文档内容
2019年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）（2019•长沙）下列各数中，比 小的数是
A． B． C．0 D．1
2．（3分）（2019•长沙）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙
电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科
学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•长沙）下列计算正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•长沙）下列事件中，是必然事件的是
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是
5．（3分）（2019•长沙）如图，平行线 ， 被直线 所截， ，则 的度数是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•长沙）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是
第1页（共29页）A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•长沙）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩
各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入
决赛，小明需要知道这11名同学成绩的
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（3分）（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为 ，则该扇形的面积是
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•长沙）如图， 中， ， ，分别以点 和点 为圆心，
大于 的长为半径作弧，两弧相交于 、 两点，作直线 ，交 于点 ，连接 ，
则 的度数是
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔 的北偏东 方向，距离灯塔
的小岛 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的南偏东 方向上的 处，
这时轮船 与小岛 的距离是
第2页（共29页）A． B．
C． D．
11．（3分）（2019•长沙）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：
用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，
问木头长多少尺？可设木头长为 尺，绳子长为 尺，则所列方程组正确的是
A． B．
C． D．
12．（3分）（2019•长沙）如图， 中， ， ， 于点 ， 是线
段 上的一个动点，则 的最小值是
A． B． C． D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
第3页（共29页）13．（3分）（2019•长沙）式子 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
14．（3分）（2019•长沙）分解因式： ．
15．（3分）（2019•长沙）不等式组 的解集是 ．
16．（3分）（2019•长沙）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，
从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不
断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次 100 1000 5000 10000 50000 100000
数
“摸出黑 36 387 2019 4009 19970 40008
球”的次数
“摸出黑 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400
球”的频率
（结果保留
小数点后三
位）
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 ．（结果保留小数点后一位）
17．（3分）（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的 ， 两点间的距离，可以在池塘外选
一点 ，连接 ， ，分别取 ， 的中点 ， ，测得 ，则 的长是
．
18．（3分）（2019•长沙）如图，函数 为常数， 的图象与过原点的 的直线相交
于 ， 两点，点 是第一象限内双曲线上的动点（点 在点 的左侧），直线 分别交
轴， 轴于 ， 两点，连接 分别交 轴， 轴于点 ， ．现有以下四个结论：
① 与 的面积相等；②若 于点 ，则 ；③若 点的横坐
标为1， 为等边三角形，则 ；④若 ，则 ．
其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）
第4页（共29页）三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题
每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算
步骤）
19．（6分）（2019•长沙）计算： ．
20．（6分）（2019•长沙）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（8分）（2019•长沙）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为
了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进
行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不
完整的统计表和条形统计图．
等级 频数 频率
优秀 21
良好
合格 6
待合格 3
（1）本次调查随机抽取了 名学生；表中 ， ；
第5页（共29页）（2）补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级
的学生共有多少人．
22．（8分）（2019•长沙）如图，正方形 ，点 ， 分别在 ， 上，且 ，
与 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
23．（9分）（2019•长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意
见》，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费
辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
24．（9分）（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两
个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横
线上填写“真”或“假” ．
①四条边成比例的两个凸四边形相似； 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似； 命题）
③两个大小不同的正方形相似． 命题）
（2）如图1，在四边形 和四边形 中， ， ，
．求证：四边形 与四边形 相似．
（3）如图2，四边形 中， ， 与 相交于点 ，过点 作 分别交
， 于点 ， ．记四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若四边形
第6页（共29页）与四边形 相似，求 的值．
25．（10分）（2019•长沙）已知抛物线 ， 为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为 ，求 ， 的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数 ， ，当 时，恰好 ，求
， 的值．
26．（10分）（2019•长沙）如图，抛物线 为常数， 与 轴交于 ， 两点，
点 为抛物线的顶点，点 的坐标为 ， ，连接 并延长与过 ， ， 三点
的 相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）过点 作 的切线 交 轴于点 ．
①如图1，求证： ；
②如图2，连接 ， ， ，当 ， 时，求 的值．
第7页（共29页）2019 年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，比 小的数是
A． B． C．0 D．1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④
两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解： ，
所以比 小的数是 ，
故选： ．
2．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改
造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表
示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：数据150 0000 0000用科学记数法表示为 ．
故选： ．
3．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式
解答即可．
【解答】解： 、 与 不是同类项，故不能合并，故选项 不合题意；
、 ，故选项 符合题意；
、 ，故选项 不符合题意；
、 ，故选项 不合题意．
第8页（共29页）故选： ．
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是
【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称
为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解： ．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
．任意画一个三角形，其内角和是 ，属于必然事件，符合题意；
故选： ．
5．（3分）如图，平行线 ， 被直线 所截， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答】解： ，
，
，
．
故选： ．
6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是
第9页（共29页）A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选： ．
7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按
照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需
要知道这11名同学成绩的
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选： ．
8．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为 ，则该扇形的面积是
A． B． C． D．
【分析】根据扇形的面积公式 计算即可．
【解答】解： ，
故选： ．
第10页（共29页）9．（3分）如图， 中， ， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧相交于 、 两点，作直线 ，交 于点 ，连接 ，则 的
度数是
A． B． C． D．
【分析】根据内角和定理求得 ，由中垂线性质知 ，即 ，
从而得出答案．
【解答】解：在 中， ， ，
，
由作图可知 为 的中垂线，
，
，
，
故选： ．
10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔 的北偏东 方向，距离灯塔 的小岛 出发，
沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的南偏东 方向上的 处，这时轮船 与小
岛 的距离是
第11页（共29页）A． B．
C． D．
【分析】过点 作 ，则在 中易得 的长，再在直角 中求出 ，相
加可得 的长．
【解答】解：过 作 于 点，
， ， （海里）．
在 中， ，
（海里）．
在 中， ，
（海里），
．
答：此时轮船所在的 处与灯塔 的距离是 海里．
故选： ．
11．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知
长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量
一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少
尺？可设木头长为 尺，绳子长为 尺，则所列方程组正确的是
A． B．
第12页（共29页）C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选： ．
12．（3分）如图， 中， ， ， 于点 ， 是线段 上的一
个动点，则 的最小值是
A． B． C． D．10
【分析】如图，作 于 ， 于 ．由 ，设 ， ，利
用勾股定理构建方程求出 ，再证明 ，推出 ，由垂线段
最短即可解决问题．
【解答】解：如图，作 于 ， 于 ．
，
，
第13页（共29页），设 ， ，
则有： ，
，
或 （舍弃），
，
， ， ，
（等腰三角形两腰上的高相等）
， ，
，
，
，
，
，
的最小值为 ．
故选： ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）式子 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
【解答】解：式子 在实数范围内有意义，则 ，
故实数 的取值范围是： ．
故答案为： ．
14．（3分）分解因式： ．
【分析】先提取公因式 ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：
第14页（共29页）．
故答案为： ．
15．（3分）不等式组 的解集是 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
16．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机
摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述
过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次 100 1000 5000 10000 50000 100000
数
“摸出黑 36 387 2019 4009 19970 40008
球”的次数
“摸出黑 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400
球”的频率
（结果保留
小数点后三
位）
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 0. 4 ．（结果保留小数点后一位）
【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，
故摸到白球的频率估计值为0.4；
故答案为：0.4．
17．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的 ， 两点间的距离，可以在池塘外选一点 ，连接
， ，分别取 ， 的中点 ， ，测得 ，则 的长是 10 0 ．
第15页（共29页）【分析】先判断出 是 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三
边的一半可得 ，问题得解．
【解答】解： 点 ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
米．
故答案为：100．
18．（3分）如图，函数 为常数， 的图象与过原点的 的直线相交于 ， 两点，
点 是第一象限内双曲线上的动点（点 在点 的左侧），直线 分别交 轴， 轴于 ，
两点，连接 分别交 轴， 轴于点 ， ．现有以下四个结论：
① 与 的面积相等；②若 于点 ，则 ；③若 点的横坐
标为1， 为等边三角形，则 ；④若 ，则 ．
其中正确的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号）
【分析】①设点 ， ，构建一次函数求出 ， 坐标，利用三角形的面积公式计
算即可判断．
② 不一定是等边三角形，故结论不一定成立．
③设 ，由 为等边三角形，推出 ，可得 ，推出
第16页（共29页），根据 ，构建方程求出 即可判断．
④如图，作 交 于 ．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：①设点 ， ，
则直线 的解析式为 ，
， ， ，
， ，
与 的面积相等，故①正确；
反比例函数与正比例函数关于原点对称，
是 的中点，
，
，
，
， ，
， ，
不一定等于 ，
不一定是 ，
不一定是 ．故②错误，
点的横坐标为1，
可以假设 ，
为等边三角形，
，
，
， ，
，
，
，
，
第17页（共29页），
，
，故③正确，
如图，作 交 于 ．
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故答案为①③④．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题
每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算
步骤）
19．（6分）计算： ．
第18页（共29页）【分析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数
值进行计算．
【解答】解：原式
．
20．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将 的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当 时，原式 ．
21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对
垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，
将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表
和条形统计图．
等级 频数 频率
优秀 21
良好
合格 6
待合格 3
（1）本次调查随机抽取了 5 0 名学生；表中 ， ；
第19页（共29页）（2）补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级
的学生共有多少人．
【分析】（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；
（2）根据题意补全条形统计图即可得到结果；
（3）全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）本次调查随机抽取了 名学生， ，
，
故答案为：50，20，12；
（2）补全条形统计图如图所示；
（3） 人，
答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．
22．（8分）如图，正方形 ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， 与 相交于
点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出 ， ，得出 ，由
第20页（共29页）证明 ，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出 ，得出 ，因此 ，
由勾股定理得出 ，在 中，由三角形面积即可得出结果．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）解：由（1）得： ，
，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，
．
23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师
与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，
第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【分析】（1）设增长率为 ，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生
2.42万人次”可列方程求解；
第21页（共29页）（2）用 增长率），计算即可求解．
【解答】解：（1）设增长率为 ，根据题意，得
，
解得 （舍去）， ．
答：增长率为 ．
（2） （万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形
叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横
线上填写“真”或“假” ．
①四条边成比例的两个凸四边形相似； 假 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似； 命题）
③两个大小不同的正方形相似． 命题）
（2）如图1，在四边形 和四边形 中， ， ，
．求证：四边形 与四边形 相似．
（3）如图2，四边形 中， ， 与 相交于点 ，过点 作 分别交
， 于点 ， ．记四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若四边形
与四边形 相似，求 的值．
第22页（共29页）【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断．
（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
（3）四边形 与四边形 相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明 即
可．
【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
（2）证明：如图1中，连接 ， ．
，且 ，
△ ，
， ，
，
，
，
，
△ ，
第23页（共29页）， ， ，
， ， ， ， ，
，
四边形 与四边形 相似．
（3）如图2中，
四边形 与四边形 相似．
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
第24页（共29页）．
25．（10分）已知抛物线 ， 为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为 ，求 ， 的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数 ， ，当 时，恰好 ，求
， 的值．
【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式 可知，
，易得 、 的值；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是 ， ， ， ，代入函数
解析式，经过化简得到 ，易得 ；
（3）由题意知，抛物线为 ，则 ．利用不等式的性质推知：
，易得 ．由二次函数图象的性质得到：当 时， ．
当 时， ．所以 ， 通过解方程求得
、 的值．
【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是： ．
．
， ．
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是 ， ， ， ，
第25页（共29页）代入解析式可得： ．
两式相加可得： ．
，
；
（3）由（1）可知抛物线为 ．
．
，当 时，恰好 ，
．
．
，即 ．
．
抛物线的对称轴是 ，且开口向下，
当 时， 随 的增大而减小．
当 时， ．
当 时， ．
又 ，
．
将①整理，得 ，
变形，得 ．
第26页（共29页）．
，
．
解得 （舍去）， ．
同理，由②得到： ．
，
．
解得 ， （舍去）， （舍去）．
综上所述， ， ．
26．（10分）如图，抛物线 为常数， 与 轴交于 ， 两点，点 为抛物
线的顶点，点 的坐标为 ， ，连接 并延长与过 ， ， 三点的 相交于
点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）过点 作 的切线 交 轴于点 ．
①如图1，求证： ；
②如图2，连接 ， ， ，当 ， 时，求 的值．
【分析】（1）令 ，可得 ，则 点坐标可求出；
（2）①连接 ，连接 延长交 轴于点 ，由切线的性质可证得 ，则
；
第27页（共29页）②设 ，由 ，可得 ，由 可得 ，则
，综合整理代入 可求出 的值．
【解答】解：（1）令 ，
，
；
（2）①证明：如图，连接 ，连接 延长交 轴于点 ，
过 、 、 三点， 为顶点，
， ，
又 ，
，
为切线，
，
又 ，
，
．
②解：设 ，即 ，
由切割线定理得： ，
，
①，
，
， ，
第28页（共29页）由角平分线定理： ，
即： ，
②，
由①②得 ，
整理得： ，
，
．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/9 8:47:46；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第29页（共29页）
