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2022年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2的相反数是
A．2 B． C． D．
2．（3分）如图是运动会领奖台，它的主视图是
A． B．
C． D．
3．（3分）老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率
是
A． B． C． D．
4．（3分）计算 的正确结果是
A． B． C． D．
5．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点
， ， 都在横线上．若线段 ，则线段 的长是
A． B．1 C． D．2
6．（3分）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了
5000 元，购买篮球用了 4000 元，篮球单价比足球贵 30 元．根据题意可列方程
第1页（共30页），则方程中 表示
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
7．（3分）如图，在 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点．若 ， ，则
四边形 的周长是
A．28 B．14 C．10 D．7
8．（3分）已知电灯电路两端的电压 为 ，通过灯泡的电流强度 （A）的最大限度不得
超过 ．设选用灯泡的电阻为 ，下列说法正确的是
A． 至少 B． 至多 C． 至少 D． 至多
9．（3分）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆
外接于矩形，如图．已知矩形的宽为 ，高为 ，则改建后门洞的圆弧长是
A． B． C． D．
10．（3分）如图，已知菱形 的边长为4， 是 的中点， 平分 交 于点 ，
交 于点 ．若 ，则 的长是
第2页（共30页）A．3 B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式： ．
12．（4分）在植树节当天，某班的四个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，9．则这组数据的平
均数是 ．
13．（4分）不等式 的解集是 ．
14．（4分）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知 点的坐标是 ， ，则 点的坐
标是 ．
15．（4分）一副三角板按图1放置， 是边 的中点， ．如图2，将 绕
点 顺时针旋转 ， 与 相交于点 ，则 的长是 ．
16．（4分）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形 ．已知①和②能够重
合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5． ， ，且 ．
第3页（共30页）（1）若 ， 是整数，则 的长是 ；
（2）若代数式 的值为零，则 的值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10
分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算： ．
18．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
19．（6分）某校为了解学生在“五 一”小长假期间参与家务劳动的时间（小时），随机抽取
了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在 ， ， ， ， 五个选项中选且只选一
项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）若该校共有学生1200人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足 的人数；
（3）请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述．
20．（8分）如图，在 的方格纸中，点 ， ， 均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
（1）如图1，作一条线段，使它是 向右平移一格后的图形；
（2）如图2，作一个轴对称图形，使 和 是它的两条边；
第4页（共30页）（3）如图3，作一个与 相似的三角形，相似比不等于1．
21．（8分）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从
甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 ，货车行驶时的速度是 ．
两车离甲地的路程 与时间 的函数图象如图．
（1）求出 的值；
（2）求轿车离甲地的路程 与时间 的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
22．（10分）如图，将矩形纸片 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
第5页（共30页）23．（10分）如图，已知点 ， ， ， 在二次函数 的图象上，
且 ．
（1）若二次函数的图象经过点 ．
①求这个二次函数的表达式；
②若 ，求顶点到 的距离；
（2）当 时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点 ， 在对称轴的异侧，求 的
取值范围．
24．（12分）如图，以 为直径的 与 相切于点 ，点 在 左侧圆弧上，弦
交 于点 ，连结 ， ．点 关于 的对称点为 ，直线 交 于点
，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）当点 在 上，连结 交 于点 ，若 ，求 的值；
（3）当点 在射线 上， ，以点 ， ， ， 为顶点的四边形中有一组对边平行时，
求 的长．
第6页（共30页）第7页（共30页）2022年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2的相反数是
A．2 B． C． D．
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：实数2的相反数是 ．
故选： ．
2．（3分）如图是运动会领奖台，它的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得如下图形：
故选： ．
3．（3分）老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率
是
A． B． C． D．
【分析】利用事件概率的意义解答即可．
【解答】解： 老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，事件的等可能
性有4种，选中甲同学的可能性有一种，
选中甲同学的概率是 ，
第8页（共30页）故选： ．
4．（3分）计算 的正确结果是
A． B． C． D．
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此判断即可．
【解答】解： ，
故选： ．
5．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点
， ， 都在横线上．若线段 ，则线段 的长是
A． B．1 C． D．2
【分析】过点 作平行横线的垂线，交点 所在的平行横线于 ，交点 所在的平行横线于
，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点 作平行横线的垂线，交点 所在的平行横线于 ，交点 所在的平行横线
于 ，
则 ，即 ，
解得： ，
故选： ．
6．（3分）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了
第9页（共30页）5000 元，购买篮球用了 4000 元，篮球单价比足球贵 30 元．根据题意可列方程
，则方程中 表示
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
【分析】设篮球的数量为 个，足球的数量是 个，列出分式方程解答即可．
【解答】解：设篮球的数量为 个，足球的数量是 个．
根据题意可得： ，
故选： ．
7．（3分）如图，在 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点．若 ， ，则
四边形 的周长是
A．28 B．14 C．10 D．7
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解： ， ， 分别是 ， ， 的中点，
，
、 分别为 、 中点，
，
四边形 的周长为： ，
故选： ．
8．（3分）已知电灯电路两端的电压 为 ，通过灯泡的电流强度 （A）的最大限度不得
超过 ．设选用灯泡的电阻为 ，下列说法正确的是
A． 至少 B． 至多 C． 至少 D． 至多
【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解： 电压 一定时，电流强度 （A）与灯泡的电阻为 成反比例，
．
第10页（共30页）已知电灯电路两端的电压 为 ，
．
通过灯泡的电流强度 （A）的最大限度不得超过 ，
，
．
故选： ．
9．（3分）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆
外接于矩形，如图．已知矩形的宽为 ，高为 ，则改建后门洞的圆弧长是
A． B． C． D．
【分析】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所
在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接 ， ， 和 相交于点 ，则 为圆心，如图所示，
由题意可得， ， ， ，
， ，
， ，
，
，
优弧 所对的圆心角为 ，
改建后门洞的圆弧长是： ，
故选： ．
第11页（共30页）10．（3分）如图，已知菱形 的边长为4， 是 的中点， 平分 交 于点 ，
交 于点 ．若 ，则 的长是
A．3 B． C． D．
【分析】方法一：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据
，可得 ，所以 ，然后证明 是 的垂直平分线，可得
，设 ，根据 ，进而可以解决问题．方法
二：作 垂直 于 ，延长 和 交于点 由已知可得 ，所以
设 ，则 ， ，由三角形 相似于三角形
即可得结论．
【解答】解：方法一，如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
菱形 的边长为4，
第12页（共30页），
，
，
，
是 的中点，
，
，
是 的垂直平分线，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
设 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
则 的长是 ．
第13页（共30页）方法二：如图，作 垂直 于 ，延长 和 交于点 ，
由已知可得 ，
所以 ，
设 ，
则 ， ，
由 ，
，
，
解得 ．
故选： ．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式： ．
【分析】观察原式，找到公因式 ，提出即可得出答案．
【解答】解： ．
故答案为： ．
12．（4分）在植树节当天，某班的四个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，9．则这组数据的平
均数是 9 ．
【分析】算术平均数：对于 个数 ， ， ， ，则 就叫做这 个数的算术
平均数．
第14页（共30页）【解答】解：这组数据的平均数是 ．
故答案为：9．
13．（4分）不等式 的解集是 ．
【分析】先移项，再合并同类项即可．
【解答】解： ，
，
，
故答案为： ．
14．（4分）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知 点的坐标是 ， ，则 点的坐
标是 ， ．
【分析】根据正六边形的性质可得点 和点 关于原点对称，进而可以解决问题．
【解答】解：因为点 和点 关于原点对称， 点的坐标是 ， ，
所以 点的坐标是 ， ，
故答案为： ， ．
15．（4分）一副三角板按图1放置， 是边 的中点， ．如图2，将 绕
点 顺时针旋转 ， 与 相交于点 ，则 的长是 ．
第15页（共30页）【分析】设 与 交于点 ，根据旋转的性质证明 ，可得 ，
利用含30度角的直角三角形可得 ， ，然后证明
的等腰直角三角形，可得 ，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，设 与 交于点 ，
是边 的中点， ．如图2，
．
将 绕点 顺时针旋转 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
第16页（共30页）．
故答案为： ．
16．（4分）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形 ．已知①和②能够重
合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5． ， ，且 ．
（1）若 ， 是整数，则 的长是 任意正整数 ；
（2）若代数式 的值为零，则 的值是 ．
【分析】（1）直接根据线段的差可得结论；
（2）先把 当常数解方程： ， （负值舍），根据四个矩形的面积都
是5表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答．
【解答】解：（1）由图可知： ，
， 是整数， ，
的长是任意正整数；
故答案为：任意正整数；
（2） ，
， ，
（负值舍），
四个矩形的面积都是5． ， ，
， ，
第17页（共30页）则 ．
故答案为： ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10
分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算： ．
【分析】分别根据算术平方根的定义，任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的意义
计算即可．
【解答】解：原式
．
18．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把 代入计算即可．
【解答】解：
，
当 时，原式 ．
19．（6分）某校为了解学生在“五 一”小长假期间参与家务劳动的时间（小时），随机抽取
了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在 ， ， ， ， 五个选项中选且只选一
项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
第18页（共30页）（1）求所抽取的学生总人数；
（2）若该校共有学生1200人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足 的人数；
（3）请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述．
【分析】（1）用 类别的人数除以 类别所占百分比即可；
（2）用1200乘 所占比例即可；
（3）根据统计图的数据解答即可．
【解答】解：（1） （人 ，
故所抽取的学生总人数为50人；
（2） （人 ，
答：估算该校学生参与家务劳动的时间满足 的人数为240人；
（3）由题意可知，该校学生在“五 一”小长假期间参与家务劳动时间在 占最多数，
中位数位于 这一组（答案不唯一）．
20．（8分）如图，在 的方格纸中，点 ， ， 均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
（1）如图1，作一条线段，使它是 向右平移一格后的图形；
（2）如图2，作一个轴对称图形，使 和 是它的两条边；
（3）如图3，作一个与 相似的三角形，相似比不等于1．
第19页（共30页）【分析】（1）把点 、 向右作平移1个单位得到 ；
（2）作 点关于 的对称点 即可；
（3）延长 到 使 ，延长 到 点使 ，则 满足条件．
【解答】解：（1）如图1， 为所作；
（2）如图2，
（3）如图3， 为所作．
21．（8分）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从
甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 ，货车行驶时的速度是 ．
两车离甲地的路程 与时间 的函数图象如图．
（1）求出 的值；
（2）求轿车离甲地的路程 与时间 的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
【分析】（1）根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题；
（2）设直线的表达式为 ，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可解决问题；
（3）根据时间 路程 速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可解决问题．
【解答】解：（1） 货车的速度是 ，
第20页（共30页）；
（2）由图象可得点 ， ，
设直线的表达式为 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
；
（3）由图象可得货车走完全程需要 ，
货车到达乙地需 ，
， ，
解得 ，
两车相差时间为 ，
货车还需要 才能到达，
即轿车比货车早 到达乙地．
22．（10分）如图，将矩形纸片 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）根据 证明两个三角形全等即可；
（2）如图，过点 作 于 ，由勾股定理计算 ，设 ，在 中，由勾
股定理得： ，列方程可解答．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ，
第21页（共30页）由折叠得： ， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）解：如图，过点 作 于 ，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
设 ，
由（1）知： ，
，
，
由折叠得： ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
第22页（共30页）．
23．（10分）如图，已知点 ， ， ， 在二次函数 的图象上，
且 ．
（1）若二次函数的图象经过点 ．
①求这个二次函数的表达式；
②若 ，求顶点到 的距离；
（2）当 时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点 ， 在对称轴的异侧，求 的
取值范围．
【分析】（1）①把点 代入二次函数的解析式求出 即可；
②判断出 ， 关于抛物线的对称轴对称，求出点 的纵坐标，可得结论；
（2）分两种情形：若 ， 在对称轴的异侧， ，若 ， 在对称轴的异侧， ， ，
分别求解即可．
【解答】解：（1）① 二次函数 经过 ，
，
，
二次函数的解析式为 ；
② ，
第23页（共30页）， 关于抛物线的对称轴对称，
对称轴是直线 ，且 ，
， ，
当 时， ，
当 时，顶点到 的距离 ；
（2）若 ， 在对称轴的异侧， ，
，
，
，
，
，
函数的最大值为 ，最小值为 ，
，
，
，
．
若 ， 在对称轴的异侧， ， ，
，
，
第24页（共30页）函数的最大值为 ，最小值为 ，
，
，
，
．
综上所述， ．
24．（12分）如图，以 为直径的 与 相切于点 ，点 在 左侧圆弧上，弦
交 于点 ，连结 ， ．点 关于 的对称点为 ，直线 交 于点
，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）当点 在 上，连结 交 于点 ，若 ，求 的值；
（3）当点 在射线 上， ，以点 ， ， ， 为顶点的四边形中有一组对边平行时，
求 的长．
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）证明 ，推出 ，可得结论；
（3）分四种情形：如图1中，当 时，如图2中，当 时，如图3中，当
时，如图4中，当 时，分别求解即可．
【解答】（1）证明： 是 的切线，
，
第25页（共30页），
， 关于 对称， ，
点 在 上， ，
，
， ，
；
（2）解： 是直径， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（ 3 ） 解 ： 如 图 1 中 ， 当 时 ， 连 接 ， ． 设 ， 则
，
第26页（共30页），
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
如图2中，当 时，连接 ，设 交 点 ．
第27页（共30页）设 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
， ，
；
如图3中，当 时，连接 ， ．
第28页（共30页）设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图4中，当 时，连接 ， ， ．
第29页（共30页）设 ，
，
，
，
，
，
，
由 ，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的 的长为 或 或 或 ，
第30页（共30页）
