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专题 29 正方形的性质与判定【十六大题型】
【题型1 根据正方形的性质求角度、线段长、面积、坐标】.............................................................................2
【题型2 正方形的判定定理的理解】......................................................................................................................3
【题型3 证明四边形是正方形】..............................................................................................................................4
【题型4 求正方形重叠部分面积】..........................................................................................................................6
【题型5 与正方形有关的折叠问题】......................................................................................................................7
【题型6 根据正方形的性质与判定求角度】.........................................................................................................8
【题型7 根据正方形的性质与判定求线段长】.....................................................................................................9
【题型8 根据正方形的性质与判定求面积】.......................................................................................................10
【题型9 根据正方形的性质与判定证明】...........................................................................................................12
【题型10 根据正方形的性质与判定解决多结论问题】.......................................................................................13
【题型11 与正方形有关的动点问题】....................................................................................................................15
【题型12 与正方形有关的规律探究问题】...........................................................................................................16
【题型13 正方形与一次函数的综合应用】...........................................................................................................18
【题型14 正方形与反比例函数的综合应用】.......................................................................................................19
【题型15 正方形与一次函数、反比例函数综合应用】.......................................................................................21
【题型16 正方形与二次函数综合应用】................................................................................................................23
【知识点 正方形的性质与判定】
1．定义：
四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形
2．性质：
正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质．
性质1：正方形的四个内角都相等，且都为 ，四条边都相等．
性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角．
性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线．
另外，由正方形的性质可以得出：
（1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形．
（2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半．
3．判定：
判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法：
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（1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直．
（2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等．
【题型1 根据正方形的性质求角度、线段长、面积、坐标】
【例1】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形 为正方形，点A的坐标为 ，将正方
ABCO (1,√3)
形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
(√3,−1) (−1,−√3) (−1,√3) (√3,1)
【变式1-1】（2023·广东东莞·三模）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD
上，且BE=BC．则∠BEC的度数为 ．
【变式1-2】（2023·河南·统考二模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线
分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 ．
【变式1-3】（2023·江苏盐城·校考模拟预测）如图，以正方形ABCD的两边BC和AD为斜边向外作两个
全等的直角三角形BCE和DAF，过点C作CG⊥AF于点G，交AD于点H，过点B作BI⊥CG于点I，
过点D作DK⊥BE，交EB延长线于点K，交CG于点L．若S =2S ，GH=1，则DK的长为
四边形ABIG △BCE
．
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【题型2 正方形的判定定理的理解】
【例2】（2023·河北邢台·统考二模）下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形
是正方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2023·河北邢台·二模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，
能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．AC=BC=CD=DA
B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AB=BC，CD⊥DA
【变式2-2】（2023·河南南阳·统考三模）在 ▱ABCD中，已知AC、BD为对角线，现有以下四个条件：
①∠ABC=90°；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=BC．从中选取两个条件，可以判定 ▱ABCD为正
方形的是 ．（写出一组即可）
【变式2-3】（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，
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∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列
四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④
存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3 证明四边形是正方形】
【例3】（2023·山西忻州·统考模拟预测）综合与实践
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，将△ACD绕点A顺时针方向旋转，
使AC与AB重合，得到△ABE，过点E作EF∥BC，交AB于点F，过点F作FG⊥BC于点G．
(1)求证：四边形BEFG是正方形；
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC．D是BC边上一点，将△ACD绕点A顺时针方向旋转，
使AC落在边AB上，得到△AFE，过点E作EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点I，J，G，过点F作
FH∥BC，交AD于点H，且∠AEG=∠AHG．求证：四边形EGHF是矩形；
(3)在图2中，若∠BAC=90°，AC=3，AB=4，BD=3DC．将△ACD绕点A顺时针方向旋转，使AC
落在边AB上，得到△AEF，过点E作EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点I，J，G．求线段FI的长度．
【变式3-1】（2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，
F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA．
求证：四边形AECF是正方形．
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【变式3-2】（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，△ABC中，AB=AC，D、F分别为BC、AC的中点，
连接DF并延长到点E，使FE=DF，连接AE、AD、CE．请添加一个条件：___________，使得四边
形AECD是正方形，并说明理由．
【变式3-3】（2023·福建泉州·统考二模）在ΔABC中，∠ABC=90°，将ΔABC绕点A逆时针旋转得到
ΔADE（点B的对应点是点D，且0°<∠BAD<180°），射线DE与直线CB交于点M．
(1)如图1，当∠BAD=90°时，求证：四边形ADMB是正方形；
(2)如图2，当点D在线段CA的延长线上时，若AB=1，AC=3，求线段ME的长；
(3)如图3，过点A作AN∥DE，交线段CB于点N，AN平分∠CAE，试探索：CN与MN的数量关系，并
说明理由．
【题型4 求正方形重叠部分面积】
【例4】（2023·浙江·统考中考真题）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，
每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
ABCD．则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）．
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【变式4-1】（2023·四川自贡·统考一模）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方
形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为( )
√3 √3 √3 √3
A． B． C． D．
3 6 9 12
【变式4-2】（2023·山东菏泽·校考一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方
形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式4-3】（2023·天津·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，
CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S 的值等
正方形MNPQ
S
正 方 形AEFG
于 ．
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【题型5 与正方形有关的折叠问题】
【例5】（2023·安徽·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，G为AD边上一点，将△ABG沿BG翻折到
△FBG处，延长GF交CD边于点E，过点F作FH∥BC分别交BG,AB,CD于点H,P,Q．请完成下列问
题：
（1）∠EBG= °；
1
（2）若FH= BC=4，则BP= ．
2
【变式5-1】（2023·江苏扬州·校考三模）在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与
B，C重合），连接AE，将△ABE沿AE向右翻折得△AFE，连接CF和DF，若△DFC为等腰三角形，
则BE的长为
【变式5-2】（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2，将其沿EF翻折，使
∠EFC=120°，顶点B恰好落在线段AD上的点G处，点C的对应点为点H．则线段AE的长为 ．
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【变式5-3】（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对
应点M落在边AD上（点M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，
CD交于点E,F，连接BM．
(1)求证：∠AMB=∠BMP；
(2)若DP=1，求MD的长．
【题型6 根据正方形的性质与判定求角度】
【例6】（2023·江西南昌·一模）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图1，连接BG、CF，
CF
①求 的值；
BG
②求∠BHC的度数．
(2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN
与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．
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【变式6-1】（2023·陕西·陕西师大附中校考二模）如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：
3，则∠APB= .
【变式6-2】（2023·山东潍坊·统考二模）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并
延长CE交AD于点F．若∠AEC=140°，求∠DFE的度数．
【变式6-3】（2023·福建·模拟预测）四边形ABCD是矩形，点P在边CD上，∠PAD＝30°，点G与点D关
于直线AP对称，连接BG．
(1)如图，若四边形ABCD是正方形，求∠GBC的度数；
(2)连接CG，设AB＝a，AD＝b，探究当∠CGB＝120°时，求b的值．
【题型7 根据正方形的性质与判定求线段长】
【例7】（2023·河南信阳·二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点
B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当
△ABF为等腰三角形时，BE的长为 ．
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【变式7-1】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，将BCD
沿BD折叠得到△BED，连接AE.若DE⊥AB于点F，BC=10，则AF的长为 ．
【变式7-2】（2023·广东茂名·统考一模）如图，在△ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，延长CE交AB于F．交BD于点G，且CG垂直BD，将ADE绕
点A旋转至AE∥BD时，若CE=5，EF=1，则BG的值是 ．
【变式7-3】（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，
∠A=90°，AB=BC=4，AD=2，点E，F分别是边AD，BC上的两个动点，且AE=CF，过点B
作BG⊥EF于G，连接CG，则CG的最小值是（ ）
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A．2√10−√2 B．√10+√2 C．√10 D．√10−√2
【题型8 根据正方形的性质与判定求面积】
【例8】（2023·浙江舟山·校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作
矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线
于点M，MN分别交BE，DG于点H、P，若NP=HP，NF=1，则四边形ABMN的面积为（ ）
A．3 B．2.5 C．3.5 D．√5
【变式8-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，连接
BD且BD平分∠ABC．若AB+BC=8，则四边形ABCD的面积为 ．
【变式8-2】（2023·甘肃白银·校联考一模）模型探究：（1）如图1，在四边形ABCD中，
∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E，若AE=10，求四边形ABCD的面积．
拓展应用：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E，
若AE=19，BC=10，CD=6，求四边形ABCD的面积．
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【变式8-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD
的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，OE=3√2，若CE⋅DE=6，则正方形的面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
【题型9 根据正方形的性质与判定证明】
【例9】（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，
∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED．点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
3
(2)当AE=3EF，DF= 时，求GF的值．
8
【变式9-1】（2023·山东泰安·校考二模）如图，正方形ABCD中，AB=1，点E是对角线AC上的一点，
连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG，EB．
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(1)求证：①∠EFB=∠EBF；
②矩形DEFG是正方形；
(2)求AG+AE的值．
【变式9-2】（2023·山东泰安·三模）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E
作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB=2，CE=√2，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【变式9-3】（2023·内蒙古赤峰·统考三模）问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到
△CBE' (点A的对应点为点C)，延长AE交CE'于点F，连接DE．
猜想证明：
(1)试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：
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(3)如图①，若AB=10，CF=2，请直接写出DE的长．
【题型10 根据正方形的性质与判定解决多结论问题】
【例10】（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB，BC的中点，CM
与DN相交于点G，延长BG交CD于点E，CM交BD于点H．下列结论：①CM⊥DN；②BH=BM；
③S =3S ；④∠BGM=45°；⑤GM+GN=√2GB．其中正确结论的序号有（ ）
△DNC △BMH
A．②③④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤
【变式10-1】（2023·广东深圳·统考二模）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的
平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：
PG
①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④ =√2−1；⑤S ：S =1：2，其中正确的
ΔPBC ΔAFC
AE
有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式10-2】（2023·广东河源·统考二模）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点O是对角线AC的中点，
点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作
FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点
H，连接AH．有以下四个结论：①BF=√2BQ；②△DEF的周长为12；③线段AH的最小值为2；④
2S =S ．其中正确结论的个数为（ ）
△BQG △BEF
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A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-3】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形
纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，
M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，
关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB是菱形；③四边形
5
EFNB的面积占正方形ABCD面积的 ．正确的有（ ）
8
A．①③ B．①② C．只有① D．②③
【题型11 与正方形有关的动点问题】
【例11】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，
且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG
时，线段DE长为（ ）
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5√2 √41
A．√13 B． C． D．4
2 2
【变式11-1】（2023·山东济南·校联考二模）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不
与点A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝√2HM；
③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为( )
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【变式11-2】（2023·湖北黄石·黄石十四中校考模拟预测）如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线
段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）如图1，∠BAP=20°，直接写出∠AFE= ；
（2）如图2，连接CE，G是CE的中点，AB=1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长为
．
【变式11-3】（2023·陕西西安·高新一中校考二模）如图，正方形ABCD中，AD＝4+2√3，已知点E是边
AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当PA＝PB时，则线段AE＝
．
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【题型12 与正方形有关的规律探究问题】
【例12】（2023·辽宁阜新·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的
坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A，作正方形AB C C；延长C B 交x轴
1 1 1 1 1 1
于点A2，作正方形AB C C …按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（ ）
2 2 2 1
3 2010 9 2010 9 2012 3 4022
A．5×( ) B．5×( ) C．5×( ) D．5×( )
2 4 4 2
【变式12-1】（2023·山东烟台·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为底边在正方形ABCD
内作等腰ΔABE，点E在CD边上，再在等腰ΔABE中作最大的正方形A B C D ，···，按照此规律继续下
1 1 1 1
去，则第2019个等腰三角形的底边长为（ ）
1 1
A． B．
22018 22019
2018 2019
√5 √5
C．2( ) D．2( )
2 2
【变式12-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形
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OABC，边OA，OC分别在x轴，y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB C ，再以对角线
1 1
OB 为边作第三个正方形OB B C ，照此规律作下去，则点B 的坐标为 ．
1 1 2 2 2019
【变式12-3】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过
点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，
以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA，延长AC交射线OB于点B，以AB 为边在△AOB 的外侧作
1 1 1 1 1 1 1
正方形ABC A，延长AC 交射线OB于点B，以AB 为边在△AOB 的外侧作正方形ABC A…按此规律
1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3
进行下去，则正方形A B C A 的周长为 ．
2020 2020 2020 2021
【题型13 正方形与一次函数的综合应用】
【例13】（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点
A(0,3),B(1,0)，将正方形ABCD沿x轴的负方向平移，使点D恰好落在直线AB上，则平移后点B的坐标
为 ．
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【变式13-1】（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴
上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x−5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过
程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2
所示，则图2中b的值为 ．
【变式13-2】（2023·辽宁葫芦岛·校联考二模）如图，MN⊥BE，垂足为点B，BD平分
∠MBE，BD=2，点A从点B出发，沿射线BN运动，连接AD，DC⊥AD交BE于点C，设
AB=x，△BDC的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
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C． D．
1
【变式13-3】（2023·江苏·模拟预测）直线l：y= x−1分别交x轴，y轴于A，B两点，
2
(1)求线段AB的长；
(2)如图，将l沿x轴正方向平移，分别交x轴，y轴于E，F两点，若直线EF上存在两点C，D，使四边形
ABCD为正方形，求此时E点坐标和直线AD的解析式；
(3)在（2）的条件下，将EF绕E点旋转，交直线l于P点，若∠OAB+∠OEP=45°，求P点的坐标．
【题型14 正方形与反比例函数的综合应用】
3 6
【例14】（2023·安徽·二模）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=− (x<0)和y= (x>0)的
x x
图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为（ ）
A．(1,3) B．(2,3) C．(2,2) D．(3,2)
【变式14-1】（2023·北京西城·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是
6 2
函数y= (x>0)图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=− (x<0)的图象于点C，点D在x轴上
x x
（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
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②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
k
【变式14-2】（2023·福建泉州·模拟预测）如图，反比例函数y= (x>0)图象经过正方形OABC的顶点
x
A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD=2CD，则k的值为（ ）
18 16 10
A．3 B． C． D．
5 5 3
3 n
【变式14-3】（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y= 和y=
x x
的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）
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1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
【题型15 正方形与一次函数、反比例函数综合应用】
1
【例15】（2023·江苏·一模）直线l：y= x−1分别交x轴，y轴于A，B两点，
2
(1)求线段AB的长；
(2)如图，将l沿x轴正方向平移，分别交x轴，y轴于E，F两点，若直线EF上存在两点C，D，使四边形
ABCD为正方形，求此时E点坐标和直线AD的解析式；
(3)在（2）的条件下，将EF绕E点旋转，交直线l于P点，若∠OAB+∠OEP=45°，求P点的坐标．
【变式15-1】（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线AD：y=3x+3与坐标轴交于A、D两点，以AD为
k
边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点．过点C的反比例函数y= (k≠0)与直线AD交
x
于E、F两点．
(1)求证：△AOD≌△DGC；
(2)求E、F两点坐标；
k
(3)填空：不等式3x+3> 的取值范围是______．
x
【变式15-2】（2023·湖南娄底·二模）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为(0，2)，点B的坐标
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k
为(0，−3)，反比例函数y= 的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点C和点A．
x
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
k
(2)写出ax+b> 的解集；
x
(3)点P是反比例函数图象上的一点，若△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点坐标．
【变式15-3】（2023·山东济南·山东省济南稼轩学校校考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
k
y=x+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(3，n)，与y轴交于点B(0,−2)，点P是反比例函数
x
k
y= (x>0)的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y=x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且
x
0
