文档内容
考点 12 函数的图象
【命题解读】
关于函数图象的考查：
（1）函数图象的辨识与变换。
（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力。
【基础知识回顾】
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称
性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象――――――→y＝ － f (x )的图象；
y＝f(x)的图象――――――――→y＝ f ( － x )的图象；
y＝f(x)的图象――――――――→y＝ － f ( － x )的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象――――――――――→y＝logx(a>0，且a≠1)的图象.
a
(3)伸缩变换
y＝f(x)―――――――――――――――――→y＝f(ax).
y＝f(x)―――――――――――――――――→y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→y＝ |f (x ) |的图象；
y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→y＝ f ( | x | )的图象.
[常用结论与微点提醒]
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.
1、（2020届山东省泰安市高三上期末）函数 的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
， 为奇函数，排除B
当 时， 恒成立，排除CD
故答案选A
2、.(2020·深圳调研)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()
【答案】 C
【解析】 由函数f(x)的图象知a>1，－10.
因此选项C满足要求.
3、已知函数f(x)＝logx(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为( )
a
A B C D
【答案】A
【解析】 先作出函数f(x)＝logx(0＜a＜1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数
a
f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，∴再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象
关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x＜0时的图象．故选A.
4、定义：在平面直角坐标系 中，若存在常数 ，使得函数 的图象向右平移 个单位长
度后，恰与函数 的图象重合，则称函数 是函数 的“原形函数”．下列四个选项
中，函数 是函数 的“原形函数”的是
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】ABD【解析】由 ， 知， 向右移动一个单位可得到 ，故选项 正确；
由 知， 向右移动 个单位可得到 ，故选项 正确；
由 知， 项下移动 个单位可得到 ，故选项 不正确；
由 知， 向右移动 个单位可得到 ，故选项
正确；
故选： ．
5、已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．
【解析】(1)f(x)＝其图象如图所示．
(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是.
(3)由图象知，当＞1，即a＞2时，f(x) ＝f(1)＝1－a；
min
当0＜≤1，即0＜a≤2时，f(x) ＝f＝－.
min
综上，f(x) ＝
min
考向一 作函数的图象
例1、作出下列函数的图象：
(1)(1)y＝2－2x；
(2)y＝log [3(x＋2)]；
(3)y＝|log(－x)|.
【解析】：(1)作函数y＝2x的图象关于x轴对称的图象得到y＝－2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y＝2
－2x的图象．如图1；
(2)因为y＝log x＋2)]＝－log [3(x＋2)]＝－log (x＋2)－1.
[3( 3 3
所以可以先将函数y＝log x的图象向左平移2个单位，可得y＝log (x＋2)的图象，再作图象关于x轴对称的
3 3
图象，得y＝－log (x＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y＝－log (x＋2)－1的图象，
3 3
即为y＝log x＋2)]的图象．如图2；
[3(
(3)作y＝log 的图象关于y轴对称的图象，得y＝log x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得
x (－
到
y＝|log x)|的图象．如图3.
(－
变式1、分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1; (4)y＝．
【解析】
(1)y＝图象如图①．
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②．
(3)y＝．图象如图③．
(4)因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图
象，如图④．
变式2、作出下列函数的图象：
(1)y＝ ； (2)y＝|log (x＋1)|；
2(3)y＝； (4)y＝x2－2|x|－1.
【解析】
x x
1 1
(1)作出y＝ 的图象，保留y＝ 的图象中x≥0的部分，加上y＝ 的图象中x>0部分关
2 2
x
1
于y轴的对称部分，即得y＝ 的图象，如图①实线部分．
2
① ②
(2)将函数y＝logx的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即得函数y＝|
2
log(x＋1)|的图象，如图②.
2
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.
(4)∵y＝ 且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作
出(－∞，0)上的图象，如图④.
③ ④
方法总结：1.作函数图象的一般步骤为：
(1)确定函数的定义域．
(2)化简函数解析式．
(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与
坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．
(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．
2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，
处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一
变换，最终得到所要的函数图象．
考向二 图象的辨识
例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数 的大致图象为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
函数的定义域为 ，
，则函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除 ， ，
当 且 ， ，排除 .
故选：A.
变式1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】
由于 ，所以 的定义域为 ，
因为
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，B
因为 ，
，
所以排除C
故选：D
变式2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）函数f(x)= 在[—π，π]的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】
由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．又
．故选D．
变式3、（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数 的大致图象如图所示，则 的解析式
可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
对四个选项解析式分析发现B，D两个均为偶函数，图象关于y轴对称，与题不符，故排除；
极限思想分析， ，A错误；
，C符合题意.
故选：C
变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数 与 的图象如图所示，则的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由图象可知 的图象关于 轴对称，是偶函数， 的图象关于原点对称，是奇函数，并且
定义域 ，
的定义域是 ，并且是奇函数，排除B，
又 时， ， ， ，排除C,D.
满足条件的只有A.
故选：A
方法总结：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
考向三 函数图象的应用
例3、（2020·全国高三专题练习（文））函数 ，若方程 有且只
有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
令 ,画出 与 的图象,
平移直线,当直线经过 时只有一个交点,此时 ,向右平移,不再符合条件,故
故选：A
变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知 ， ， ，则a，
b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在同一直角坐标系内，作出函数 ， ， ， 的图象如下：
因为 ， ， ，
所以 是 与 交点的横坐标； 是 与 交点的横坐标； 是 与
交点的横坐标；
由图象可得： .
故选：C.
变式2、函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
【答案】2
【解析】f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y ＝
1
sin 2x与y ＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y ＝sin 2x与y ＝x2的图象如图所示：
2 1 2
由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
变式3、已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0．
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
【解析】 (1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4．
(2)f(x)＝x|x－4|
＝
f(x)的图象如图所示：
(3)f(x)的减区间是[2,4]．
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一
个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
方法总结： 函数的图象在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：研究函数的性质，解不等式，求
函数的零点等．
(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、
奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则．
(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)
图象交点的横坐标；不等式f(x)
