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2021年甘肃省白银市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1．（3分）（2021•白银）3的倒数是
A． B．3 C． D．
2．（3分）（2021•白银）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新
的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展
了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021•白银）下列运算正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2021•白银）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线” 中国外交部数据显示，截
止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中
国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．
数据“50亿”用科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（3分）（2021•白银）将直线 向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为
A． B． C． D．
第1页（共35页）6．（3 分）（2021•白银）如图，直线 ， 的顶点 在 上，若
，则
A． B． C． D．
7．（3 分）（2021•白银）如图，点 ， ， ， ， 在 上， ，
，则
A． B． C． D．
8．（3分）（2021•白银）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有
三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要
坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步
行，问人与车各多少？设共有 人， 辆车，则可列方程组为
A． B．
C． D．
第2页（共35页）9．（3分）（2021•白银）对于任意的有理数 ， ，如果满足 ，那么我们称
这一对数 ， 为“相随数对”，记为 ．若 是“相随数对”，则
A． B． C．2 D．3
10．（3分）（2021•白银）如图1，在 中， ， 于点 ．
动点 从 点出发，沿折线 方向运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为
， 的面积为 ， 与 的函数图象如图2，则 的长为
A．3 B．6 C．8 D．9
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）（2021•白银）因式分解： ．
12．（3分）（2021•白银）关于 的不等式 的解集是 ．
13．（3分）（2021•白银）关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是
．
14．（3分）（2021•白银）开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续 14天进行了体温
测量，结果统计如表：
36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8
体温
2 3 3 4 1 1
天数（天
这14天中，小芸体温的众数是 ．
15．（3分）（2021•白银）如图，在矩形 中， 是 边上一点， ，
， 是 边的中点， ，则 ．
第3页（共35页）16．（3分）（2021•白银）若点 ， 在反比例函数 的图象上，
则 ．（填“ ”或“ ”或“ ”
17．（3分）（2021•白银）如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为
的扇形，则此扇形的面积为 ．
18．（3 分）（2021•白银）一组按规律排列的代数式： ， ， ，
， ，则第 个式子是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤。
19．（4分）（2021•白银）计算： ．
20．（4分）（2021•白银）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（6分）（2021•白银）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿
基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 ， 是弦 上一点，请你根据以下步骤
完成这个引理的作图过程．
第4页（共35页）（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段 的垂直平分线 ，分别交 于点 ， 于点 ，连接 ， ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ， 两点不重合），连接 ， ，
．
（2）直接写出引理的结论：线段 ， 的数量关系．
22．（6分）（2021•白银）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年
年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空
塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”
的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图 2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 ， 两处分别测得 和
的度数 ， ， 在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上 ， 两点的距离为 ， ， ．
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）．
参考数据： ， ， ， ， ，
．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
第5页（共35页）23．（6分）（2021•白银）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每
个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色
后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤。
24．（7分）（2021•白银）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党
史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，
按成绩分成 ， ， ， ， 五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，
解答下列问题：
等级 成绩
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
第6页（共35页）（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
25．（7分）（2021•白银）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行
车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车
时间忽略不计）．小刚离家的距离 与他所用的时间 的函数关系如图2所示．
（1）小刚家与学校的距离为 ，小刚骑自行车的速度为 ；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中， 与 的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？
26．（8分）（2021•白银）如图， 内接于 ， 是 的直径 的延长线上一
点， ．过圆心 作 的平行线交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径及 的值．
27．（8分）（2021•白银）问题解决：如图1，在矩形 中，点 ， 分别在 ，
边上， ， 于点 ．
第7页（共35页）（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 ， 分别在 ， 边上， 与 相交于
点 ， ， ， ， ，求 的长．
28．（10分）（2021•白银）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标
轴交于 ， 两点，直线 交 轴于点 ．点 为直线 下方抛
物线上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 分别交直线 ， 于点 ， ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）当 时，连接 ，求 的面积；
（3）① 是 轴上一点，当四边形 是矩形时，求点 的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点 ，满足 ，求 周长的最小值．
第8页（共35页）2021年甘肃省白银市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1．（3分）（2021•白银）3的倒数是
A． B．3 C． D．
【分析】根据倒数的定义进行答题．
【解答】解：设3的倒数是 ，则 ，
解得， ．
故选： ．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两
个数互为倒数．
2．（3分）（2021•白银）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新
的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展
了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断求解．
【解答】解： ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，
第9页（共35页）如果图形的两部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形．
3．（3分）（2021•白银）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对 、 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 进行判
断；根据二次根式的除法法则对 进行判断．
【解答】解： 、原式 ，所以 选项的计算错误；
、原式 ，所以 选项的计算错误；
、原式 ，所以 选项的计算正确；
、原式 ，所以 选项的计算错误．
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则．
4．（3分）（2021•白银）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线” 中国外交部数据显示，截
止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中
国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．
数据“50亿”用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值
时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：将50亿用科学记数法表示为 ．
故选： ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
第10页（共35页）， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
5．（3分）（2021•白银）将直线 向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为
A． B． C． D．
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【解答】解：将直线 向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为 ．
故选： ．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题
的关键．
6．（3 分）（2021•白银）如图，直线 ， 的顶点 在 上，若
，则
A． B． C． D．
【分析】根据角的和差得到 ,再根据两直线平行，同位角相等即可得解．
【解答】解： , ，
,
，
,
故选： ．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
7．（3 分）（2021•白银）如图，点 ， ， ， ， 在 上， ，
第11页（共35页），则
A． B． C． D．
【 分 析 】 连 接 、 ， 可 得 ， 由 圆 周 角 定 理 即 可 得
．
【解答】解：连接 、 ，
， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆
周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．
8．（3分）（2021•白银）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有
三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要
坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步
行，问人与车各多少？设共有 人， 辆车，则可列方程组为
第12页（共35页）A． B．
C． D．
【分析】设共有 人， 辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人
坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设共有 人， 辆车，
依题意得： ．
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正
确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（3分）（2021•白银）对于任意的有理数 ， ，如果满足 ，那么我们称
这一对数 ， 为“相随数对”，记为 ．若 是“相随数对”，则
A． B． C．2 D．3
【分析】根据 是“相随数对”得出 ，再将原式化成 ，最后整
体代入求值即可．
【解答】解： 是“相随数对”，
，
，
即 ，
第13页（共35页），
故选： ．
【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键．
10．（3分）（2021•白银）如图1，在 中， ， 于点 ．
动点 从 点出发，沿折线 方向运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为
， 的面积为 ， 与 的函数图象如图2，则 的长为
A．3 B．6 C．8 D．9
【分析】先根据 结合图2得出 ，进而利用勾股定理得， ，
再由运动结合 的面积的变化，得出点 和点 重合时， 的面积最大，其值
为3，即 ，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
【解答】解：由图2知， ，
，
，
， ，
， ，
在 中， ①，
设点 到 的距离为 ，
，
动点 从 点出发，沿折线 方向运动，
第14页（共35页）当点 运动到点 时， 的面积最大，即 ，
由图2知， 的面积最大为3，
，
②，
① ②得， ，
，
（负值舍去），
③，
将③代入②得， ，
或 ，
，
，
，
故选： ．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出 和点
和点 重合时， 的面积为3是解本题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）（2021•白银）因式分解： ．
【分析】提取公因式进行因式分解．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式的技巧准确计算是解题关键．
12．（3分）（2021•白银）关于 的不等式 的解集是 ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得： ，
第15页（共35页）合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关
键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
13．（3分）（2021•白银）关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是
1 ．
【分析】根据根的判别式△ ，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出 值．
【解答】解： 关于 的方程 有两个相等的实数根，
△ ，
解得： ．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△ 时，方程有两个相等的实数根”是解题
的关键．
14．（3分）（2021•白银）开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续 14天进行了体温
测量，结果统计如表：
36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8
体温
2 3 3 4 1 1
天数（天
这14天中，小芸体温的众数是 36. 6 ．
【分析】根据众数的定义就可解决问题．
【解答】解：36.6出现的次数最多有4次，所以众数是36.6．
故答案为：36.6．
【点评】本题主要考查了众数的定义，正确理解众数的意义是解决本题的关键．
15．（3分）（2021•白银）如图，在矩形 中， 是 边上一点， ，
， 是 边的中点， ，则 6 ．
第16页（共35页）【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出 长，再根据矩形的性
质得出 , ,然后解直角三角形 即可．
【解答】解： 是 边的中点， ，
,
,
,
又 四边形 是矩形，
, ,
,
在 中，
,
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形的性质直角三角形斜边上的中线以及解直角三角形，关键是利用
直角三角形斜边上的中线求出 的长．
16．（3分）（2021•白银）若点 ， 在反比例函数 的图象上，
则 ．（填“ ”或“ ”或“ ”
【分析】反比例函数 的图象在一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小，
判断出 的值的大小关系．
【解答】解： ，
第17页（共35页）反比例函数 的图象在一、三象限，且在每个象限内 随 的增大而减小，
点 ， 同在第三象限，且 ，
，
故答案为 ．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键，
17．（3分）（2021•白银）如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为
的扇形，则此扇形的面积为 ．
【分析】连接 ，根据圆周角定理得出 为圆的直径，解直角三角形求出 ，根据扇
形面积公式求出即可．
【解答】解：连接 ，
从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形，即 ，
为直径，即 ， （扇形的半径相等），
，
，
阴影部分的面积是 ．
故答案为： ．
第18页（共35页）【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关
键．
18．（3 分）（2021•白银）一组按规律排列的代数式： ， ， ，
， ，则第 个式子是 ．
【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中 的次数是式子的序号；第二项的
符号：第奇数项是正号，第偶数项是负号；第二项中 的次数是序号的2倍减1，据此即可
写出．
【解答】解：观察代数式，得到第 个式子是： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了探索规律，根据所排列的代数式，总结出规律是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共26分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤。
19．（4分）（2021•白银）计算： ．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，牢记
是解题的关键．
20．（4分）（2021•白银）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将 的值代入求出答案．
【解答】解：原式 ，
第19页（共35页）当 时，原式 ．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．
21．（6分）（2021•白银）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿
基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 ， 是弦 上一点，请你根据以下步骤
完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段 的垂直平分线 ，分别交 于点 ， 于点 ，连接 ， ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ， 两点不重合），连接 ， ，
．
（2）直接写出引理的结论：线段 ， 的数量关系．
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．
②根据要求作出图形即可．
（2）证明 可得结论．
【解答】解：（1）①如图，直线 ，线段 ，线段 即为所求．
②如图，点 ，线段 ， ， 即为所求作．
（2）结论： ．
理由： 垂直平分线段 ，
，
，
第20页（共35页），
， ，
，
． ，
，
在 和 中，
，
，
．
【点评】本题考查作图 复杂作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，
圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，正确寻找全等三角形解决问题．
22．（6分）（2021•白银）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年
年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空
塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”
的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图 2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 ， 两处分别测得 和
的度数 ， ， 在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上 ， 两点的距离为 ， ， ．
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）．
参考数据： ， ， ， ， ，
．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
第21页（共35页）【分析】设设 ，在 中，可得出 ，在 中,
，再由 ,列式计算即可得出答案．
【解答】解：设 ，
在 中， ,
在 中, ,
,
,
解得， ．
答：宝塔的高度约为 ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是
解决本题的关键．
23．（6分）（2021•白银）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每
个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色
后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【分析】（1）设白球有 个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右
可估计摸到红球的概率为0.75，据此利用概率公式列出关于 的方程，解之即可；
第22页（共35页）（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即
可．
【解答】解：（1） 通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有 个，
根据题意，得： ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 ，
再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，然后利用概率公式求事件 或 的概率．
四、解答题：本大题共5小题，共40分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤。
24．（7分）（2021•白银）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党
史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，
按成绩分成 ， ， ， ， 五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，
解答下列问题：
第23页（共35页）等级 成绩
（1）本次调查一共随机抽取了 20 0 名学生的成绩，频数分布直方图中 ；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
【分析】（1）由 等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以 等级对
应百分比可得 的值；
（2）总人数乘以 等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）总人数乘以样本中 、 等级人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）一共调查学生人数为 ， 等级人数 ，
故答案为：200，16；
（2） 等级人数为 ，
补全频数分布直方图如下：
第24页（共35页）（3）由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个
数据都落在 等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
故答案为： ．
（4）估计成绩优秀的学生有 （人 ．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（7分）（2021•白银）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行
车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车
时间忽略不计）．小刚离家的距离 与他所用的时间 的函数关系如图2所示．
（1）小刚家与学校的距离为 300 0 ，小刚骑自行车的速度为 ；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中， 与 的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？
【分析】（1）根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为 ，小刚骑自行
车的速度为 ；
第25页（共35页）（2）先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出
与 之间的函数关系式；
（3）把 代入（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，小刚家与学校的距离为 ，
小刚骑自行车的速度为： ，
故答案为：3000；200；
（2）小刚从图书馆返回家的时间： ，
总时间： ，
设小刚从图书馆返回家的过程中， 与 的函数表达式为 ，
把 ， 代入得：
，解得 ,
；
（3）小刚出发35分钟时，即当 时，
．
答：此时他离家 ．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用该数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
26．（8分）（2021•白银）如图， 内接于 ， 是 的直径 的延长线上一
点， ．过圆心 作 的平行线交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径及 的值．
第26页（共35页）【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出, ，由圆周角定理可得
，进而得到 ，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到 ,设 ,则 ,
,在 中，根据勾股定理求出 ,即 的半径为3，由平行线
的性质得到 ,在 中，可求得 ,即 ．
【解答】（1）证明： ,
,
,
,
是 的直径，
,
,
,
即 ,
,
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： ，
,
， ，
,
设 ,则 , ,
,
第27页（共35页）是直角三角形，
在 中， ,
,
解得， ,
,即 的半径为3，
,
,
在 中， ,
．
【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的
判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段
成比例定理是解题的关键．
27．（8分）（2021•白银）问题解决：如图1，在矩形 中，点 ， 分别在 ，
边上， ， 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 ， 分别在 ， 边上， 与 相交于
点 ， ， ， ， ，求 的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得 ，由等角的余角相等可得
，利用 可得 ，由全等三角形的性质得 ，
即可得四边形 是正方形；
（ 2 ） 根 据 矩 形 的 性 质 得 ， ， 利 用 可 得
第28页（共35页），由全等三角形的性质得 ，由已知 可得 ，
即可得 是等腰三角形；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ，利用 可得 ，
由全等三角形的性质得 ， ，由已知 可得 ，
可得 是等边三角形，则 ，等量代换可得
．
【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
四边形 是正方形；
（2）解： 是等腰三角形，
理由： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
第29页（共35页），
，
是等腰三角形；
（3）解：延长 到点 ，使 ，连接 ，
四边形 是菱形，
, ,
,
,
，
， ，
,
，
是等边三角形，
，
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（10分）（2021•白银）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标
轴交于 ， 两点，直线 交 轴于点 ．点 为直线 下方抛
物线上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 分别交直线 ， 于点 ， ．
（1）求抛物线 的表达式；
第30页（共35页）（2）当 时，连接 ，求 的面积；
（3）① 是 轴上一点，当四边形 是矩形时，求点 的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点 ，满足 ，求 周长的最小值．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出点 的坐标，可得结论．
（3）①过点 作 于 ,证明 ,推出 , ,由
,可得 ,由题意直线 的解析式为 ,设 ,
,根据 ,构建方程求解，可得结论．
②因为 的周长 ,所以要使得 的
周长最小，只要 的值最小，因为 ,所以当点 在 上时，
的值最小．
【解答】解：（1） 抛物线 过 ， 两点，
,
解得 ,
第31页（共35页）．
（2） , ,
, ,
轴， 轴，
在 和 中， ,
即 ,
,
,
当 时， ,
,即 ,
,
．
①如图1中，过点 作 于 ,
第32页（共35页）四边形 是矩形，
, ,
,
,
,
, ,
,
,
, ,
直线 的解析式为 ,
设 , ,
由 得到， ,
,
, ,
,
,
第33页（共35页）,
,
．
②如图2中，
,
,
的周长 ,
要使得 的周长最小，只要 的值最小，
,
当点 在 上时， 的值最小，
,
的周长的最小值为 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角
形的判定和性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会寻找
全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/6/26 19:22:47；用户：庞如兰老师；邮箱：13856865289；学号：24955577
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