文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 24 讲 特殊四边形-菱形
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 菱形的性质与判定
题型01 利用菱形的性质求角度
题型02 利用菱形的性质求线段长
题型03 利用菱形的性质求周长
题型04 利用矩形的性质求面积
题型05 利用矩形的性质求坐标
题型06 利用矩形的性质证明
题型07 添加一个条件证明四边形是菱形
题型08 证明四边形是菱形
题型09 根据菱形的性质与判定求角度
题型10 根据菱形的性质与判定求线段长
题型11 根据菱形的性质与判定求面积
题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
题型13 与菱形有关的新定义问题
题型14 与菱形有关的规律探究问题
题型15 与菱形有关的动点问题
题型16 菱形与一次函数综合
题型17 菱形与反比例函数综合
题型18 菱形与一次函数、反比例函数综合
题型19 菱形与二次函数综合
考点要求 新课标要求 命题预测
菱形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何
探索并证明菱 图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计
菱形的性质与 形的性质定理. 2024年各地中考还将出现.菱形的考察类型比较多样，其
判定 探索并证明菱 中选择、填空题常考察菱形的基本性质，解答题中考查菱
形的判定定理. 形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二
次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点一 菱形的性质与判定
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
1）具有平行四边形的所有性质；
2）四条边都相等；
3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱
形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心.
菱形的判定：
1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. A
3）四条边相等的四边形是菱形.
【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角
线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．
菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）.
菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）.
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1. 对于菱形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.一组邻边相等.
2. 定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形,不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形.
3. 菱形的面积S=对角线乘积的一半，适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算.
4. 在求菱形面积时,要根据图形特点及已知条体灵活选择面积公式来解决问题，
1
5. 在利用对角线长求菱形的面积时,要特别注意不要漏掉计算公式中的 .
2
题型01 利用菱形的性质求角度
【例1】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠1=15°，则∠D=（ ）
A．115° B．150° C．125° D．130°
【变式1-1】（2023·陕西西安·一模）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数
是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【变式1-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分
别交BC,CD于点E，F． 若∠EAF=60°，则∠D的度数为 ．
【变式1-3】（2020·吉林长春·统考二模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，
若∠ABC=124°，则∠OED= 度．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式1-4】（2023·湖南永州·统考一模）如图，菱形ABCD中，∠CBD=75，分别以A、B为圆心，大
于AB的一半长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于点P、Q，作直线PQ交AB于点E，交AD于点F，
连接BF，求∠DBF的度数．
题型02 利用菱形的性质求线段长
【例2】（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图在菱形ABCD中，AD=12，对角线AC和BD交于点
O，点E，F分别是OD和OC的中点，AE与BF交于点G，则EF的长为 ．
【变式2-1】（2023·浙江·模拟预测）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为4√3，则另一条对角
线的长为 ．
【变式2-2】（2022·湖南长沙·校考二模）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长
度分别是一元二次方程x2−2(m+1)x+8m=0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH= ．
【变式2-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC、BD
交于点O，点E在线段OD上，连接CE，若BE=CD=2DE，AC=2√7，则CE的长为 ．
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式2-4】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=2，BD=1，AC，
BD相交于点O，过点C作CE⊥ AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度
为 ．
题型03 利用菱形的性质求周长
【例3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，
若AB=6，AD=8，则四边形OCED的周长是( )
A．10 B．20 C．28 D．30
【变式3-1】（2023·广东汕头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐
标轴上，若点A的坐标为(0,3)，∠D=60°，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．8√3
【变式3-2】（2023·河南商丘·统考一模）如图，菱形ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，CD的中
点，EF=4，FG=3，则菱形ABCD的周长为（ ）
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．12 B．16 C．18 D．20
【变式3-3】（2023·湖南永州·校考二模）如图，在菱形ABCD中，M、N分别为AB、AC的中点，若
MN=3，则菱形ABCD的周长为 ．
【变式3-4】（2023·湖南长沙·长沙市南雅中学统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于
点O，点E，F分别为边AB，AD上的中点，连接EF．
(1)求证：AC⊥EF；
1
(2)若EF=6，tan∠AEF= ，求菱形ABCD的周长．
3
题型04 利用矩形的性质求面积
【例4】（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面
积是（ ）
A．12 B．96 C．48 D．24
【变式4-1】（2023·青海海东·统考三模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作
DH⊥ AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（ ）
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．72 B．48 C．24 D．9
【变式4-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，
且AC+BD=16，则该菱形的面积等于 ．
【变式4-3】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠CBA=60°，其中一条对角线
AC=6cm，则该菱形的面积是 cm2．
题型05 利用矩形的性质求坐标
【例5】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，
AD∥x轴且AD=4，∠A=60°，将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴正半轴上，则旋转
后点C的对应点的坐标是（ ）
A．(0，2√3) B．(2，−4) C．(2√3，0) D．(0，−2√3)
【变式5-1】（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）如图，四边形ABCD是菱形，点D在x轴上，顶
点A，B的坐标分别是(0，2)，(4，4)，则点C的坐标是（ ）
A．(4，2) B．(6,2) C．(6,4) D．(8,2)
【变式5-2】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形
ABCD的顶点A(−3,3)，C(1,−1)，对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN=2ND，则点B的坐
标是（ ）
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3 7)
A． , B．(√2,2√2) C．（4，2） D．（2，4）
2 2
【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点
A(8,0)，点D是OA的中点，点P是对角线OB上的一个动点，∠AOC=60°，当PA+PD最短时，点P
的坐标为（ ）
( 4√3) ( 4√3)
A．(6,2√3) B． 6, C．(4,2) D． 4,
3 3
【变式5-4】（2023·天津红桥·统考三模）如图，四边形ABCD为菱形，点A(−3,0)，点D(0,4)，点B在x
轴的正半轴上，则点C的坐标为（ ）．
A．(5,4) B．(4,5) C．(4,3) D．(3,4)
【变式5-5】（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为
(4,0)，点B、C 在第一象限, ∠AOC=60°，求点C的坐标．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型06 利用矩形的性质证明
【例6】（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且
AE=CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)证明四边形BEDF是菱形．
【变式6-1】（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是线
段AC延长线上的一点，在线段CA的延长线上截取AF=CE，连接DF，BF，DE，BE．试判断四边形
FBED的形状，并说明理由．
【变式6-2】（2024上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）【操作探究】
已知：在菱形ABCD中，点M在直线BD上，过M作AC的平行线交直线AD于点E，交直线AB于点F．
(1)【举例感知】如图1，当点M在线段BD上时，求证：AC=ME+MF；
(2)【类比探究】
①当点M在DB延长线上时，直接写出AC、ME、MF三条线段之间的数量关系．
②当点M在BD延长线上时，直接写出AC、ME、MF三条线段之间的数量关系．
【变式6-3】（2020·北京·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中
点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式6-4】（2022·湖北宜昌·统考中考真题）已知菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点．
(1)如图1，连接CE，CF．CE⊥ AB，CF⊥ AD．
①求证：CE=CF；
②若AE=2，求CE的长；
(2)如图2，连接CE，EF．若AE=3，EF=2AF=4，求CE的长．
题型07 添加一个条件证明四边形是菱形
【例7】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确
的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
【变式7-1】（2019·宁夏·统考中考真题）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添
加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB=AD C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式7-2】（2021·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC．
只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【变式7-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，
AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
题型08 证明四边形是菱形
【例8】（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使
DE=AD，且BE⊥DC．
(1)求证：四边形DBCE为菱形；
(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最
小值．
【变式8-1】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，
BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
小洁：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
∴AC垂直平分BD．
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你
补充一个条件，并证明．
【变式8-2】（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是
∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE=AF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若∠ABC=60°，△ABE的面积等于4√3，求平行线AB与DC间的距离．
【变式8-3】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD
上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．
(1)求证： ABF≌ CDE；
(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形
△ △
AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD=30°；
条件2：AB=BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
题型09 根据菱形的性质与判定求角度
【例9】（2020·河北唐山·统考一模）如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、
AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；
③分别连接BC、CD、AC，若∠MAN=60°，则∠ACB的大小为 ．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式9-1】（2023·四川成都·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以C、B为圆心，取AB的
长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD=130°，则∠CAD= ．
【变式9-2】（2022·宁夏中卫·统考一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱
形，则∠BAD的度数是 ．
【变式9-3】（2022·浙江金华·统考一模）如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两
条伞骨所成的角∠BAC．当伞收紧时，点D与点M重合，且点A，E（F），D在同一条直线上．已知伞骨
的部分长度如下（单位：cm）：DE=DF=AE=AF=40．
(1)求AM的长．
(2)当伞撑开时，量得∠BAC=110°，求AD的长．（结果精确到1cm）
参考数据：sin55°≈0.8192,cos55°≈0.5736,tan55°≈1.4281．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型10 根据菱形的性质与判定求线段长
【例10】（2023·湖北荆州·统考模拟预测）在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于
点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式10-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作
EF⊥ AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB=√3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A．2 B．√5 C．3 D．2√2
【变式10-2】（2023·青海海东·统考三模）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，
P为BC边上的任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，当AP=PC时，PQ的长
为 ．
【变式10-3】（2023·吉林长春·统考二模）如图，小李将一张边长分别为4和10的矩形纸片对折、再对折，
然后沿图中的虚线AC剪下，将纸展开，就得到一个四边形．若∠ACB=60°，则这个四边形的周长为
．
题型11 根据菱形的性质与判定求面积
【例11】（2023·云南·模拟预测）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
作AF∥BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
【变式11-1】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，
5 7
已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）A． √5 B．2√5 C． √5D．4√5
3 3
【变式11-2】（2019·山东德州·校联考二模）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，
F，且BE=DF
▱
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
▱
▱
【变式11-3】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
BE//AC，AE//BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB=60°，AC=4，求菱形AOBE的面积．
【变式11-4】（2022·江苏南京·统考一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．
(1)求证∠AEF=∠AFE；
(2)若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为______．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
【例12】（2023·内蒙古·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大
1
于 AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，
2
F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式12-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，四边形ABCD为菱形，BF∥AC，DF交AC的延
长线于点E，交BF于点F，且CE:AC=1:2．则下列结论：①△ABE≌△ADE；②∠CBE=∠CDF；
③DE=FE；④S :S =1:10．其中正确结论是（ ）
△BCE 四边形ABFD
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【变式12-2】（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校考模拟预测）如图，直线CE是平行四边形
ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC
交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD=∠BAE； ③AF：FC=1：2；
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【变式12-3】（2023·福建宁德·校考模拟预测）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，点M，N分别
在AD，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C落在AD上的一点E处，现给出以下结论：
①连接CM，四边形ENCM一定是菱形；
② F，M，C三点一定在同一直线上；
③当点E与A重合时，A，B，C，D，F五点在同一个圆上；
④点E到边MN，BN的距离可能相等．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
题型13 与菱形有关的新定义问题
【例13】（2020·河北唐山·统考模拟预测）定义：如图，若菱形AECF与正方形ABCD两个顶点A，C重合，
另外两个顶点E，F在正方形ABCD的内部，则称菱形AECF为正方形ABCD的内含菱形．
若正方形的周长为16，其内含菱形边长是整数，则内含菱形的周长为 ；
若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为 ．
【变式13-1】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点距离相等，则这个
四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．
(1)判断：一个内角为60°的菱形________等距四边形．（填“是”或“不是”）
(2)如图2，在5×5的网格图中有A、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得
以A、B、C、D为顶点的四边形以A为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全
等），并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为________．
(3)如图，在海上A，B两处执行任务的两艘巡逻艇，根据接到指令A，B两艇同时出发，A艇直接回到驻地
O，B艇到C岛执行某项任务后回到驻地O（在C岛执行任务的时间忽略不计），已知A，B，C三点到O
3
点的距离相等，AO∥BC，BC=100km，tanA= ，若A艇速度为65km/h，试问B艇的速度是多少时，
2
才可以和A艇同时回到驻地？
【变式13-2】（2022·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考三模）【定义】在平面直角坐标系xOy中，如果点
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y=x上，那么称该菱形为点A，C的“阳光菱形”，
如图是点A，C的“阳光菱形”的一个示意图．
【运用】已知点M的坐标为(2，2)，点P的坐标为(4，4)．
(1)下列各组点，能与点M，P形成“阳光菱形”的是______．（直接填写序号）
①E(−4，10)，F(10,−4) ；②G(1，6)，H(6，1) ；③I(0，5)，J(5，0)．
(2)如果四边形MNPQ是点M，P的“阳光菱形”，点N在MP下方，且面积为16．
①求点N、点Q的坐标；
②如果直线y=kx−3k与折线MN−NP有唯一公共点，直接写出满足条件的k的取值范围．
【变式13-3】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）若四边形对角线互相垂直，那么我们定义这种四边形为
“对垂”四边形．
特征辨析
(1)下列4个图中，四边形ABCD不是“对垂”四边形的是（ ）
归纳探究
(2)如图1，ED⊥ AF于O，动点P，Q都从O点出发，点P沿OE运动到B，点Q沿OF运动到C．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①当∠BAC=30°，OB=OC，OD=1，OA=4时，则AB2+CD2=___________，AD2+CB2=
___________，据此结合（1）中相关图形试猜想“对垂”四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之
间的数量关系：___________（用等式表示）；
②在“对垂”四边形ABCD中，当①中的条件都不存在时，①中所猜想的数量关系还成立吗？若成立，请
予以证明；若不成立，请说明理由．
拓展应用
(3)如图2，四边形AEDB和四边形AGFC均为正方形，点B恰好在FC的延长线上，且已知AC=√2，
AB=√3，求GE的长．
题型14 与菱形有关的规律探究问题
【例14】（2023·广东深圳·校考一模）如图，菱形OABC的顶点O(0,0)，A(−2,0)，∠B=60°，若菱形
OABC绕点O顺时针旋转90°后得到菱形OA B C ，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到菱形
1 1 1
OA B C ，那么点C 的坐标是( )
2024 2024 2024 2024
A．(√3,1) B．(1,−√3) C．(−√3,−1) D．(−1,√3)
【变式14-1】（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标
为(2,0)，以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次
旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F 的坐标为（ ）
2023
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．(−2,2√2) B．(2√2,−2) C．(−2√2,2) D．(−2,−2√2)
【变式14-2】（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知矩形ABCD的边长分别为6，4，进行如下操作：第
一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ；第二次，顺次连接四边形A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
各边的中点，得到四边形A B C D ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A B C D 的
2 2 2 2 n n n n
面积是（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．
2n−4 2n−3 2n−2 22n−3
【变式14-3】（2023·贵州铜仁·校考一模）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A ，
1
使DA =CD，以A C为一边，在BC的延长线上作菱形A CC D ，连接A A ，得到△AD A ；再延长
1 1 1 1 1 1 1
C D 至A ，使D A =C D ，以A C 为一边，在CC 的延长线上作菱形A C C D ，连接A A ，得到
1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2
△A D A …按此规律，得到△A D A ，记△AD A 的面积为S ，△A D A 的面积为S ⋅⋅⋅，
1 1 2 2021 2021 2022 1 1 1 1 2 2
△A D A 的面积为S ，则S = ．
2021 2021 2022 2022 2022
【变式14-4】（2020·甘肃兰州·兰州市外国语学校校考二模）如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝
60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形AB C D；顺次连结四边形AB C D 各边中点，可得四
1 1 1 1 1 1 1 1
边形AB C D；顺次连结四边形AB C D 各边中点，可得四边形AB C D；按此规律继续下去，…，则
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
四边形A B C D 的面积是 ．
2019 2019 2019 2019
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式14-5】（2019·甘肃白银·校联考一模）如图，作出边长为1的菱形ABCD，∠DAB＝60°，连接对角
线AC，以AC为边作第二个菱形ACC D，使∠DAC＝60°，连接AC ，再以AC 为边作第三个菱形
1 1 1 1 1
ACC D，使∠DAC ＝60°；…按此规律所作的第2019个菱形的边长为 ．
2 2 2 1
题型15 与菱形有关的动点问题
【例15】（2023·广东东莞·统考一模）如图菱形ABCD的边长为4cm，，∠A=60°，动点P，Q同时从点
A出发，都以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：
s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可用图象表示为
（ ）
A． B． C． D．
【变式15-1】（2017·山东潍坊·统考一模）菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点
B(2，0)，∠DOB=60°，点E坐标为(0,−√3)，点P是对角线OC上一个动点．则EP+BP的最短距离
是 ．
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式15-2】（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD，P是线段
DC上的动点（点P不与点D和点 C重合），在射线BP上取一点M，连接DM，CM，使
∠CDM=∠CBP．
操作探究一
(1)如图1，调整菱形ABCD，使∠A=90°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使
MC
BN=DM，连接CN，则∠BMC= ， =
MN
操作探究二
(2)如图2，调整菱形ABCD，使∠A=120°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使
BN=DM，连接CN，探索MC与MN的数量关系，并说明理由；
拓展迁移
(3)在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6．若点P在直线CD上，点M在射线BP上，且当
∠CDM=∠PBC=45°时，请直接写出MD的长．
【变式15-3】（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）如图，BD是菱形ABCD的对角线，
AB=BD=2cm．动点P从点A出发，沿折线AB−BC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，且不
与点B重合时，过点P作PQ∥BD交折线AD−DC于点Q．以PQ为边作正三角形PQE，且点E与BD始
终在PQ的同侧．设正三角形PQE与△ABD重叠部分图形的面积为S(cm2)，点P运动的时间为t(s)．
(1)当点E落在BD上时，求t的值；
(2)当点P在AB边上时，求S与t之间的函数关系式；
(3)当点E落在∠BDC的平分线上时，直接写出t的值．
【变式15-4】（2023·广东梅州·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm．
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ=120°，另一边
PQ与折线AC−CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x(s)，
菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2)．
(1)当点Q在边AC上时，PQ的长为 cm．（用含x的代数式表示）
(2)当点M落在边BC上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
题型16 菱形与一次函数综合
4
【例16】（2022·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+4的图像与x
3
轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，BC∥x轴，则菱形ABCD的周长是 ．
【变式16-1】（2018·江苏无锡·统考一模）已知一次函数y=﹣√3x+√3的图象与x轴、y轴分别交于A、B
两点．直线l过点A且垂直于x轴．两动点D、E分别从A B两点间时出发向O点运动（运动到O点停
止）．运动速度分别是每秒1个单位长度和√3个单位长度．点G、E关于直线l对称，GE交AB于点F．
设D、E的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形是菱形？判断此时△AFG与AGB是否相似，并说明理由；
（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比．
题型17 菱形与反比例函数综合
【例17】（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√3
顶点O为坐标原点，边CO在x轴正半轴上，∠AOC=60°，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A，且
x
交菱形对角线BO于点D，DE⊥x轴于点E，则CE长为（ ）
A．1 B．3 C．2−√3 D．√3−1
【变式17-1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,C在反比例函
k
数y= (k<0)的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点，若点D(1,1),AB=2√5，则k的值为（ ）
x
A．−4 B．4 C．−9 D．9
【变式17-2】（2023·广东湛江·校考一模）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，
4 k
tan∠AOC= ，反比例函数y= 的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等
3 x
于 ．
【变式17-3】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考二模）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
线段AB为边在第一象限作等边△ABC，S =√3，且CA∥y轴，点C在反比例函数y= (k≠0,x>0)
△ABC x
的图像上．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点N是反比例函数图像上一点，当四边形ABCN是菱形时，求出点N坐标．
【变式17-4】（2023·河南周口·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6,8)，连接OA，
过点A作x轴的垂线，垂足为B，∠AOB的平分线与线段AB交于点P．
k
(1)若反比例函数y= (x>0)的图像经过点P，求反比例函数的解析式．
x
(2)如图，过点A作x轴的平行线，交射线OP于点Q，过点Q作OA的平行线，交x轴于点R．求证：四边
形OAQR是菱形．
k
【变式17-5】（2023·河南商丘·统考三模）如图，菱形OBAC顶点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
点B在y轴上，点C为(4,3)．
(1)求k的值；
(2)点P为反比例函数图象上一个动点，过点P作PN⊥x轴于点N，交OA于点M，若PM=MN，求点P
的坐标．
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型18 菱形与一次函数、反比例函数综合
【例18】（2023·江苏连云港·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像与反
m
比例函数y= (m>0)的图像相交于A(3,4)，B(−4,n)两点，与x轴相交于点C．
x
(1)求m和n的值；
(2)若点P(e,f)在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是 ；（直接写出答
案）
(3)以AC为边在右侧作菱形ACDE．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交DE于点F，连接
AF,CF，则△ACF的面积为 ．（直接写出答案）
k
【变式18-1】（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知反比例函数y = 与一次函数y =x+2图象在第一
1 x 2
象限内相交于A(3,n)与x轴相交于点B．
(1)求n和k的值．
(2)根据图象，当y ≥ y 时，求x的取值范围．
1 2
(3)如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．
3
【变式18-2】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，已知一次函数y = x−3的图象与反比例函数
1 2
k
y = 第一象限内的图象相交于点A(4,n)，与x轴相交于点B．
2 x
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求n和k的值；
(2)如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接
AE、BE，求S ．
△ABE
k
【变式18-3】（2021·山东济南·统考二模）如图，一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y= 的图象相交
x
于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1,-2)，连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
1
(3)设点P是直线AB上一动点，且S OAP= S OACD，求点P的坐标．
2 菱形
△
题型19 菱形与二次函数综合
【例19】（2023·江苏盐城·校考三模）规定：若一个四边形中，有且仅有三条边相等，那么我们称这个四
边形为“准菱形”
(1)若二次函数y=ax2+bx+c的顶点为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)及点C．
①求二次函数表达式．
②y轴上是否存在点D，使得四边形ABDC为“准菱形”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说
明理由．
(2)已知四边形ABCD，点P为对角线BD上一点，PG∥AD，PQ∥BC，且PG=BG=CQ，
求证：四边形ABCD为“准菱形”．
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)利用无刻度的直尺及圆规按要求进行作图：分别在线段BC、AD上找点P、Q，使得BP=PQ=QD．
提示：小红同学已写了一些步骤，请你按照小红的思路继续完成（保留作图痕迹；也可作自己的方法）
步骤一：分别以B、D为圆心，相同长度为半径画圆，交BC、AD于点E、F；
【变式19-1】（2022·广东广州·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+4（a＜0）
的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，直线BC与对称轴交于点D．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若抛物线y=ax2+bx+4（a＜0）的对称轴上有一点M，以O、C、D、M四点为顶点的四边形是平行四
边形时，求点M的坐标．
(3)将抛物线y=ax2+bx+4（a＜0）向右平移2个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点
F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点，当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形
时，求点F的坐标．
√3
【变式19-2】（2022·湖南永州·统考一模）如图，一次函数y= x−√3图象与坐标轴交于点A、B，二次
3
√3
函数y= x2+bx+c图象过A、B两点．
3
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以
B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式19-3】（2021·江苏泰州·统考二模）如图，已知二次函数y=ax2−4ax+3a（a>0）的图象与x轴
交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，横坐标分别为m，n（m
