文档内容
2021-2022学年四川省巴中市平昌县八年级（上）期末数学试卷
（北师版）
一、选择题（48分，每小题4分）
1．（4分）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
2．（4分）有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直
角三角形，则下列木条长度适合的是（ ）
A．10cm B．13cm C．18cm D．20cm
3．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．（﹣4）2的算术平方根是4
C． ＝±3 D． 是最简二次根式
4．（4分）如图，直线l 、l 分别与△ABC的两边AB、BC相交，且l ∥l ，若∠B＝35°，∠1＝
1 2 1 2
105°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．40° D．60°
5．（4分）《九章算术》是中国传统数学中最早记载无理数的著作．书中对开方开不尽的数叫
做“面”．例如面积为3的正方形的边长为3“面”，关于3“面”的说法正确的是
（ ）
A．它是无限循环小数 B．它是0和1之间的实数
C．它不存在 D．它是1和2之间的实数
6．（4分）在平面直角坐标系坐标中，第二象限内的点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是
2，则A点坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
7．（4分）数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结
第1页（共30页）论的例子．为说明命题“对于任何实数a，都有 ＝a”是假命题，所列举反例正确的是
（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
8．（4分）若点P（1，6）关于y轴的对称点在一次函数y＝（3k+2）x﹣1的图象上，则k的值为（
）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
9．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（
）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，
∠D＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．20° D．22.5°
第2页（共30页）11．（4分）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控
制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音
“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD
的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
12．（4分）某快递公司每天上午7：00﹣8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，
乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数
图象如图所示，下列说法正确的个数为：（ ）
①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；
②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；
③8：00时，甲仓库内快件数为400件；
④7：20时，两仓库快递件数相同．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（18分，每小题3分）
13．（3分）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（3分）已知点（ +1，y ），（4，y ）在一次函数y＝﹣2x+4图象上，则y y（填
1 2 1 2
“＞”、“＜”或“＝”）．
15．（3分）三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”，如图所示，
△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD和四边形
第3页（共30页）EFGH都是正方形，如果EF＝2，AH＝6，那么四边形ABCD的面积等于 ．
16．（3分）如图，已知直线l ：y＝3x+1和直线l ：y＝mx+n交于点P（1，b），则关于x，y的二元
1 1
一次方程组 的解是 ．
17．（3分）阅读理解：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，i叫做虚数单位，我们把形如
a+bi（a、b为实数，且b≠0）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚
部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝2×3+2i﹣3i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i．
根据以上信息，计算（3+i）（1﹣3i）＝ ．
18．（3分）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻
折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ．
三、解答题（84分）
19．（10分）计算：
（1） ；
第4页（共30页）（2） ．
20．（6分）解方程组 时，两位同学的解法如下：
解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3；
解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③．
①代入③得3x+2＝5．
（1）反思：上述两种解题过程中你发现解法 的解题过程有错误（填“一”或
“二”）；解二元一次方程组的基本思想 ．
（2）请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
21．（10分）某城市的简图如图（网格中每个小正方形的边长为1个单位长度），文化馆C的
坐标是（﹣2，﹣3），宾馆F的坐标是（3，1），依次完成下列各问：
（1）在图中建立平面直角坐标系，写出体育馆A的坐标 ，火车站M的坐标
；
（2）学校B与火车站M关于x轴对称，请在图中标出学校的位置点B，写出点B的坐标
，计算出图中体育馆A到学校B的直线距离AB＝ ；
（3）如果这幅图的比例尺为1：1000（1个单位长度表示1000米），求出学校到体育馆的实
际距离．
22．（12分）为了加强安全教育，我校组织八、九年级开展了以“烤火必开窗，关窗先灭火”
为主题知识竞赛，为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了20名同学的成绩（满分为
100分）．收集整理数据如表：
第5页（共30页）分数 70 75 80 85 90 95 100
八年级 2人 3人 2人 4人 5人 3人 1人
九年级 0人 2人 5人 8人 2人 a人 1人
分析数据：
平均数 中位数 众数 方差
八年级 b c 90 76.3
九年级 85 85 d 42.1
根据以上信息回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）请通过平均数和方差分析两个年级掌握防火知识的情况；
（3）该校八、九年级共有1000人，本次知识竞赛成绩不低于85分的为“优秀”．请估计这
两个年级共有多少名学生到达“优秀”．
23．（10分）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购
买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品
牌的足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌的足球的单价．
（2）该校打算通过“京东商城”网购20个足球共花w元，若购买A品牌的足球x个，求w
与x的函数关系式．如果购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则学校最多需要花
多少钱？
24．（10分）如图，直线l ：y＝﹣2x+4分别与x轴、y轴交于点D、点A，直线l ：y＝x+1与x轴
1 2
交于点C，两直线l 、l 相交于点B，连AC．
1 2
（1）求点B的坐标和直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积．
第6页（共30页）25．（12分）如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形外一点，以BC为斜边作直角三角
形BCE，以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且∠EBF＝90°，连结AF．
（1）求证：AF＝CE；
（2）求证：AF∥EB；
（3）若EF＝ ， ＝ ，求BC的长．
26．（14分）如图，直线l ：y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l ：y＝kx+1与x轴
1 2
交于点D，两直线l ，l 相交于点C（2，2），在x轴上有一动点E（m，0）．
1 2
（1）求两条直线的解析式；
（2）过点E作直线l⊥x轴，交直线l 于点F，交直线l 于点G；
1 2
①当GF的长为3时，求m的值；
②当 ＝3时，求m的值；
（3）当m＝1时，如图③所示，连接BE，过点B作直线交x轴于点P，使得∠OBE＝
∠ABP，求直线BP的解析式．
第7页（共30页）第8页（共30页）2021-2022学年四川省巴中市平昌县八年级（上）期末数学试卷
（北师版）
参考答案与试题解析
一、选择题（48分，每小题4分）
1．（4分）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数判断即可．
【解答】解：A． ，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B． ，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D． 是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无理数的概念：无限不循环小数是
解题的关键．
2．（4分）有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直
角三角形，则下列木条长度适合的是（ ）
A．10cm B．13cm C．18cm D．20cm
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵52+122＝132，122﹣52＝（ ）2，
∴木条长度适合的是13cm，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．（﹣4）2的算术平方根是4
C． ＝±3 D． 是最简二次根式
第9页（共30页）【分析】根据平方根的意义，最简二次根式的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．∵1的平方根是±1，∴A错误，故A不符合题意；
B．∵（﹣4）2的算术平方根是4，∴B正确，故B符合题意；
C．∵ ＝3，∴C错误，故C不符合题意；
D．∵ ＝2 ，∴D错误，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平方根，最简二次根式，熟练掌握平方根的意义，最简二次根式的定义
是解题的关键．
4．（4分）如图，直线l 、l 分别与△ABC的两边AB、BC相交，且l ∥l ，若∠B＝35°，∠1＝
1 2 1 2
105°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．40° D．60°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠3，再利用平行线的性质求出∠2即可．
【解答】解：∵∠3+∠1+∠B＝180°，
∴∠3＝180°﹣35°﹣105°＝40°，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠2＝∠3＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识，属于中考常考题型．
5．（4分）《九章算术》是中国传统数学中最早记载无理数的著作．书中对开方开不尽的数叫
做“面”．例如面积为3的正方形的边长为3“面”，关于3“面”的说法正确的是
（ ）
第10页（共30页）A．它是无限循环小数 B．它是0和1之间的实数
C．它不存在 D．它是1和2之间的实数
【分析】估算出 的值即可判断．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴3“面”它是1和2之间的实数，
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
6．（4分）在平面直角坐标系坐标中，第二象限内的点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是
2，则A点坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【分析】根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴
的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵第二象限的点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标是﹣2，纵坐标是3，
∴点P的坐标为（﹣2，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等
于横坐标的绝对值是解题的关键．
7．（4分）数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结
论的例子．为说明命题“对于任何实数a，都有 ＝a”是假命题，所列举反例正确的是
（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
【分析】利用a＜0时， ＝a不成立，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：当a＝﹣2时， ＝a不成立．
故选：A．
【点评】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真
即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举
第11页（共30页）出一个反例即可．
8．（4分）若点P（1，6）关于y轴的对称点在一次函数y＝（3k+2）x﹣1的图象上，则k的值为（
）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【分析】由关于y轴的对称点的坐标“横坐标互为相反数，纵坐标不变”可得出点P关于y
轴对称点的坐标，由该点在一次函数y＝（3k+2）x﹣1的图象上，利用一次函数图象上点的
坐标特征即可求出k值，
【解答】解：点P（1，6）关于y轴的对称点坐标为（﹣1，6）．
∵点（﹣1，6）在一次函数y＝（3k+2）x﹣1的图象上，
∴6＝﹣（3k+2）﹣1，
∴k＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于y轴对称的点的坐标特征，牢
记“关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点
的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变”是解题的关键．
9．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（
）
A． B．
C． D．
第12页（共30页）【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象可以得到k、b的正负情况，然后根据一次函数的性
质可以得到一次函数y＝﹣bx+k的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，k＜0，b＞0，
故一次函数y＝﹣bx+k的图象经过第二、三、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解
答．
10．（4分）如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，
∠D＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．20° D．22.5°
【分析】先根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，再根据三角形外
角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，代入得：∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），可得结论．
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠ACD+∠ECD＝∠ABD+∠CBD+∠A，
∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，
∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），
∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°，
∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°，
∴∠A＝2×15°＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性
质进行计算．
11．（4分）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控
制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音
第13页（共30页）“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD
的长为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【解答】解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m，
由勾股定理得BD＝CE＝ ＝4（m），
故离门4米远的地方，门铃恰好自动响起．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
12．（4分）某快递公司每天上午7：00﹣8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，
乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数
图象如图所示，下列说法正确的个数为：（ ）
①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；
②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；
③8：00时，甲仓库内快件数为400件；
④7：20时，两仓库快递件数相同．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象可知15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，据此可得甲仓库揽收快件
的速度，进而得出8：00时，甲仓库内快件数；由图象可知45分钟，乙仓库派送快件数量为
第14页（共30页）180件，可得乙仓库每分钟派送快件的数量，进而得出乙仓库快件的总数量，然后根据题
意列方程即可求出两仓库快递件数相同是时间．
【解答】解：由题意结合图象可知：
15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①说法错误；
甲仓库揽收快件的速度为：（130﹣40）÷15＝6（件/分），
所以8：00时，甲仓库内快件数为：40+6×60＝400（件），故③说法正确；
60﹣15＝45（分），
即45分钟乙仓库派送快件数量为180件，
所以乙仓库每分钟派送快件的数量为：180÷45＝4（件），故②说法正确；
所以乙仓库快件的总数量为：60×4＝240（件），
设x分钟后，两仓库快递件数相同，根据题意得：
240﹣4x＝40+6x，
解得x＝20，
即7：20时，两仓库快递件数相同，故④说法正确．
所以说法正确的有②③④共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合图象，理解图象中点的坐标代表
的意义．
二、填空题（18分，每小题3分）
13．（3分）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 x ≥﹣ 4 ．
【分析】根据二次根式 （a≥0）进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+4≥0，
∴x≥﹣4，
故答案为：x≥﹣4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 （a≥0）是解题的关键．
14．（3分）已知点（ +1，y ），（4，y ）在一次函数y＝﹣2x+4图象上，则y ＜ y（填
1 2 1 2
“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合 +1＞4，
即可得出y ＜y ．
1 2
第15页（共30页）【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（ +1，y ），（4，y ）在一次函数y＝﹣2x+4图象上，且 +1＞4，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增
大而减小”是解题的关键．
15．（3分）三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”，如图所示，
△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD和四边形
EFGH都是正方形，如果EF＝2，AH＝6，那么四边形ABCD的面积等于 10 0 ．
【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理求出AB的长，则可得出答案．
【解答】解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝6，
∵四边形EFGH都是正方形，
∴HG＝EF＝2，
∴BH＝8，
在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝ ＝ ＝10，
∴四边形ABCD的面积＝10×10＝100．
故答案为：100．
【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角三角形ABH的两直角边的长度．
16．（3分）如图，已知直线l ：y＝3x+1和直线l ：y＝mx+n交于点P（1，b），则关于x，y的二元
1 1
一次方程组 的解是 ．
第16页（共30页）【分析】首先把P（1，b）代入直线l ：y＝3x+1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据
1
两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝3x+1经过点P（1，b），
∴b＝3+1，
解得b＝4，
∴P（1，4），
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的
交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
17．（3分）阅读理解：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，i叫做虚数单位，我们把形如
a+bi（a、b为实数，且b≠0）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚
部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝2×3+2i﹣3i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i．
根据以上信息，计算（3+i）（1﹣3i）＝ 6 ﹣ 8 i ．
【分析】根据整式乘法的运算方法，求出（3+i）（1﹣3i）的值即可．
【解答】解：（3+i）（1﹣3i）
＝3×1﹣3×3i+i﹣3i2
＝3﹣9i+i﹣3i2
＝3﹣8i﹣3×（﹣1）
＝3﹣8i+3
＝6﹣8i．
故答案为：6﹣8i．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确整式的加、减、乘法的运算
第17页（共30页）法则．
18．（3分）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻
折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，DF⊥BC于F，由折叠的性质可得AC＝CE＝3，∠ACD＝
∠BCD＝45°，由勾股定理可求AB＝5，由面积法可求DF的长，由勾股定理可求DE的长．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，DF⊥BC于F，
∵将△ADC沿直线CD翻折，
∴AC＝CE＝3，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴BC＝4，
∵DH⊥AC，DF⊥BC，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴DF＝DH，∠DCF＝∠FDC＝45°，
∴DF＝CF，
∵AB2＝AC2+BC2＝9+16＝25，
∴AB＝5，
∵S△ABC ＝ ×AC×BC＝ ×AC×DH+ ×BC×DF，
∴12＝7DF，
∴DF＝ ，
第18页（共30页）∴DF＝CF＝ ，EF＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求
出DF的长是本题的关键．
三、解答题（84分）
19．（10分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先去掉绝对值，计算零指数幂和开立方、最后算加减法即可；
（2）先用乘法分配律和平方差公式计算，再计算实数加减法即可．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣1+2+1﹣
＝2；
（2）原式＝ × ﹣ × ﹣[22﹣（ ）2]
＝6﹣2 ﹣（4﹣3）
＝6﹣2 ﹣1
＝5﹣2 ．
【点评】本题主要考查了实数的运算，平方差公式和零指数幂，解题的关键是灵活运用运
算法则．
20．（6分）解方程组 时，两位同学的解法如下：
解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3；
解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③．
①代入③得3x+2＝5．
（1）反思：上述两种解题过程中你发现解法 一 的解题过程有错误（填“一”或
“二”）；解二元一次方程组的基本思想 消元 ．
第19页（共30页）（2）请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
【分析】（1）观察两种解法，找出出错的解法即可；解二元一次方程组的基本思想是消元；
（2）选择解法1，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）上述两种解题过程中你发现解法一的解题过程有错误；解二元一次方程组
的基本思想消元；
故答案为：一；消元；
（2）①﹣②得：﹣3x＝﹣3，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1﹣2y＝2，
解得：y＝﹣ ，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
21．（10分）某城市的简图如图（网格中每个小正方形的边长为1个单位长度），文化馆C的
坐标是（﹣2，﹣3），宾馆F的坐标是（3，1），依次完成下列各问：
（1）在图中建立平面直角坐标系，写出体育馆A的坐标 （﹣ 3 ， 2 ） ，火车站M的坐标
（ 5 ， 4 ） ；
（2）学校B与火车站M关于x轴对称，请在图中标出学校的位置点B，写出点B的坐标
（ 5 ，﹣ 4 ） ，计算出图中体育馆A到学校B的直线距离AB＝ 1 0 ；
（3）如果这幅图的比例尺为1：1000（1个单位长度表示1000米），求出学校到体育馆的实
际距离．
第20页（共30页）【分析】（1）由题意建立坐标系即可求解；
（2）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可求B点坐标，再由
两点间距离公式即可求AB的距离；
（3）根据比例尺＝ ，即可求解．
【解答】解：（1）如图建立坐标系，
∴A（﹣3，2），M（5，4），
故答案为：（﹣3，2），（5，4）；
（2）B点与M点关于x轴对称，
∴B（5，﹣4），
∵A（﹣3，2），
∴AB＝ ＝10，
故答案为：（5，﹣4），10；
（3）∵AB＝10，比例尺为1：1000，
∴AB的实际距离为10000米，
∴学校到体育馆的实际距离为10000米．
第21页（共30页）【点评】本题考查平面直角坐标内点的坐标，能够根据所给的点的位置建立恰当的平面直
角坐标系是解题的关键．
22．（12分）为了加强安全教育，我校组织八、九年级开展了以“烤火必开窗，关窗先灭火”
为主题知识竞赛，为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了20名同学的成绩（满分为
100分）．收集整理数据如表：
分数 70 75 80 85 90 95 100
八年级 2人 3人 2人 4人 5人 3人 1人
九年级 0人 2人 5人 8人 2人 a人 1人
分析数据：
平均数 中位数 众数 方差
八年级 b c 90 76.3
九年级 85 85 d 42.1
根据以上信息回答下列问题：
（1）a＝ 2 ，b＝ 8 5 ，c＝ 8 5 ，d＝ 8 5 ；
（2）请通过平均数和方差分析两个年级掌握防火知识的情况；
（3）该校八、九年级共有1000人，本次知识竞赛成绩不低于85分的为“优秀”．请估计这
两个年级共有多少名学生到达“优秀”．
【分析】（1）根据各组人数之和等于20可求a的值，由平均数、中位数、众数的定义可求
b、c、d的值；
（2）根据平均数和方差的意义说明即可；
第22页（共30页）（3）由该校八、九年级共有的人数乘以“优秀”所占的比例即可．
【解答】解：（1）a＝20﹣（0+2+5+8+2+1）＝2，
b＝ ×（70×2+75×3+80×2+85×4+90×5+95×3+100×1）＝85，
把八年级20名同学的成绩按从小到大的顺序排序，第10，11个数均为85，
∴中位数为c＝ ＝85，
∵九年级20名同学的成绩中85分出现的次数最多，
∴众数d＝85．
故答案为：2，85，85，85；
（2）九年级掌握防火知识的情况更好，理由如下：
八年级和九年级的平均数相同，但九年级方差比八年级小，故九年级成绩更稳定，掌握防
火知识的情况更好；
（3）八年级成绩不低于85分的有13人，九年级成绩不低于85分的有13人，
∴1000× ＝650（名），
即估计这两个年级共有650名学生达到“优秀”．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝
1 2 n
（[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越
1 2 n
大，反之也成立．也考查了平均数、中位数、众数以及利用样本估计总体．
23．（10分）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购
买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品
牌的足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌的足球的单价．
（2）该校打算通过“京东商城”网购20个足球共花w元，若购买A品牌的足球x个，求w
与x的函数关系式．如果购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则学校最多需要花
多少钱？
第23页（共30页）【分析】（1）根据购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品
牌的足球和2个B品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即
可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x的函数关系式，然后根据购买A品牌的足
球不少于3个且不多于7个，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到
学校最多需要花多少钱．
【解答】解：（1）设A种品牌的足球单价为a元，B种品牌的足球单价为b元，
由题意可得： ，
解得 ，
答：A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元；
（2）若购买A品牌的足球x个，则购买B品牌的足球（20﹣x）个，
由题意可得：w＝80x+120（20﹣x）＝﹣40x+2400，
∴w随x的增大而减小，
∵购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，
∴3≤x≤7，
∴当x＝3时，w取得最大值，此时w＝2280，
答：学校最多需要花费2280元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答
本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性
质求最值．
24．（10分）如图，直线l ：y＝﹣2x+4分别与x轴、y轴交于点D、点A，直线l ：y＝x+1与x轴
1 2
交于点C，两直线l 、l 相交于点B，连AC．
1 2
（1）求点B的坐标和直线AC的解析式；
第24页（共30页）（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意可知点B是直线l 和直线l 的交点，然后根据题意可以求得点A和
1 2
点C的坐标，从而可以求得直线AC的解析式；
（2）根据题意可以求得点C和点D的坐标，从而可以求得△ABC的面积．
【解答】解：（1） ，
解得 ，
∴点B的坐标为（1，2），
将y＝0代入y＝x+1，得x＝﹣1，即点C的坐标为（﹣1，0），
将x＝0代入y＝﹣2x+4，得y＝4，即点A的坐标为（0，4），
设过点A和点C的直线的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
即直线AC的解析式为y＝4x+4；
（2）将y＝0代入y＝﹣2x+4得，x＝2，即点D的坐标为（2，0），
∵A的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，2），点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（2，
0），
∴S△ABC ＝S△ACD ﹣S△CBD ＝ ×3×4﹣ ＝3，
即△ABC的面积的是3．
【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题
需要的条件，利用数形结合的思想解答．
25．（12分）如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形外一点，以BC为斜边作直角三角
形BCE，以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且∠EBF＝90°，连结AF．
（1）求证：AF＝CE；
第25页（共30页）（2）求证：AF∥EB；
（3）若EF＝ ， ＝ ，求BC的长．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△ABF≌△CBE即可得出结论；
（2）由△ABF≌△CBE，得∠BFA＝∠BEC＝90°，从而有∠AFE+∠BEF＝135°+45°＝180°，
得AF∥EB；
（3）由EF＝ ， ＝ 可得CE＝2，再利用勾股定理即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE；
（2）证明：∵△ABF≌△CBE，
∴∠BFA＝∠BEC＝90°，
∴∠AFE+∠BEF＝135°+45°＝180°，
∴AF∥EB；
（3）解：∵EF＝ ，
∴BE＝BF＝1，
∵ ＝ ，
∴CE＝2，
在Rt△BEC中，由勾股定理得，
第26页（共30页）BC＝ ，
∴BC的长为 ．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三
角形的判定与性质，平行线的判定，勾股定理等知识，证明△ABF≌△CBE是解题的关键．
26．（14分）如图，直线l ：y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l ：y＝kx+1与x轴
1 2
交于点D，两直线l ，l 相交于点C（2，2），在x轴上有一动点E（m，0）．
1 2
（1）求两条直线的解析式；
（2）过点E作直线l⊥x轴，交直线l 于点F，交直线l 于点G；
1 2
①当GF的长为3时，求m的值；
②当 ＝3时，求m的值；
（3）当m＝1时，如图③所示，连接BE，过点B作直线交x轴于点P，使得∠OBE＝
∠ABP，求直线BP的解析式．
【分析】（1）将点C（2，2）分别代入直线l ：y＝﹣x+b与直线l ：y＝kx+1，求出k、b的值，即
1 2
可求解；
（2）设点E（m，0），则F（m，﹣m+4），G（m， m+1），可得GF＝|﹣m+4﹣（ m+1）|＝|﹣
m+3|，GE＝| +1|，①由GF的长为3可得方程，解方程即可求解；②由 ＝3可得方程，
解方程即可求解；
（3）由直线l ：y＝﹣x+4可得OA＝OB＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，在Rt△BOE中，
1
tan∠OBE＝ ＝ ，过点P作PQ⊥l 于点Q，设P（p，0）（p＞4），则OP＝p，AP＝p﹣4，
1
第27页（共30页）解直角三角形得出AQ＝ （p﹣4），P＝ （p﹣4），BQ＝AB+AQ＝4 + （p﹣4），
根据tan∠OBE＝tan∠ABP＝ ＝ 可得p＝ ，则P（ ，0），利用待定系数法即可
求解．
【解答】（1）直线l ：y＝﹣x+b与直线l ：y＝kx+1交于点C（2，2），
1 2
∴2＝﹣2+b，2＝2k+1，
∴b＝4，k＝ ，
∴两条直线的解析式分别为y＝﹣x+4、y＝ x+1；
（2）过点E作直线l⊥x轴，交直线l 于点F，交直线l 于点G，
1 2
设点E（m，0），则F（m，﹣m+4），G（m， m+1），
∴GF＝|﹣m+4﹣（ m+1）|＝|﹣ m+3|，GE＝| m+1|，
①当GF的长为3时，|﹣ m+3|＝3，
﹣ m+3＝±3，
解得：m＝0或m＝4，
即m的值为0或4；
②当 ＝3时， ＝3，
| m+1|＝3|﹣ m+3|，
∴ m+1＝±3（﹣ m+3），
解得：m＝ 或m＝ ，
∴m的值为或 或m＝ ；
第28页（共30页）（3）在直线l ：y＝﹣x+4中，当y＝0时，0＝﹣x+4，x＝4；当x＝0时，y＝4，
1
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
AB＝ ＝4 ，
当m＝1时，E（1，0），则OE＝1，
在Rt△BOE中，tan∠OBE＝ ＝ ，
过点P作PQ⊥l 于点Q，如图：
1
设P（p，0）（p＞4），则OP＝p，AP＝p﹣4，
在Rt△APQ中，∠PAQ＝∠OAB＝45°
∴AQ＝AP•cos∠PAQ＝ （p﹣4），
PQ＝AP•sin∠PAQ＝ （p﹣4），
BQ＝AB+AQ＝4 + （p﹣4），
在Rt△BPQ中，∠ABP＝∠OBE，
tan∠ABP＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠OBE＝tan∠ABP＝ ＝ ，
第29页（共30页）解得：p＝ ，
经检验，p＝ 是分式方程的解，也符合题意，
∴P（ ，0），
设直线BP的解析式为y＝mx+4（m≠0）把P（ ，0）代入，得0＝ m+4，
解得：m＝﹣ ，
∴直线BP的解析式为y＝﹣ x+4．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，两直线的交点坐标，解绝对值方
程，解直角三角形，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
第30页（共30页）
