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第 25 讲 特殊四边形-正方形与梯形
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 正方形的性质与判定
题型01 根据正方形的性质求角度
题型02 根据正方形的性质求线段长
题型03 根据正方形的性质求面积
题型04 根据正方形的性质求坐标
题型05 与正方形有关的折叠问题
题型06 求正方形重叠部分面积
题型07 利用正方形的性质证明
题型08 添加一个条件使四边形是正方形
题型09 证明四边形是正方形
题型10 根据正方形的性质与判定求角度
题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
题型12 根据正方形的性质与判定求面积
题型13 根据正方形的性质与判定证明
题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
题型15 与正方形有关的规律探究问题
题型16 与正方形有关的动点问题
题型17 正方形与一次函数的综合应用
题型18 正方形与反比例函数的综合应用
题型19 正方形与一次函数、反比例函数综合应用
题型20 正方形与二次函数综合应用
考点二 四边形之间的区别与联系
题型01 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
题型02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
题型03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
题型04 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解
考点三 梯形的性质与判定
题型01 等腰三角形的性质求解
题型02 等腰三角形的判定求解
题型03 解决梯形问题的常用方法
考点要求 新课标要求 命题预测
探索并证明正方形的性质 正方形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何
正方形的性质 定理. 图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计
与判定 探索并证明正方形的判定 2024年各地中考还将出现. 其中，正方还经常成为综合压
定理. 轴题的问题背景来考察，而正方其他出题类型还有选择、填
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空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视.解答题中考
四边形之间的 理解矩形、菱形、正方形
查正方形的性质和判定，45°半角模型，一般和三角形全
区别和联系 之间的关系.
等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性
比较大．
梯形的性质与
理解梯形的概念.
判定
考点一 正方形的性质与判定
正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：
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1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
3）正方形对边平行且相等.
4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
【补充】正方形对角线与边的夹角为45°.
正方形的判定：
1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；
2）矩形+一组邻边相等；
3）矩形+对角线互相垂直；
4）菱形+一个角是直角；
5）菱形+对角线相等.
【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；
或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证
明它有一个角为直角和一组邻边相等．
正方形的面积公式： a2＝对角线乘积的一半=2S =4S .
△ABC △AOB
正方形的周长公式：周长= 4a
A D
O
B a C
题型01 根据正方形的性质求角度
【例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、
AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF=DG，DE=2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为
（ ）
A．α B．2α C．45°−α D．45°+α
【变式1-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、
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ED，若△EBC为等边三角形时，则∠EAD= ．
【变式1-2】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内，以
AB为边做正方形ABGH，则∠CBG= ．
【变式1-3】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，延长BC至点F，使得CF=CA，连
接AF交CD于点E，则∠AED的度数为 ．
题型02 根据正方形的性质求线段长
【例2】（2024·福建三明·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，连接AC，BE，
1 1
点M,N分别在BE,AC上，且BM= ME，CN= AN，则MN的长为（ ）
3 3
3√2 5
A． B． C．2√2 D．3
2 2
【变式2-1】（2022·湖南长沙·统考一模）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD
上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N，若四边形MOND的面积是4，则AB的长为（ ）
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A．2 B．2√2 C．4 D．4√2
【变式2-2】（2023·广东清远·统考模拟预测）如图，边长分别为2和6的正方形ABCD和CEFG并排放在
一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P．则¿=（ ）
A．√2 B．2√2 C．1 D．2
【变式2-3】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一
个大正方形，若每个直角三角形的面积为4，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．1 D．3
【变式2-4】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）已知：正方形ABCD边长为
3，E为直线AD上一点，AE=1，连接CE，CE所在直线与AB所在直线交于点F．则AF= ．
题型03 根据正方形的性质求面积
【例3】（2024·重庆大渡口·统考一模）一个正方形的边长为2，它的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式3-1】（2023·广东汕尾·三模）如图，大正方形中有2个小正方形，这两个小正方形的面积分别是S
1
S
和S ，则 1 的值是（ ）
2 S
2
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9 8 5
A． B． C．1 D．
8 9 4
【变式3-2】（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的
五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为
√10−2，则这块地砖的面积为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
【变式3-3】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当
内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形
ABC'D'，如果∠DAD'=30°，那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是（ ）
3 √3 √3
A．1 B． C． D．
4 2 4
【变式3-4】（2023·四川成都·校考三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH
拼成一个大正方形ABCD，连接AF和CH,AF=AB．现随机向正方形ABCD内掷一枚小针，则针尖落在
阴影区域的概率为 ．
题型04 根据正方形的性质求坐标
【例4】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在正方形ABCD中，已知点A(0，3)，B(5，3)．将正方形
ABCD绕点A顺时针旋转角度α(0<α<180°)后，点B的对应点B'恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C'的
坐标为（ ）
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A．(7，4)或(5，−2) B．(7，4)或(5，−2)或(−1，−4)
C．(5，−2)或(−1，−4) D．(7，4)或(4，7)
【变式4-1】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形ABCO为正方形，点A的坐标为(1,√3)，将
正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为（ ）
A．(√3,−1) B．(−1,−√3) C．(−1,√3) D．(√3,1)
【变式4-2】（2019·山东聊城·校联考一模）如图，将边长为√3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到
正方形A'BC'D',AD与C'D'交于点M，那么图中点M的坐标为（ ）
( √3) (√3 )
A．(√3,1) B．(1,√3) C． √3, D． ,√3
2 2
【变式4-3】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点为
A(−2,0)，B(2,0)．半圆与正方形ABCD组成一个新的图形，点M为D´C（靠近点D）的三等分点，将此
组合图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点M的坐标为（ ）
A．(2+√3,−1) B．(−2−√3,−1) C．(−4+√3,−1) D．(−4−√3,−1)
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【变式4-4】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在
1
x轴、y轴负半轴上，点A的坐标为(−2,0), tan∠DAO= ，求点B的坐标．
2
题型05 与正方形有关的折叠问题
【例5】（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2，将其沿EF翻折，使
∠EFC=120°，顶点B恰好落在线段AD上的点G处，点C的对应点为点H．则线段AE的长为 ．
【变式5-1】（2023·广西南宁·统考三模）如图，四边形ABCD为正方形纸片，E是边CB的中点，连接
DF
DE，P是边CD上一点，将纸片沿着AP折叠，使点D落在DE上的F点处，则 为 ．
EF
【变式5-2】（2023·山东泰安·东平县实验中学统考三模）四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿
MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A'，且S :S =1:4，则AM的长是 ．
△A'ME △CNB'
【变式5-3】（2023·安徽池州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，G为AD边上一点，将△ABG沿BG
翻折到△FBG处，延长GF交CD边于点E，过点F作FH∥BC分别交BG，AB，CD于点H，P，Q，请
完成下列问题：
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（1）∠EBG= ．
1
（2）若FH= BC=8，则BP= ．
2
【变式5-4】（2023·广东茂名·三模）如图，正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，
得到△AFE，延长EF交边CD于点P．
(1)求证：DP=FP；
(2)若AB=6，求CP的长．
【变式5-5】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）（1）如图1，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过
点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A
的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF= 度；
（2）如图2，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，
则①∠AEF= 度；
②若AB=√3，求线段AP的长；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AD=nAB，点E、F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE、AF折
DF
叠，点B落在M处，点D落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若BE=1，AB=a，则 = （用
AB
含a、n的代数式表示结果）．
题型06 求正方形重叠部分面积
【例6】（2020·河北·校联考二模）在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形几何中心重合，如图
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①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积S=2×1=2．
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；
甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积S大小不变．
乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大
于图③的重叠面积．
丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面
积是5个图形中最小的．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对 B．只有乙对 C．只有甲不对 D．甲、乙、丙都不对
【变式6-1】（2023·山东菏泽·校考一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方
形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-2】（2021·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点O又是
正方形A B C O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为S ，正方
1 1 1 1
形ABCD的面积为S ，通过探索，我们发现：无论正方形A B C O绕点O怎样转动，始终有S =
2 1 1 1 1
S ．
2
【变式6-3】（2021·山东临沂·校考一模）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图
案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方
形ABCD．则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）．
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题型07 利用正方形的性质证明
【例7】（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E以
相同的速度分别从点D，C同时出发向点C，B运动（任何一个点到达终点时，两点都停止运动）连接AE，
BF，AE与BF交于点P，过点P分别作PM∥CD交BC于点M，PN∥BC交CD于点N，连接MN，在
运动过程中，
（1）AE和BF的数量关系为 ；
（2）MN长度的最小值为 ．
【变式7-1】（2024·福建三明·统考一模）如图，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，点E在射线
CD上，AC交BE于点O，GH⊥ AB交AB延长线于点H．
(1)若D为CE的中点，求证：OE=2OB；
(2)求证：AB=BH．
【变式7-2】（2022·湖北武汉·校考一模）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，若AB+CE=AE，
以BC为直径作半圆⊙O．
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(1)求证：AE与⊙O相切；
(2)若正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积．
【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，DF与
BC交于点M，延长EM交GF于点H，连接CG．
(1)求证：CD⊥CG；
1 MN
(2)若tan∠MEN= ，求 的值；
3 EM
1
(3)已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 ，请说明理由．
2
题型08 添加一个条件使四边形是正方形
【例8】（2022·广西河池·校联考二模）一个四边形顺次添
加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交O，添加下列条
件不能判定矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．∠1=∠2
【变式8-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝
BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要
满足（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④
【变式8-3】（2021·山东青岛·青岛经济技术开发区第四中学校考一模）如图，四边形ABCD中，对角线
AC，BD相交于点O，AD//BC，OA=OC，AC平分∠BAD．欲使四边形ABCD是正方形，则还需添加
（写出一个合适的条件即可）
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题型09 证明四边形是正方形
【例9】（2022·湖南长沙·统考一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，
OE⊥AC，垂足分别为D、E．
(1)求证：四边形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．
【变式9-1】（2021·湖南娄底·统考一模）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝
DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
【变式9-2】（2022·贵州贵阳·统考二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4√2，点E为对角线
AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
(1)求证：矩形DEFG为正方形；
(2)求证：CE＋CG＝8
【变式9-3】（2022·山东枣庄·统考一模）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边
上，DE=AF，DE⊥ AF于点G．
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(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
题型10 根据正方形的性质与判定求角度
【例10】（2023·福建宁德·统考一模）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使顶点B落在AD上点B'处；再将
矩形展平，沿AF折叠，使顶点B落在AE上点G处，连接DE． 小明发现△DEC可以由△AFG绕某一点
顺时针旋转α(0°<α<180°)得到，则α= °．
【变式10-1】（2021·北京海淀·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，
则∠BAC与∠DAC的大小关系为：∠BAC ∠DAC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【变式10-2】（2021·山东菏泽·统考一模）如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为
边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG= ．
【变式10-3】（2022·广东佛山·校考一模）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，
过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．
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(1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
(2)如图2，当∠≝=90°，AC=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD
的度数2倍的角．
题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
【例11】（2022·广东·统考模拟预测）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且
AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，
线段DE长为（ ）
5√2 √41
A．√13 B． C． D．4
2 2
【变式11-1】（2022·天津东丽·统考二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE
绕A点逆时针方向旋转90°得到 ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝ ．
△
【变式11-2】（2023·江苏泰州·校考三模）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、
B、C、在直角坐标系中的坐标分别为(3,6)，(−3,3)，(7,−2)，则△ABC内心的坐标为 ．
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1 1 5
【变式11-3】（2022·四川绵阳·校联考一模）在直角△ABC中，∠C=90°， + = ，∠C的角
tan A tanB 2
平分线交AB于点D，且CD=2√2，斜边AB的值是 ．
题型12 根据正方形的性质与判定求面积
【例12】（2022·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4
个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为
13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则(a+b) 2=（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
【变式12-1】（2021·江西·统考一模）如图，已知点O为勾股形ABC（我国古代数学家刘徽称直角三角形
为勾股形）的内心，其中∠A为直角，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，
∠ADO=∠AFO=∠BEO=90°，若BD=4，CF=6，则正方形ADOF的面积是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．16
【变式12-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD
的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，OE=3√2，若CE⋅DE=6，则正方形的面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
【变式12-3】（2022·云南楚雄·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，
DE//AB,DF//AC．
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（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BAC=90°，且AD=2√2，求四边形AFDE的面积．
题型13 根据正方形的性质与判定证明
【例13】（2022·山东济南·统考二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕
A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH=7,BC=13，求DH的长．
【变式13-1】（2021·广东深圳·校联考三模）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，
AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接
BE
CF．求 的值；
CF
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形
AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S AEDF＝5时，则BG的长为 ．
四边形
【变式13-2】（2022·辽宁辽阳·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与
DE交于点H．
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(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH−DH=√2CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
【变式13-3】（2023·内蒙古呼和浩特·校考二模）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，
BC上，AD=m，BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
(1)填空：当∠ACB=90°，DE⊥ AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B=45°，m=5√2，则n=_____________，S=_____________；
②如图2，若∠B=60°，m=4√3，则n=_____________，S=_____________；
(2)如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小．
题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
【例14】（2023·山东泰安·校考模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转
90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，
HB=2，HG=3．以下结论：
√2
①∠EDC=135°；②EC2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED= ．其中正确结论的个数为（ ）
3
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式14-1】（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，正方形EFGH
的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC、DA上，现给出以下结论：
①当AE=4时，S =16；②当S =17.5时，AE=5；③当A，G，C三点共线时，AG:GC=2:1；
△FGC △FGC
④点G到CD的距离为定值，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式14-2】（2022·山东济南·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为CD上一动点，AE
交BD于点F，过点F作FH⊥ AE，交BC于H，连接AH交BD于点P，过H作HG⊥BD于点G，下列
结论：①AF=FH，②△CEH的周长是7，③BD=2FG，④△AFP∽△AHE．其中正确的是
（写正确结论的序号）．
【变式14-3】（2023·湖北孝感·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点(
点E不与A、C重合)，过点E作EF⊥BE交直线CD于F，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段GF，
连接GA，GB，GC，下列结论：① EB=EF；② AC⊥GC；③CE+CG=√2CB；④GA+GB的最小
值为2√5，其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
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【变式14-4】（2022·辽宁本溪·统考三模）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE＝
2DE，连接AE并延长交CD于点P，点F是BC边上一点，且CF＝2BF，连接AF交BD于点G，连接
EF，PF．下列四个结论：①DP＝CP；②S ABF＝S FCP；③AE＝EF；④∠DPF＝2∠BGF．其中正确的
结论是 ．（写出所有正确结论的序号△） △
【变式14-5】（2022·辽宁葫芦岛·校联考二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线AC上的动
点（点E不与A，C重合），连接BE,EF⊥BE交CD于点F，线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段
FG，连接BG．下列结论：①BE=EF；②∠ACG=90°；③若四边形BEFG的面积是正方形ABCD面
积的一半，则AE的长为4√2−4；④CG+CE=√2AB．其中正确的是 ．（填写所有正确结论
的序号）
题型15 与正方形有关的规律探究问题
【例15】（2023·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系中，正方形A B C O、A B C C 、
1 1 1 2 2 2 1
A B C C ……；按如图的方式放置，点A 、A 、A ……A 在直线y=−x−1，点C 、C 、C ……C
3 3 3 2 1 2 3 n 1 2 3 n
在x轴上．抛物线L 过点A 、B ，且顶点在直线y=−x−1上，抛物线L 过点A 、B ，且顶点在直线
1 1 1 2 2 2
y=−x−1上，……按此规律，抛物线L 过点A 、B ，且顶点也在直线y=−x−1上，抛物线L 的顶点坐
n n n n
标为( )
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A．(3×2n−1−1,−3×2n−1) B．(3×2n−1−1,−3×2n−2)
C．(3×2n−2−1,−3×2n−1) D．(3×2n−2−1,−3×2n−2)
【变式15-1】（2023·广东惠州·统考二模）如图，点O(0,0)，A(0,1)是正方形的两个顶点，以对角线为边
作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点A 的坐标是 ．
8
【变式15-2】（2023·山东泰安·统考二模）如图，正方形A B C A 的边长为1，正方形A B C A 的边
0 0 0 1 1 1 1 2
长为2，正方形A B C A 的边长为4，正方形A B C A 的边长为8…依次规律继续作正方形
2 2 2 3 3 3 3 4
A B C A ，且点A ，A ，A ，A ，…，A 在同一条直线上，连接A C 交，A B 于点D ，连接
n n n n+1 0 1 2 3 n+1 0 1 1 1 1
A C ，交A B 于点D ，连接A C ，交A B 于点D ，…记四边形A B C D 的面积为S ，四边形
1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 0 0 0 1 1
A B C D 的面积为S ，四边形A B C D 的面积为S ，…，四边形A B C D 的面积为S ，则
1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 n−1 n−1 n−1 n n
S = ．
2023
【变式15-3】（2023·山东聊城·统考一模）如图，正方形ABCB 中，AB=√3，AB与直线l所夹锐角为
1
60°，延长CB 交直线l于点A ，作正方形A B C B ，延长C B 交直线l于点A ，作正方形A B C B ，
1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3
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延长C B 交直线l于点A ，作正方形A B C B ，…，依此规律，则线段A A = ．
2 3 3 3 3 3 4 2022 2023
【变式15-4】（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第二个正方
形ACEF，再以CF为边作第三个正方形FCGH…，按照这样规律作下去，第10个正方形的边长为 ．
题型16 与正方形有关的动点问题
【例16】（2021·山东菏泽·统考一模）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点
A重合）且AM0)图象经过正方形OABC的顶点A，
x
BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD=2CD，则k的值为（ ）
18 16 10
A．3 B． C． D．
5 5 3
【变式18-1】（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形ABCD的面积为4，它
k
的两个顶点B，D是反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上两点．若点D的坐标是(a,b)，则a−b的值为
x
（ ）
A．3 B．−3 C．2 D．−2
【变式18-2】（2023·浙江温州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y
OA 1 k k
轴负半轴上，且 = ，以AB为边向右上方作正方形ABCD．反比例函数y = 1与y = 2的图象分别过
OB 3 1 x 2 x
k
D与C，则
1=
．
k
2
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【变式18-3】（2023·湖北恩施·统考二模）如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，
k
OD=4，另两边与反比例函数y= 的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，
x
过点F作FG⊥EH于点G，请解答下列问题．
(1) k= ；
(2)当四边形AEGF为正方形时，求点F的坐标；
(3)当AE>EG时，若矩形AEGF∽矩形DOHE，求出相似比．
题型19 正方形与一次函数、反比例函数综合应用
k
【例19】（2023·安徽淮北·统考三模）如图，已知反比例函数y= 在第一象限内的图象与正方形AEOC
x
1
的两边相交于B，D两点．若AB=3，直线y= x经过点B，则k的值是 ．
4
【变式19-1】（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点
A(−6,0)、D(−7,3)，点B、C在第二象限内．
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(1)求点B的坐标；
(2)将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、
D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式19-2】（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，已知A(0,2)，B(1,0)，连接AB，以AB为边在第一
k
象限内作正方形ABCD，直线BD与反比例函数y= (k≠0)相交于D，E两点，连接CE，交x轴于点F．
x
(1)求k的值及直线DE的解析式；
(2)求△DEC的面积．
【变式19-3】（2023·广东深圳·模拟预测）如图，一次函数y=ax−3a(a≠0)的图象与反比例函数
24
y=− (x>0)的图象交于点M(m,−4)，与y轴交于点A，与x轴交于点B，△AOB两个外角的平分线在
x
k
第一象限内交于点C，反比例函数y= 的图象恰好经过点C．
x
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(1)求m的值和线段AB的长；
k
(2)求反比例函数y= 的表达式．
x
题型20 正方形与二次函数综合应用
【例20】（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的
正半轴上，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过B，C两点．
(1)求b，c的值；
(2)若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．
【变式20-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度
的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点
C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
m 2m
【变式20-2】（2020·江苏泰州·统考模拟预测）二次函数y= x2− x+m(m>0)的图象交y轴于点
6 3
A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．
（1）当m=1时，求顶点P的坐标；
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m 2m
（2）若点Q（a，b）在二次函数y= x2− x+m(m>0)的图象上，且b−m>0，试求a的取值范围；
6 3
（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．
①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．
1
【变式20-3】（2020·河北唐山·统考二模）如图1，二次函数y=− x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另
3
一个交点为M(8,0)．
（1）求该二次函数的解析式；
2 1
（2）如图2，y = x与二次函数y=− x2+bx+c的图象交于点N，求△OMN的面积；
1 3 3
1
（3）如图3，直线y =4与二次函数y=− x2+bx+c的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧），过A、
2 3
B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（4）如图4，在（3）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q
以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q
两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t>0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，
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问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出t的值；若不能，请
说明理由．
考点二 四边形之间的区别与联系
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
矩形
+一角
+一边等
+一角 +一边等
正方形
平行四边形
+一边等 +一角
菱形
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
四边形 边 角 对角线 对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称、中心对称
菱形 对边平行且四条 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每 轴对称、中心对称
边都相等 一条对角线平分一组对角
正方形 对边平行且四条 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且每 轴对称、中心对称
边都相等 一条对角线平分一组对角
3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
四边形 边 角 对角线
平行四边形 1）两组对边分别平行 两组对角分别相等 两组对角线互相平分
2) 两组对边分别相等
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3) 一组对边平行且相等
矩形 1）平行四边形+ 一直角 平行四边形+两条对角线相等
2）四边形+三直角
菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 平行四边形+两条对角线互相垂
直
2）四边形+四条边都相等
正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 两条对角线互相垂直平分且相等
的四边形
题型01 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
【例1】（2021·福建宁德·统考一模）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需
要添加的条件，则下列描述错误的是（ ）
A．①表示有一个角是直角 B．②表示有一组邻边相等
C．③表示四个角都相等 D．④表示对角线相等
【变式1-1】（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是
（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
【变式1-2】（2023·山西晋中·统考二模）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处
添加条件错误的是（ ）
A．①：对角线相等 B．②：对角互补 C．③：一组邻边相等D．④：有一个角是直角
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题型02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
【例2】（2023·广东佛山·校考一模）给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
【变式2-1】（2023·浙江绍兴·统考三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
∠B=30°，∠C=60°，AB=6，AD=4，E、F是BC上的两动点，且EF=4，点E从点B出发，当
点F移动到点C时，两点停止运动．在四边形AEFD形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是（ ）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→菱形 D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
【变式2-2】（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点O为对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，
移动到点B停止，作射线EO，交边CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【变式2-3】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形ABCD是平行 四
边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB=BC时，它是正方形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是矩形 D．当∠ABC=90°时，它是矩形
k
【变式2-4】（2021·云南·统考一模）设A,B,C,D是反比例函数y= 图象上的任意四点，现有以下结论：
x
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
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【变式2-5】（2020·北京·校考模拟预测）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上
的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
题型03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
【例3】（2020·湖南长沙·二模）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直
C．对角线互相平分 D．四条边相等
【变式3-1】（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既
是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-2】（2023·江苏无锡·校考三模）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角互补
【变式3-3】（2023·湖北随州·模拟预测）矩形具有而菱形也具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．四边相等 D．对角线互相垂直
题型04 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解
【例4】（2023·江西南昌·校考二模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式
摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中∠ADB=∠CBD=30°，
∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'C'D'，分别连接
AB'，DC'（如图2所示），下列有关四边形AB'C'D的说法正确的是（ ）
A．先是平行四边形，平移√3个单位长度后是菱形
B．先是平行四边形，平移√3个单位长度后是矩形，再平移2√3个单位长度后是菱形
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C．先是平行四边形，平移√3个单位长度后是矩形，再平移3√3个单位长度后是正方形
D．在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形
【变式4-1】（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）（1）如图1，在矩形ABCD中，点
E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使
CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，
求CF的长．
【变式4-2】（2023·江苏南通·校考三模）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一
点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到
△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求FG的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°．将△ADE沿AE
翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
【变式4-3】（2023·广东深圳·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学校考模拟预测）【问题发现】
（1）在一次小组合作探究课上，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和
DG，请直接写出线段BE与DG的数量关系______ ，位置关系______ ；
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【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD ∽矩形
12√10
AEFG，AE=3，AG=4，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若AD= ，求BE
5
的长．
【拓展延伸】
（3）若将正方形ABCD和正方形AEFG改成菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如图
3
3，AD=5，AC=6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得AQ= AP，连
5
4
接PQ，QC，当tan∠PQC= 时，直接写出AP的长．
3
【变式4-4】（2023·河南信阳·校考三模）综合与实践
综合与实践课上，同学们以“四边形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
(1)操作一：如图1，将正方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，然后将纸片展开；
操作二：依次将边AB，CD折到对角线AC上，折痕分别为AE，CG，使点B，D分别落在对角线AC上
的点F，H处，将纸片展开，连接EH，FG．
根据以上操作，易得出结论：四边形EFGH的形状是______．
迁移探究
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(2)如图2，将正方形纸片换成矩形纸片，按照（1）中的方式操作，继续探究．
①小明认为此时四边形EFGH的形状仍然符合（1）中的结论，你认为小明的说法正确吗？请说明理由；
②小亮认为可以通过改变矩形AB与BC的比值，让四边形EFGH成为菱形，你认为小亮说法正确吗？请简
述理由．
拓展应用
(3)在（2）的条件下，若AB=6，当F，H分别是线段AC的三等分点时，请直接写出四边形EFGH的面积．
【变式4-5】（2023·山西吕梁·统考三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形ABCD是矩形，分别以AD，CD为边，在矩形
ABCD外侧作正方形ADEF和CDMN（点B，A，F在同一直线上，点B，C，N在同一直线上）．连接
FN，取FN的中点P，连接BP．
1
求证：BP⊥FN，BP= FN．
2
解决问题：
(1)请你解答老师提出的问题．
数学思考：
(2)受到老师所提问题的启发，“兴趣小组”又提出了一个新问题：如图，若四边形ABCD是平行四边形
(∠DAB≠90°)，其余条件保持不变，则老师所提问题的结论是否保持不变？请你说明理由．
(3)“智慧小组”所提的问题是：如图，四边形ABCD是菱形，分别以AD，CD为边，在菱形外侧作正方形
ADEF和CDMN．连接BD并延长，交FN于点P．若∠DAB=30°，FN=6，求BD的长．请你思考该问
题，并直接写出结果．
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【变式4-6】（2023·内蒙古包头·二模）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，
将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6．将△AEB沿BE翻折到
△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．
1
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6,E为CD边上的一点且DE= DC，∠D=60°．将
3
3
△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF与CD交于H且FH= ，直线EF交直线BC于点P，求PE的长．
4
【变式4-7】（2023·江西南昌·统考一模）如图，两个全等的四边形ABCD和OA'B'C'，其中四边形
OA'B'C'的顶点O位于四边形ABCD的对角线交点O．
(1)如图1，若四边形ABCD和OA'B'C'都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
1 √2
①OE=OF；②重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的 ；③BE+BF= DB．
4 2
(2)应用提升:如图2，若四边形ABCD和OA'B'C'都是矩形，AD=a,DC=b，写出OE与OF之间的数量
关系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形ABCD和OA'B'C'都是菱形，∠DAB=α，判断（1）中的结论是否依然
成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用α表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
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考点三 梯形的性质与判定
梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形.
梯形的分类：
等腰梯形性质：1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；
2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；
3）等腰梯形的两条对角线相等；
4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）.
等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3）对角线相等的梯形是等腰梯形.
【解题思路】判定一个四边形是等腰梯形,必须先判定四边形是梯形,再证明同一底边上的两个角相等或两
腰相等或两条对角线相等.
1
梯形的面积公式：S= ×（上底+下底）×高
2
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；
2）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中.
3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形.
4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并
且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.
5）平移腰.过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形.
6）过上底中点平移两腰.构造两个平行四边形和一个三角形.
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题型01 等腰三角形的性质求解
【例1】（2024·上海杨浦·统考一模）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在
边AB上，AC与DE交于点F，∠ADE=∠DCA．
(1)求证：AF·AC=AE·CD；
(2)如果点E是边AB的中点，求证：AB2=2DF⋅DE．
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·九年级校考阶段练习）已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，
AB=DC,E是对角线BD上一点，∠BCE=∠ABD
(1)求证：△ABD∽△ECB
(2)求证：DC2=DE⋅DB
【变式1-2】（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为BC
延长线上一点，∠ADB=∠CDE，点F在BD上，联结CF．
(1)求证：AD⋅DE=AC⋅DC；
(2)如果AD⋅CE=DF⋅DB，求证：四边形DFCE为梯形．
【变式1-3】（2023·四川达州·统考二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，且
AB∥DE，
(1)试判断四边形ABED的形状，并说明理由；
(2)若AB=AD=DC，EC=BE，
①求∠B的度数；
②当DC=4cm时，求四边形ABED的面积．
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题型02 等腰三角形的判定求解
【例2】（2022上·上海奉贤·九年级统考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=CD，对角
线AC,BD相交于点O．
(1)如图1，当∠ADO=∠DCO，求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)如图2，如果DB=DC，且AB=3,BC=2，求AD的长．
【变式2-1】（2022上·上海松江·九年级统考期末）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AC=AB，
过点D作BC的平行线交AC于点E．
(1)如果∠DEC=∠BEC，求证：CE2=ED⋅CB；
(2)如果AD2=AE⋅AC，求证：AD=BC．
【变式2-2】（2023·上海·模拟预测）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB=AC，点M、N分别
在弦AB、AC上，且AM=CN，AM
