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2019年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）（2019•邵阳）下列各数中，属于无理数的是
A． B．1.414 C． D．
2．（3分）（2019•邵阳）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是
A． 正方体 B． 圆柱
C． 圆锥 D． 球
3．（3分）（2019•邵阳）据海关统计：2019年前4个月，中国对美国贸易顺差为5700亿元．用
科学记数法表示5700亿元正确的是
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
4．（3分）（2019•邵阳）如图，已知两直线 与 被第三条直线 所截，下列等式一定成立的是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•邵阳）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义
卖活动中，某班级售书情况如表：
售价 3元 4元 5元 6元
数目 14本 11本 10本 15本
下列说法正确的是
第1页（共25页）A．该班级所售图书的总收入是226元
B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
C．在该班级所售图书价格组成的一纽数据中，众数是15
D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
6．（3分）（2019•邵阳）以下计算正确的是
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•邵阳）一次函数 的图象 如图所示，将直线 向下平移若干个单
位后得直线 ， 的函数表达式为 ．下列说法中错误的是
A． B．
C． D．当 时，
8．（3分）（2019•邵阳）如图，以点 为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到△
，以下说法中错误的是
A． △
B．点 、点 、点 三点在同一直线上
C．
D．
第2页（共25页）9．（3分）（2019•邵阳）如图，在 中， ， ， 是斜边 上的中
线，将 沿 对折，使点 落在点 处，线段 与 相交于点 ，则 等于
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为 ，超过 的部分按每千米
另收费．津津乘坐这种出租车走了 ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了 ，付了28
元．设这种出租车的起步价为 元，超过 后每千米收费 元，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2019•邵阳） 的相反数是 ．
12．（3分）（2019•邵阳）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜
色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好
是一红一蓝的概率是 ．
13．（3分）（2019•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，反比例函数
的图象经过线段 的中点 ，则 ．
14．（3分）（2019•邵阳）不等式组 的解集是 ．
第3页（共25页）15．（3分）（2019•邵阳）如图，已知 ，请你添加一个条件，使得 ，你添
加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）
16．（3分）（2019•邵阳）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则
的最小整数值是 ．
17．（3分）（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽
弦图”．如图，设勾 ，弦 ，则小正方形 的面积是 ．
18．（3分）（2019•邵阳）如图，将等边 放在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点
在第一象限，将等边 绕点 顺时针旋转 得到△ ，则点 的坐标是 ．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题毎题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必
要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．（8分）（2019•邵阳）计第：
20．（8分）（2019•邵阳）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（8分）（2019•邵阳）如图，在等腰 中， ， 是 的角平分线，且
，以点 为圆心， 长为半径画弧 ，交 于点 ，交 于点 ．
（1）求由弧 及线段 、 、 围成图形（图中阴影部分）的面积；
第4页（共25页）（2）将阴影部分剪掉，余下扇形 ，将扇形 围成一个圆锥的侧面， 与 正好重
合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高 ．
22．（8分）（2019•邵阳）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学
社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各
社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计
图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
23．（8分）（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李
魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元
人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计 2020年我国外贸进出口总值将达
36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
24．（8分）（2019•邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空
集热管 与支架 所在直线相交于点 ，且 ；支架 与水平线 垂直．
， ， ，另一支架 与水平线夹角 ，求 的
长度（结果精确到 ；温馨提示： ， ，
第5页（共25页）25．（8分）（2019•邵阳）如图1，已知 外一点 向 作切线 ，点 为切点，连接
并延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，过点 作 ，分别交 于点 ，
交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，当 时
①求 的度数；
②连接 ，在 上是否存在点 使得四边形 是菱形．若存在，请直接写出 的值；
若不存在，请说明理由．
26．（10分）（2019•邵阳）如图，二次函数 的图象过原点，与 轴的另一个交
点为
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在 轴上方作 轴的平行线 ，交二次函数图象于 、 两点，过 、 两点分别作
轴的垂线，垂足分别为点 、点 ．当矩形 为正方形时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点
以相同的速度从点 出发沿线段 匀速运动，到达点 时立即原速返回，当动点 返回
到点 时， 、 两点同时停止运动，设运动时间为 秒 ．过点 向 轴作垂线，交抛物
线于点 ，交直线 于点 ，问：以 、 、 、 四点为顶点构成的四边形能否是平行四
边形．若能，请求出 的值；若不能，请说明理由．
第6页（共25页）第7页（共25页）2019 年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，属于无理数的是
A． B．1.414 C． D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解；
【解答】解： 是有理数； 是无理数；
故选： ．
2．（3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是
A． 正方体 B． 圆柱
C． 圆锥 D． 球
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是
俯视图．
【解答】解： ．俯视图与主视图都是正方形，故选项 不合题意；
．俯视图与主视图都是正方形，故选项 不合题意；
．俯视图是圆，左视图是三角形；故选项 符合题意；
．俯视图与主视图都是圆，故选项 不合题意；
故选： ．
3．（3分）据海关统计：2019年前4个月，中国对美国贸易顺差为5700亿元．用科学记数法表
示5700亿元正确的是
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
第8页（共25页）【分析】根据科学记数法的表示方法 即可求解；
【解答】解：5700亿元 元 元；
故选： ．
4．（3分）如图，已知两直线 与 被第三条直线 所截，下列等式一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】由三线八角以及平行线的性质可知， ， ， 成立的条件题目并没有提供，而 选
项中邻补角的和为 一定正确．
【解答】解： 与 是同为角， 与 是内错角， 与 是同旁内角，由平行线的性质
可知，选项 ， ， 成立的条件为 时，而 与 是邻补角，故 正确．
故选： ．
5．（3分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某
班级售书情况如表：
售价 3元 4元 5元 6元
数目 14本 11本 10本 15本
下列说法正确的是
A．该班级所售图书的总收入是226元
B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
C．在该班级所售图书价格组成的一纽数据中，众数是15
D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
【分析】把所有数据相加可对 进行判断；利用中位数和众数的定义对 、 进行判断；利用
方差的计算公式计算出这组数据的方差，从而可对 进行判断（当然前面三个判断了可直接
对 进行判断）．
【解答】解： 、该班级所售图书的总收入为 ，所以 选项正
确；
第9页（共25页）、第25个数为4，第26个数为5，所以这组数据的中位数为4.5，所以 选项错误；
、这组数据的众数为4，所以 选项错误；
、 这 组 数 据 的 平 均 数 为 ， 所 以 这 组 数 据 的 方 差
，所以 选项错误．
故选： ．
6．（3分）以下计算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解；
【解答】解： ， 错误；
不能合并同类项， 错误；
， 错误；
故选： ．
7．（3分）一次函数 的图象 如图所示，将直线 向下平移若干个单位后得直线 ，
的函数表达式为 ．下列说法中错误的是
A． B．
C． D．当 时，
【分析】根据两函数图象平行 相同，以及向下平移减即可判断．
第10页（共25页）【解答】解： 将直线 向下平移若干个单位后得直线 ，
直线 直线 ，
，
直线 向下平移若干个单位后得直线 ，
，
当 时， ，
故选： ．
8．（3分）如图，以点 为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到△ ，以下说法
中错误的是
A． △
B．点 、点 、点 三点在同一直线上
C．
D．
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解答】解： 以点 为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到△ ，
△ ，点 、点 、点 三点在同一直线上， ，
，故选项 错误，符合题意．
故选： ．
9．（3分）如图，在 中， ， ， 是斜边 上的中线，将
沿 对折，使点 落在点 处，线段 与 相交于点 ，则 等于
第11页（共25页）A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理求出 ．由直角三角形斜边上的中线的性
质得出 ，利用等腰三角形的性质求出 ， ，
利用三角形内角和定理求出 ．再根据折叠的性质得出
，然后根据三角形外角的性质得出 ．
【解答】解： 在 中， ， ，
．
是斜边 上的中线，
，
， ，
．
将 沿 对折，使点 落在点 处，
，
．
故选： ．
10．（3分）某出租车起步价所包含的路程为 ，超过 的部分按每千米另收费．津津
乘坐这种出租车走了 ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了 ，付了28元．设这种出
租车的起步价为 元，超过 后每千米收费 元，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据津津乘坐这种出租车走了 ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了 ，付
了28元可列方程组．
【解答】解：设这种出租车的起步价为 元，超过 后每千米收费 元，
则所列方程组为 ，
故选： ．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
第12页（共25页）11．（3分） 的相反数是 ．
【分析】根据相反数的意义，即可求解；
【解答】解： 的相反数是 ；
故答案为 ；
12．（3分）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、
白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概
率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的结
果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有2种结果，
所以取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为 ，
故答案为： ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，反比例函数 的图
象经过线段 的中点 ，则 ．
【分析】已知 ， 是 的中点，根据平行线等分线段定理可得点 的坐标，把 的坐
标代入关系式可求 的值．
【解答】解：如图： ， 是 的中点，
第13页（共25页）同理
，
， ，
代入 得：
故答案为：
14．（3分）不等式组 的解集是 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
15．（3分）如图，已知 ，请你添加一个条件，使得 ，你添加的条件是
或 或 ．（不添加任何字母和辅助线）
【分析】根据图形可知证明 已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利
用 、 、 证明两三角形全等．
【解答】解： ， ，
可以添加 ，此时满足 ；
第14页（共25页）添加条件 ，此时满足 ；
添加条件 ，此时满足 ，
故答案为 或 或 ；
16．（3分）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的最小整数值
是 0 ．
【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式△ 求解即可；
【解答】解：一元二次方程 有两个不相等的实数根，
△ ，
；
故答案为0；
17．（3分）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，
设勾 ，弦 ，则小正方形 的面积是 4 ．
【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
【解答】解： 勾 ，弦 ，
股 ，
小正方形的边长 ，
小正方形的面积
故答案是：4
18．（3分）如图，将等边 放在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在第一象
限，将等边 绕点 顺时针旋转 得到△ ，则点 的坐标是 ．
第15页（共25页）【分析】作 轴于 ，如图，利用等边三角形的性质得到 ， ，
再计算出 ，从而得到 点坐标为 ， ，然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出
点 的坐标．
【解答】解：作 轴于 ，如图，
为等边三角形，
， ，
，
点坐标为 ， ，
等边 绕点 顺时针旋转 得到△ ，
点 的坐标是 ．
故答案为 ．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题毎题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必
要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．（8分）计第：
【分析】分别化简每一项，再进行运算即可；
【解答】解： ；
第16页（共25页）20．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当 时，
原式 ．
21．（8分）如图，在等腰 中， ， 是 的角平分线，且 ，以点
为圆心， 长为半径画弧 ，交 于点 ，交 于点 ．
（1）求由弧 及线段 、 、 围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形 ，将扇形 围成一个圆锥的侧面， 与 正好重
合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高 ．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到 ， ，则可计算出 ，然后
利用扇形的面积公式，利用由弧 及线段 、 、 围成图形（图中阴影部分）的面积
进行计算；
（2）设圆锥的底面圆的半径为 ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆
锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，解得 ，然
后利用勾股定理计算这个圆锥的高 ．
【解答】解： 在等腰 中， ，
，
第17页（共25页）是 的角平分线，
， ，
，
，
由 弧 及 线 段 、 、 围 成 图 形 （ 图 中 阴 影 部 分 ） 的 面 积
；
（2）设圆锥的底面圆的半径为 ，
根据题意得 ，解得 ，
这个圆锥的高 ．
22．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、
科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现
在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 5 0 ；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
【分析】（1）利用摄影社团的人数除以摄影社团所占的百分比即可得到结论；
（2）求出参与篮球社的人数和国学社的人数，补全条形统计图即可；
（3）利用科技制作社团所占的百分比乘以 即可得到结论；
（4）利用全校学生数乘以参加篮球社团所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是 ，
第18页（共25页）故答案为：50；
（2）参与篮球社的人数 人，
参与国学社的人数为 人，
补全条形统计图如图所示；
（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为 ；
（4） 名，
答：全校有600学生报名参加篮球社团活动．
23．（8分）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指
出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望
继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人
民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
【分析】根据 增长率公式建立方程 ，解方程即可．
【解答】解：设平均增长率为 ，根据题意列方程得
解得 ， （舍
答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为 ．
24．（8分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管 与
支架 所在直线相交于点 ，且 ；支架 与水平线 垂直． ，
， ，另一支架 与水平线夹角 ，求 的长度（结果精
确到 ；温馨提示： ， ，
第19页（共25页）【分析】设 ，根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可
求出答案．
【解答】解：设 ，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
．
25．（8分）如图1，已知 外一点 向 作切线 ，点 为切点，连接 并延长交
于点 ，连接 并延长交 于点 ，过点 作 ，分别交 于点 ，交 于点
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，当 时
①求 的度数；
②连接 ，在 上是否存在点 使得四边形 是菱形．若存在，请直接写出 的值；
若不存在，请说明理由．
第20页（共25页）【分析】（1）由切线性质和直径 可得 ，由 可得
，即可得： ；
（2）①连接 ，由 可得 是等边三角形，由此可得 ，
；
②作 交 于 ，可证 为菱形，求 可转化为求 ．
【解答】解：（1）证明：如图1， 切 于点 ， 是 的直径，
（2）如图2，连接 ，
① ，
是等边三角形
②存在．如图2，过点 作 交 于 ，连接 ， ， ，
由①得： ，
第21页（共25页），
四边形 是平行四边形
四边形 是菱形
26．（10分）如图，二次函数 的图象过原点，与 轴的另一个交点为
第22页（共25页）（1）求该二次函数的解析式；
（2）在 轴上方作 轴的平行线 ，交二次函数图象于 、 两点，过 、 两点分别作
轴的垂线，垂足分别为点 、点 ．当矩形 为正方形时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点
以相同的速度从点 出发沿线段 匀速运动，到达点 时立即原速返回，当动点 返回
到点 时， 、 两点同时停止运动，设运动时间为 秒 ．过点 向 轴作垂线，交抛物
线于点 ，交直线 于点 ，问：以 、 、 、 四点为顶点构成的四边形能否是平行四
边形．若能，请求出 的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点 ， 的坐标，进而可得出点 ， 的坐标，再
利用正方形的性质可得出关于 的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点 ， ， ， 的坐标，根据点 ， 的坐标，利用待定系数法可求出直线
的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点
， 的坐标，由 且以 、 、 、 四点为顶点的四边形为平行四边形可得出
，分 ， ， 三种情况找出 ， 的长，由 可得出关
于 的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【解答】解：（1）将 ， 代入 ，得：
，解得： ，
该二次函数的解析式为 ．
第23页（共25页）（2）当 时， ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ．
矩形 为正方形，
，
解得： （舍去）， ．
当矩形 为正方形时， 的值为4．
（3）以 、 、 、 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得：
，解得： ，
直线 的解析式为 ．
当 时， ， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
以 、 、 、 四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 ，
，分三种情况考虑：
①当 时，如图1所示， ， ，
，
解得： （舍去）， ；
第24页（共25页）②当 时，如图2所示， ， ，
，
解得： （舍去）， ；
③当 时， ， ，
，
解得： （舍去）， （舍去）．
综上所述：当以 、 、 、 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时， 的值为4或6．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/10 10:02:19；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第25页（共25页）
