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2022年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算 的结果是
A．6 B． C．5 D．
2．（4分）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是
A． B． C． D．
3．（4分）无理数 的大小在
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（4分）如图，已知 ，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是
A． B． C． D．
5．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
6．（4分）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机 ， 所在直线为 轴、队形的对称
轴为 轴，建立平面直角坐标系．若飞机 的坐标为 ，则飞机 的坐标为
第1页（共25页）A． B． C． D．
7．（4分）从 ， 两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计
量中，最能反映出这两组数据之间差异的是
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（4分）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为
， ．他从家出发匀速步行 到公园后，停留 ，然后匀速步行 到学校．
设吴老师离公园的距离为 （单位： ，所用时间为 （单位： ，则下列表示 与 之间
函数关系的图象中，正确的是
A． B．
第2页（共25页）C． D．
9．（4分）如图，点 在 的边 上，点 在射线 上（不与点 ， 重合），连接 ，
．下列命题中，假命题是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
10．（4分）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长 ，宽 的矩形，有污水从该矩形的
四周边界向外渗透了 ，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式： ．
12．（5分）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5， 掷一次，朝上
一面点数是1的概率为 ．
13．（5分）如图，在 中， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点．若
的长为10，则 的长为 ．
14．（5分）如图， 的边 长为 ．将 平移 得到△ ，且 ，
则阴影部分的面积为 ．
第3页（共25页）15．（5分）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的
的值是 ．
先化简，再求值：
，其中 ★．
解：原式 ①
16．（5分）如图，在菱形 中， ， ．折叠该菱形，使点 落在边 上的点
处，折痕分别与边 ， 交于点 ， ．当点 与点 重合时， 的长为 ；当点
的位置变化时， 长的最大值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第
24题14分，共80分）
17．（8分）计算： ．
18．（8分）解方程组： ．
19．（8分）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角 为 ，
梯子 长 ，求梯子顶部离地竖直高度 ．（结果精确到 ；参考数据： ，
第4页（共25页），
20．（8分）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高
度）不变时，火焰的像高 （单位： 是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位： 的反比例函
数，当 时， ．
（1）求 关于 的函数解析式．
（2）若火焰的像高为 ，求小孔到蜡烛的距离．
21．（10分）如图，在 中， ，以 为直径的 与 交于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 与 相切，求 的度数．
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧 的中点 ．（不写作法，保留作图痕迹）
22．（12分）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格
标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间 （小时）
第5页（共25页）组中值 1 2 3 4 5
人数（人 21 30 19 18 12
（1）画扇形图描述数据时， 这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明
其合理性．
23．（12分）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形
各边上分别取点 ， ， ， ，使 ，依次连接它们，得
到四边形 ；再在四边形 各边上分别取点 ， ， ， ，使
，依次连接它们，得到四边形 ； 如此继续下
去，得到四条螺旋折线．
（1）求证：四边形 是正方形．
（2）求 的值．
（3）请研究螺旋折线 中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
24．（14分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口
离地竖直高度为 （单位： ．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角
坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，
第6页（共25页）竖直高度为 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点
离喷水口的水平距离为 ，高出喷水口 ，灌溉车到 的距离 为 （单位： ．
（1）若 ， ．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
②求下边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围．
（2）若 ．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 的最小值．
第7页（共25页）2022年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，
不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算 的结果是
A．6 B． C．5 D．
【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘即可得出答
案．
【解答】解：
．
故选： ．
2．（4分）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形做出判断即可．
【解答】解：根据题意知，几何体的主视图为：
故选： ．
3．（4分）无理数 的大小在
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
第8页（共25页）【分析】根据无理数的估算分析解题．
【解答】解： ，
．
故选： ．
4．（4分）如图，已知 ，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
【解答】解： ．由 不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
．由 ，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；
． ， ，
，
两条铁轨平行，故该选项符合题意；
．由 不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
故选： ．
5．（4分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断．
【解答】解： ，故 正确，符合题意；
，故 错误，不符合题意；
，故 错误，不符合题意；
，故 错误，不符合题意；
故选： ．
6．（4分）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机 ， 所在直线为 轴、队形的对称
轴为 轴，建立平面直角坐标系．若飞机 的坐标为 ，则飞机 的坐标为
第9页（共25页）A． B． C． D．
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解： 飞机 与飞机 关于 轴对称，
飞机 的坐标为 ，
故选： ．
7．（4分）从 ， 两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计
量中，最能反映出这两组数据之间差异的是
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
，
，
故平均数不能反映出这两组数据之间差异，故选项 不符合题意；
和 的中位数和众数都相等，故不能反映出这两组数据之间差异，故选项 和 不符合题
意；
第10页（共25页）由图象可得， 种数据波动小，比较稳定， 种数据波动大，不稳定，能反映出这两组数据之
间差异，故选项 符合题意；
故选： ．
8．（4分）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为
， ．他从家出发匀速步行 到公园后，停留 ，然后匀速步行 到学校．
设吴老师离公园的距离为 （单位： ，所用时间为 （单位： ，则下列表示 与 之间
函数关系的图象中，正确的是
A． B．
C． D．
【分析】在不同时间段中，找出 的值，即可求解．
【解答】解：吴老师从家出发匀速步行 到公园，则 的值由400变为0，
吴老师在公园停留 ，则 的值仍然为0，
吴老师从公园匀速步行 到学校，则在18分钟时， 的值为600，
故选： ．
9．（4分）如图，点 在 的边 上，点 在射线 上（不与点 ， 重合），连接 ，
．下列命题中，假命题是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
第11页（共25页）C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【分析】根据等腰三角形性质逐项判断即可．
【解答】解：若 ， ，则 是 中点，
是 的垂直平分线，
，
故选项 是真命题，不符合题意；
，即 ，
又 ，
是 的垂直平分线，
，
故选项 是真命题，不符合题意；
若 ， ，则 ， 是 中点，
是 的垂直平分线，
，
故选项 是真命题，不符合题意；
若 ， ，不能得到 ，故选项 是假命题，符合题意；
故选： ．
10．（4分）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长 ，宽 的矩形，有污水从该矩形的
四周边界向外渗透了 ，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为
A． B． C． D．
【分析】直接根据图形中外围面积和可得结论．
【解答】解：如图，
该垃圾填埋场外围受污染土地的面积
．
第12页（共25页）故选： ．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式： ．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解： ．
故答案为： ．
12．（5分）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5， 掷一次，朝上
一面点数是1的概率为 ．
【分析】根据题意可知存在6种可能性，其中点数为1的可能性有1种，从而可以写出相应的
概率．
【解答】解：由题意可得，
掷一次有6种可能性，其中点数为1的可能性有1种，
掷一次，朝上一面点数是1的概率为 ，
故答案为： ．
13．（5分）如图，在 中， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点．若
的长为10，则 的长为 1 0 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出 ，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出 ．
【解答】解： ， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
，
，
在 中， ， 为 中点， ，
，
第13页（共25页）故答案为：10．
14．（5分）如图， 的边 长为 ．将 平移 得到△ ，且 ，
则阴影部分的面积为 8 ．
【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于四边形 的面积解答即可．
【 解 答 】 解 ： 由 平 移 可 知 ， 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 四 边 形 的 面 积
，
故答案为：8．
15．（5分）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的
的值是 5 ．
先化简，再求值：
，其中 ★．
解：原式 ①
【分析】先将题目中的分式化简，然后令化简后式子的值为 ，求出相应的 的值即可．
【解答】解：
，
当 时，可得 ，
检验：当 时， ，
图中被污染的 的值是5，
第14页（共25页）故答案为：5．
16．（5分）如图，在菱形 中， ， ．折叠该菱形，使点 落在边 上的点
处，折痕分别与边 ， 交于点 ， ．当点 与点 重合时， 的长为 ；
当点 的位置变化时， 长的最大值为 ．
【分析】如图1中，求出等边 的高 即可．如图2中，连接 交 于点 ，过点
作 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，取 的中
点 ，连接 ．证明 ，求出 的最小值，可得结论．
【解答】解：如图1中，
四边形 是菱形，
， ，
， 都是等边三角形，
当点 与 重合时， 是等边 的高， ．
如图2中，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作
交 的延长线于点 ，取 的中点 ，连接 ．
第15页（共25页）， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
的最小值为 ，
的最大值为 ．
故答案为： ， ．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第
24题14分，共80分）
17．（8分）计算： ．
第16页（共25页）【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
18．（8分）解方程组： ．
【分析】通过加减消元法消去 求出 的值，代入第一个方程求出 的值即可得出答案．
【解答】解： ，
② ①得： ，
把 代入①得： ，
原方程组的解为 ．
19．（8分）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角 为 ，
梯子 长 ，求梯子顶部离地竖直高度 ．（结果精确到 ；参考数据： ，
，
【分析】在 中， ， ，解方程即可．
【解答】解：在 中， ， ，
，
解得 ．
答：梯子顶部离地竖直高度 约为 ．
第17页（共25页）20．（8分）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高
度）不变时，火焰的像高 （单位： 是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位： 的反比例函
数，当 时， ．
（1）求 关于 的函数解析式．
（2）若火焰的像高为 ，求小孔到蜡烛的距离．
【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；
（2）根据解析式代入数值解答即可．
【解答】解：（1）由题意设： ，
把 ， 代入，得 ，
关于 的函数解析式为： ；
（2）把 代入 ，得， ，
小孔到蜡烛的距离为 ．
21．（10分）如图，在 中， ，以 为直径的 与 交于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 与 相切，求 的度数．
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧 的中点 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）由圆周角定理得出 ，再由等腰三角形的性质即可证明 ；
（2）由切线的性质得出 ，由 ，得出 是等腰直角三角形，即可求出
第18页（共25页）；
（3）利用尺规作图，作 的平分线交 于点 ，则点 即是劣弧 的中点．
【解答】（1）证明： 是直径，
，
，
，
；
（2）解： 与 相切， 为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：如图，
作 的角平分线交 于点 ，则点 即是劣弧 的中点．
22．（12分）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格
标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间 （小时）
组中值 1 2 3 4 5
人数（人 21 30 19 18 12
（1）画扇形图描述数据时， 这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明
其合理性．
【分析】（1）根据数据所占比例得出结论即可；
第19页（共25页）（2）按平均数的概念求出平均数即可；
（3）根据平均数或中位数得出标准，并给出相应的理由即可．
【解答】解：（1） ，
；
（2） （小时），
答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）（以下两种方案选一即可）
①从平均数看，标准可以定为3小时，
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为
3小时，至少有 的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有 的学生未达标，这
样使多数学生有更高的努力目标．
②从中位数的范围或频数看，标准可以定位2小时，
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数在 范围内，把标准定为2小时，至少有
的学生目前能达标，同时至少有 的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，
促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
23．（12分）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形
各边上分别取点 ， ， ， ，使 ，依次连接它们，得
到四边形 ；再在四边形 各边上分别取点 ， ， ， ，使
，依次连接它们，得到四边形 ； 如此继续下
去，得到四条螺旋折线．
第20页（共25页）（1）求证：四边形 是正方形．
（2）求 的值．
（3）请研究螺旋折线 中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
【分析】（1）根据正方形的性质得到 ， ，证明△ △
，根据全等三角形的性质得到 ， ，根据正方形的判定定理
证明结论；
（2）根据勾股定理求出 ，计算即可；
（3）先求出 ，再求出 ，根据规律证明结论．
【解答】（1）证明： 四边形 为正方形，
， ，
，
，
在△ 和△ 中，
第21页（共25页），
△ △ ，
， ，
，
，
，
同理可证： ，
四边形 是正方形．
（2）解：设 ，
则 ， ，
由勾股定理得： ，
；
（3）相邻线段的比为 或 ．
证明如下： ， ，
，
同理可得： ，
相邻线段的比为 或 （答案不唯一）．
第22页（共25页）24．（14分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口
离地竖直高度为 （单位： ．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角
坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，
竖直高度为 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点
离喷水口的水平距离为 ，高出喷水口 ，灌溉车到 的距离 为 （单位： ．
（1）若 ， ．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
②求下边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围．
（2）若 ．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 的最小值．
【分析】（1）①由顶点 得，设 ，再根据抛物线过点 ，可得 的值，
从而解决问题；
②由对称轴知点 的对称点为 ，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移
得到的，可得点 的坐标；
③根据 ，求出点 的坐标，利用增减性可得 的最大值为最小值，从而得出答案；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 、 恰好分别在两条抛物线上，
故 设 点 ， ， ， ， 则 有
，从而得出答案．
【解答】解：（1）①如图1，由题意得 是上边缘抛物线的顶点，
设 ，
又 抛物线过点 ，
，
第23页（共25页），
上边缘抛物线的函数解析式为 ，
当 时， ，
解得 ， （舍去），
喷出水的最大射程 为 ；
② 对称轴为直线 ，
点 的对称点为 ，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
点 的坐标为 ；
③ ，
点 的纵坐标为0.5，
，
解得 ，
，
，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时，要使 ，
则 ，
当 时， 随 的增大而增大，且 时， ，
当 时，要使 ，则 ，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为 ，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
的最小值为2，
第24页（共25页）综上所述， 的取值范围是 ；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 、 恰好分别在两条抛物线上，
故设点 ， ， ， ，
则有 ，
解得 ，
点 的纵坐标为 ，
，
的最小值为 ．
第25页（共25页）
