴平行，若 ，则 3 2
．
【分析】由点 的坐标为 求出 ，又 ， 与 轴平行，可得 ，用待
定系数法即得答案．
【解答】解： 点 的坐标为 ， ，
，
，
与 轴平行，
，
把 代入 得：
，
解得 ，
故答案为：32．
15．（4分）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点 处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈
水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点 ， 处，
当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为 ．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使 扩大到原来的
倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （用含 ， 的代数式表示）．
第14页（共26页）【分析】根据“动力 动力臂 阻力 阻力臂”分别列式，从而代入计算．
【解答】解：如图，设装有大象的铁笼重力为 ，将弹簧秤移动到 的位置时，弹簧秤的度
数为 ，
由题意可得 ， ，
，
又 ，
，
故答案为： ．
16．（4分）如图，在扇形 中，点 ， 在 上，将 沿弦 折叠后恰好与 ， 相
切于点 ， ．已知 ， ，则 的度数为 ，折痕 的长为 ．
【分析】设翻折后的弧的圆心为 ，连接 ， ， ， ， 交 于点 ，可得
第15页（共26页）， ， ，根据切线的性质开证明 ，则可得 的度
数；然后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为 ，连接 ， ， ， ， 交 于点
，
， ， ，
将 沿弦 折叠后恰好与 ， 相切于点 ， ．
，
，
，
则 的度数为 ；
，
，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ， ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10
分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）计算： ．
第16页（共26页）（2）解不等式： ．
【分析】（1）根据立方根和零指数幂可以解答本题；
（2）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
移项及合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ．
18．（6分）小惠自编一题：“如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ，
．求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明： ， ， 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才
能证明．
垂直平分 ．
， ，
四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“ ”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并
证明．
【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件： ，证明如下：
， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形．
19．（6分）观察下面的等式： ， ， ，
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 的等式表示， 为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
第17页（共26页）【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含 的等式表达即可；
（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．
【解答】解：（1）观察规律可得： ；
（2）
，
．
20．（8分）6月13日，某港口的湖水高度 和时间 的部分数据及函数图象如下：
11 12 13 14 15 16 17 18
189 137 103 80 101 133 202 260
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当 时， 的值为多少？当 的值最大时， 的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过 时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合
货 轮 进 出 此 港 口 ？
第18页（共26页）【分析】（1）①先描点，然后画出函数图象；
②利用数形结合思想分析求解；
（2）结合函数图象增减性及最值进行分析说明；
（3）结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围．
【解答】解：（1）①如图：
②通过观察函数图象，当 时， ，当 值最大时， ；
（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）
①当 时， 随 的增大而增大；
②当 时， 有最小值为80；
（3）由图象，当 时， 或 或 或 ，
当 或 时， ，
第19页（共26页）即当 或 时，货轮进出此港口．
21．（8分）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图
形，其示意图如图 2，已知 ， ， ， ，
．
（1）连结 ，求线段 的长．
（2）求点 ， 之间的距离．
（结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ，
，
【分析】（1）过点 作 于点 ，根据等腰三角形的性质可得 ，利用锐角
三角函数即可解决问题；
（2）根据横截面是一个轴对称图形，延长 交 、 延长线于点 ，连接 ，所以
，根据直角三角形两个锐角互余可得 ，然后利用锐角三角函数即
可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过点 作 于点 ，
， ．
，
，
，
线段 的长约为 ；
（2） 横截面是一个轴对称图形，
延长 交 、 延长线于点 ，
连接 ，
第20页（共26页），
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
点 ， 之间的距离 ．
22．（10分）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区
1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足 ，请回答第2个问题：
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）．
．没时间
．家长不舍得
．不喜欢
．其它
中小学生每周参加家庭劳动时间 分为5组：第一组 ，第二组 ，第
第21页（共26页）三组 ，第四组 ，第五组 ．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于 ．请结合上述统计图，
对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论；
（2）用1200乘“不喜欢”所占百分比即可；
（3）根据中位数解答即可．
【解答】解：（1）由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第
600个和第601个数据的平均数，
故中位数落在第二组；
（2） （人 ，
答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；
（3）由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于 ，建议学校多开
展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）．
23．（10分）已知抛物线 经过点 ．
（1）求抛物线 的函数表达式．
（2）将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ．若抛物线 的顶点关于坐标原点
的对称点在抛物线 上，求 的值．
（3）把抛物线 向右平移 个单位得到抛物线 ．已知点 ， 都在抛
物线 上，若当 时，都有 ，求 的取值范围．
【分析】（1）把 代入 即可解得抛物线 的函数表达式为 ；
（2）将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ，顶点为 ，关于原点的对
第22页（共26页）称点为 ，代入 可解得 的值为4；
（3）把抛物线 向右平移 个单位得抛物线 为 ，根据点 ，
都在抛物线 上，当 时， ，可得 ，即
可解得 的取值范围是 ．
【解答】解：（1）把 代入 得：
，
解得 ，
；
答：抛物线 的函数表达式为 ；
（2）抛物线 的顶点为 ，
将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ，则抛物线 的顶点为 ，
而 关于原点的对称点为 ，
把 代入 得：
，
解得 ，
答： 的值为4；
（3）把抛物线 向右平移 个单位得到抛物线 ，抛物线 解析式为
，
点 ， 都在抛物线 上，
，
第23页（共26页），
当 时， ，
，
，
整理变形得： ，
，
，
，
，
，
解得 ，
的取值范围是 ．
24．（12分）如图1，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，连结 ， 交于
点 ，已知 ．
（1）线段 与 垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点 ， ， 的圆交 于点 ，连结 交 于点 ．求证： ．
（3）如图 3，在（2）的条件下，当点 是线段 的中点时，求 的值．
【分析】（1）通过证明 ，结合正方形和等腰三角形的性质进行推理证明；
第24页（共26页）（2）过点 作 ，交 于点 ，通过证明 ， ，从而利用
相似三角形的性质分析推理；
（3）设圆的半径为 ， ，在（2）的条件下，根据线段中点的概念结合解直角三角形
求得 ， ，从而进行分析计算．
【解答】（1）解：线段 与 垂直，理由如下：
在正方形 中， ， ， ，
在 和 中
，
，
，
，
又 ，
；
（2）证明： ，
为圆的直径，
，
又 ， ，
点 为 的中点，
，
又 ，
，
，
过点 作 ，交 于点 ，
，
第25页（共26页）， ，
， ，
．
（3） 为 中点，
，
设 ，则 ， ，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
．
第26页（共26页）
