文档内容
2021 年长沙市初中学业水平考试试卷
数学
注意事项:
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准
考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合
题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个实数中，最大的数是
A． B． C． D．4
【答案】D
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：实数的大小比较.选D.
2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约
为 人，将数据 用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：科学计数法，其表示形式为 ，其中 .选B.
3．下列几何图形中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：中心对称图形.选C.
4．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：整式的运算.选A.幂的运算相关公式：同底数幂的乘法： ，同底数幂的除法：
，幂的乘方：
5．如图， ， 分别与 ， 交于点 ， ， ，则 的
度数为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：对顶角相等，平行线的性质（两直线平行，同旁内角相等）.
∵ ，∴
∵ ，∴ ，选A.
6．如图，点 ， ， 在 上， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），属于简单
题.
∵ ，∴ .选B.
7．下列函数图象中，表示直线 的是【答案】B
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：一次函数的图象与性质.
∵直线的解析式为 ， ，则函数图象随着 的增大而增大，排除A、C，过
点 ，排除D，故选B.
8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种
植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位: ）分别是：
， ， ， ， ， ， ， ， ．则这组数据的众数和中位数分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：众数、中位数的概念.
众数指在一组数据中，出现次数最多的数，结合数据：22，出现1次；23，出现3次；
24，出现2次；25，出现2次；26，出现1次；故众数为23；中位数是指将一组数据按
从小到大（或从大到小）的顺序排序，若数据个数为奇数，则中间那位数为中位数，若
数据个数为偶数，则中位数为中间两位数的的平均数.在这组数据中，由小到大排序为
， ， ， ， ， ， ， ， ，数据个数为9，故中位数为24，故选
C.
9．有一枚质地均匀的正方体股子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两
次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：概率的计算.两次可能出现的点数之和列表如下，所以点数之和为5的概率为
.故选A.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
10．在一次数学活动课上，某数学老师将 共十个整数依次写在十张不透明的卡片上
（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面
朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同
学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上
的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：
17．根据以上信息，下列判断正确的是
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9；
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7；
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4；
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．
【答案】A
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：逻辑与推理．
因为每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，所以 ，
，故乙拿的是 1 和 3，丁拿的是 2 和 5，由 ，甲拿的是 4 和 7，
丁拿的6和10， ，戊拿的是8和9.选A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式: _______．
【答案】
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：合并同类项分解因式．
12．如图，在 中，弦 的长为 4，圆心 到弦 的距离为 2，则 的度数为
_______．
【答案】
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：垂径定理，等腰直角三角形的性质．
由图可知， ，∴ ，又 ，∴ 是等腰直角
三角形，∴
13．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 是边 的中点，若 ，
则 的长为_______．【答案】12
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：中位线定理，菱形的性质．
∵ 菱形，∴ ，又 是 的中点，∴ 为 的中位线，
∴
14．若关于 的方程 的一个根为3，则 的值为_______．
【答案】
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：一元二次方程．
将方程的一个根 代入方程， ，可得 .
15．如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， ，垂足为 ，
若 ， ，则 的长为_______．
【答案】
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
∵ 平分 交 于点 ， ， ，∴
又 ，∴
16．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄 报
作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按
四个等级进行评价，然后根据统计结果绘 制
了如右两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作 品
中，等级为 等的作品份数为_______．
【答案】50
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：条形统计图和扇形统计图的分析，方程．由图可知， 等作品份数为30，占总作品数的 ，设总份数为 ，则有 ，
解得 ，即总作品数为120份，∴ 等作品份数为 .
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第
22、23题小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．计算: ．
【答案】5
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：整式运算，绝对值化简，特殊角的三角函数，零次幂，二次根式的乘法．
解：
18．先化简，再求值：
,其中 ．
【答案】1
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：整式及其运算．
解：原式
∵ ，∴原式
19．人教版初中数学教科书八年级上册第 页告诉我们作一个三角形与已知三角形全
等的方法：
已知： .
求作： ，使得 .
作法：如图.
（1）画 ；
（2）分别以点 ， 为圆心，线段
， 长为半径画弧，两弧相交于点 ；
（3）连接线段 ， ，则 即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题:
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在 和 中，∴
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______．（填序号）
① ② ③ ④
【答案】（1）见解析；（2）④.
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：全等三角形
（1）证明：由作图可知，在 和 中， ∴
（2）由（1）可知证明这两个三角形全等的依据是“边边边（ ）”，选④.
20．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置
了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有 12个红球和若干个白球（每
个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费
得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有 60000人，景点一共为参与该
游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少?
【答案】（1） ；（2）36.
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：频数与频率，方程．
（1）频率指每小组的频数与数据总数的比值，题中总参与人数为60000，参与该游戏
免费得到景点吉祥物的人数为15000，所以频率为 .
（2）由（1）可知，设白球和红球总数接近为 ，则白球为 个，由题意
，解得球的总数为48个，所以白球接近36个.
21．如图， 的对角线 ， 相交于点 ， 是 等
边三角形， ．
（1）求证： 是矩形;
（2）求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：等边三角形和矩形的性质，矩形的判定．
（1）证明：∵ 是等边三角形，∴ ，
∴
又在 中， ，∴ ，∴
∴
∴ 是矩形；
（2）由（1）知， ， ，∴ ，由勾股定理知 ，∴
22．为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行
了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有 25
道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为 86分，则该参赛同学一共
答对了多少道题?
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史
小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【答案】（1）该同学答对22题，答错2题;（2）参赛至少需答对23道题.
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：二元一次方程组，一元一次不等式．
（1）设该同学答对 题，答错 题，由题意可列方程组为 ，解得，
∴该同学答对22题，答错2题；
（2）设至少答对 道题才能被评为“学党史小达人”，则答错 道题，
由题意， ，解得 ，所以参赛至少需答对23道题.
22．如图，在 中, ，垂足为 ， ， 延 长
至 ，使得 ,连接
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的周长和面积．
【答案】（1）见解析；（2） ，
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：垂直平分线的性质及判定，等腰三角形性质及判定，勾股定理．
（1）∵ ， ，∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，∴ 是等腰三角形
∴ （等边对等角）
（2） ，由（1）知 ，∴
又∵ ，∴ 、 是直角三角形，
∵ ， ，∴由勾股定理知， ，
∴ ，即 的周长为
面积24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 轴
对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于 轴对称的不同两点叫做一对“T
点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点 与点 是关于 的“ 函数”
的图象上的一对“ 点”，则 ____， ____， ____(将正确答案填在相应
的横线上)；
（2）关于 的函数 （ , 是常数）是“ 函数”吗？如果是，指出它有多少
对“T点”；如果不是，请说明理由；
（3）若关于 的“ 函数” ( ，且 ， ， 是常数)经过坐标原点
，且与直线 ( ， ，且 , 是常数)交于 ，
两点，当 ， 满足 时，直线 是否总经过某一定点？
若经过某一定点，求出该定点的坐标；有，则请说明理由．
【答案】（1） ， ， ；（2）不是，理由见解析；（3） 过定
点 ，理由见解析.
【解析】（湖南长沙赵文成）
本题考点：函数新定义题，在平面直角坐标系表示两点关于 轴对称，一次函数，二
次函数，一元二次方程，分式化简变形等.
（1）由题意点 与点 关于 轴对称，则 ， ，
∵ ，∴将点 代入 ， ;
综上， ， ，
（2）不是；∵ （ , 是常数）是一次函数，函数图象上不存在关于 轴对称
的两点，所以 是“ 函数”；
（3） 是关于 的“ 函数”，则函数对称轴为 ，又 ，∴
；
又函数过原点 ，∴ ；∴ ；
与直线 ( ， ，且 , 是常数)交于 ， 两点，；
联立方程， ，整理得，∴ ，
又 ，
∴ ，∴
∴ ，∴ ，∴
令 ，即 时， ，∴ 过定点
25．如图，点 为以 为直径的半圆的圆心，点 ， 在直径 上，点 ， 在
上，四边形 为正方形，点 在 上运动（点 与点 ， 不重合），连接
并延长交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）令 ， ，直径 （ ， 是常数），
求 关于 的函数解析式，并指明自变量 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；
（3） ，
【解析】（湖南长沙赵文成）
（1）过点 作 ，如图 则 （垂径定理）
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，又 ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴四边形 是矩形
∴ ，∴ ， ，
（同角）由勾股定理： ，
即 ，∴ ，
∴
（2）由（1）可知， ， ，
，
∴
（3）∵ ，∴ ，
又有（2）知 ，∴ （*）
又 ，∴ ，即
，
又∵ 为直径，∴ ，由正方形 可知， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴
∴ ，将（*）代入，得
由 （ 2 ） 知 ， ， ， ∴ ， ∴
∴ 连 接 ， 如 图 ， 易 证 ， ∴∴ ，
∵ 在弧 上运动， 与 不重合，∴ ，
连接 ， 不与 重合，∴ ，
综上，
∴ 关于 的函数解析式为： ，
