文档内容
专题 01 实数
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：实数的分类........................................................................................................................................3
考点二：实数的相关概念................................................................................................................................3
考点三：实数的大小比较................................................................................................................................4
考点四：实数的运算........................................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：实数的分类........................................................................................................................................4
题型一：实数的分类................................................................4
题型二：无理数估值................................................................6
题型三：相反意义的量..............................................................7
考点二：实数的相关概念................................................................................................................................8
题型一：用数轴上的点表示数........................................................8
题型二：求数轴上两点之间的距离....................................................9
题型三：根据点在数轴上的位置判断式子正负.........................................11
题型四：数轴上的动点问题.........................................................12
题型五：求一个数的相反数.........................................................16
题型六：多重符号化简.............................................................17
题型七：相反数的应用.............................................................18
题型八：求一个数的绝对值.........................................................19
题型九：化简绝对值...............................................................20
题型十：绝对值非负性的应用.......................................................23
题型十一：利用几何意义化简绝对值.................................................25
题型十二：乘方运算...............................................................28
题型十三：乘方的应用.............................................................30
考点三：科学记数法与近似数......................................................................................................................31
题型一：用科学记数法表示数.......................................................31
题型二：求一个数的近似数.........................................................33
考点四：实数比较大小..................................................................................................................................33
题型一：利用数轴法比较实数大小...................................................34
题型二：利用类比法比较实数大小...................................................34
题型三：利用作差法比较实数大小...................................................35
题型四：利用作商法比较实数大小...................................................38
题型五：利用平方法比较实数大小...................................................38
题型六：利用其它方法比较实数大小.................................................39
考点五：平方根、算术平方根、立方根......................................................................................................41
题型一：求一个数的算术平方根.....................................................41
题型二：利用算术平方根的非负性解题...............................................42
题型三：求一个数的平方根.........................................................43
题型四：已知一个数的平方根，求这个数.............................................43
题型五：求一个数的立方根.........................................................43
考点六：实数的运算......................................................................................................................................45
题型一：实数的简单运算...........................................................45
题型二：数的简便运算.............................................................46题型三：实数的混合运算...........................................................47
题型四：实数与数轴的综合运算.....................................................50专题 01 实数
模块一：基础知识
考点一 ： 实数的分类
1.按定义 2.按大小
正有理数
有限小数或
有理数 0 无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
考点二 ：实数的相关概念
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大
于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，
写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数
点前面的零）.
6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入
到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为 ，a的算术平方根表示为 .
（4）
8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为 .（3） .
考点三 ：实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
（2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（3）差值比较法： a-b＞0 a＞b;a-b=0 a=b;a-b＜0 a＜b
⇔ ⇔ ⇔
（4）平方比较法：
a2
a＞√b⇒ ＞b(b＞0）
考点四 ：实数的运算
1.数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
2．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法
交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
3．零次幂;a≠0，则a0=1
4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则 .
5.-1的奇偶次幂： ；
模块二：题型分类
考点一：实数的分类
题型一：实数的分类
1.下列各数中，为有理数的是（ ）
π
A．√38 B．3.232232223???C． D．√2
3
【答案】A
【提示】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、√38=2，是有理数，则此项符合题意；
B、3.232232223???是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、 是无理数，则此项不符合题意；
D、√2是无理数，则此项不符合题意；故选： ．
A4
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
2.下列数中，属于负数的是（ ）
1
A．2023 B．−2023 C． D．0
2023
【答案】
B0
【提示】根据小于0的数即为负数解答可得．
1
【详解】−2023是负数，2023和 是正数，0既不是正数也不是负数
2023
故选：B．
【点睛】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键 ．
28
1
3.在−2, ,√3,2中，是无理数的是（ ）
2
1
A．−2 B． C．√3 D．2
2
【答案】C
【提示】根据无理数的定义判断即可；
1
【详解】解：∵-2， ，2是有理数，√3是无理数，
2
故选： C．
【点睛】
3B
本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．
4.在实数√2，x0（x≠0），cos30°，√38中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
√3
【详解】解：在实数√2，x0（x≠0）=1，cos30°= ，√38=2中，有理数是√38=2，x0=1，
2
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.下列各数中，正整数是（ ）
A．3 B．2.1 C．0 D．−2
【答案】A
【提示】根据有理数的分类即可求解．【详解】解：3是正整数，2.1是小数，不是整数，0不是正数，−2不是正数，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
题型二：无理数估值
1.下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据无理数的估算可得答案．
【详解】解：∵ ， ，而 ， ，
∴大小在3与4之间的是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握基础知识是解题的关键．
2.下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据正数 负数，即可进行解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正无理数是 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数 负数．
3.估计 的值应在 （）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之
【答案】B【提示】由于4＜6＜9，于是 ，从而有 ．
【详解】解：∵4＜6＜9，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
4.若 为两个连续整数，且 ，则 ．
【答案】3
【提示】根据夹逼法求解即可．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
题型三：相反意义的量
1.负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支
出5元记作（ ）
A．−5元 B．0元 C．+5元 D．+10元
【答案】A
【提示】根据相反数的意义可进行求解．
【详解】解：由把收入5元记作+5元，可知支出5元记作−5元；
故选A．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2.我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮
库把运进30吨粮食记为“+30”，则“−30”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【提示】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“−30”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
3.月球表面的白天平均温度零上 ，记作+126°，夜间平均温度零下 ，应记作（ ）
A．+150° B． C．+276° D．
【答案】B
【提示】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．
【详解】解：平均温度零上 ，记作+126°C，夜间平均温度零下 ，应记作 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．
考点二：实数的相关概念
题型一：用数轴上的点表示数
1.如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【提示】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是−1，所以比−1大3的数是−1+3=2；
故选D．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关
键．
2.如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
1 1
A．2023 B．−2023 C． D．−
2023 2023
【答案】B
【提示】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，
∴OB=2023，
∴点B表示的数是−2023，
故选：B．【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
3.如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【答案】B
【提示】根据OB=2OA，点B表示的数是6，先求解OA, 再根据A的位置求解A对应的数即可．
【详解】解：由题意可得：点B表示的数是6，且B在原点的右侧，
∴OB=6,
∵ OB=2OA，
∵A在原点的左侧，
∴A表示的数为−3,
故选B
【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上
数的分布是解本题的关键．
4.如图，数轴上表示实数√7的点可能是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【答案】B
【提示】根据先估算√7的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
【详解】解：∵4<7<9
∴√4<√7<√9，即2<√7<3，
∴数轴上表示实数√7的点可能是Q，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的大小估算，推出√7介于哪两个整数之间是解题的关键．
题型二：求数轴上两点之间的距离
1.一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位到了相反数B点所在的位置，则点A所表示的是（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．4或﹣4
【答案】A
【提示】由题意可知，两数互为相反数，且两数对应点的距离为4，即可提示出两点到原点的距离为2【详解】由题意可知，两数互为相反数，且两数对应点的距离为4，
∴两点到原点距离＝4÷2＝2，
∴这两个数分别为2，-2，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的意义，解题的关键是提示出互为相反数的两数对应
点距离为4．
2.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若AB=6，则点A表示的数为（ ）
A．−3 B．0 C．3 D．−6
【答案】A
【提示】由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数
【详解】解：∵a+b=0
∴A，B两点对应的数互为相反数，
∴可设A表示的数为a，则B表示的数为−a，
∵AB=6
∴−a−a=6，
解得：a=−3，
∴点A表示的数为-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程−a−a=6．
3.如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段AB=√2，则点C表示的数
是 ．
【答案】2√2−1
【提示】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点B是AC的中点，线段AB=√2，
∴AC=2√2，
∴点C表示的数是：2√2−1；
故答案为：2√2−1．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点
间的距离公式，是解题的关键．题型三：根据点在数轴上的位置判断式子正负
1.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．−c−c C．|a−b|=b−a D．|c−a|=a−c
【答案】C
【提示】根据数轴的性质可得a|b|>|c|，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，a|b|>|c|．
A、−c>b，则此项错误，不符合题意；
B、a<−c，则此项错误，不符合题意；
C、∵a−b<0，
，则此项正确，符合题意；
D、∵c−a>0，
，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
2.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c(b−a)<0 B．b(c−a)<0 C．a(b−c)>0 D．a(c+b)>0
【答案】C
【提示】根据数轴可得，a<00，故A选项错误；
∴b(c−a)>0，故B选项错误；
∴a(b−c)>0，故C选项正确；
∴a(c+b)<0，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，根据a<01 B．−a0 D．−ab>0
b【答案】AD
【提示】根据数轴判断出a、b的取值范围，再根据有理数的乘除法，加减法运算对各选项提示判断后利
用排除法求解．
【详解】解：由题意可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，
|a|
A、 >1，故本选项符合题意；
b
B、-a＞b，故本选项不符合题意；
C、a-b＜0，故本选项不符合题意；
D、−ab>0，故本选项符合题意．
故选：A D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的乘除运算以及有理数的加减运算，判断出a、b的取值范围是
解题的关键．
4.如图，数轴上的点 分别对应实数 ，则a+b 0.(用“>”“<”或“=”填空)
【答案】<
【提示】根据数轴可得a<0|b|，进而即可求解．
【详解】解：由数轴可得a<0|b|
∴a+b <0
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键
题型四：数轴上的动点问题
1.如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点 A，则点 A 表示的数
是（ ）．
A．3 B．4 C．π D．2π
【答案】C
【提示】圆向前滚动了一个圆周长的距离，据此求解即可．
【详解】解：∵圆的直径为1，∴圆周长为π，所以点A表示的数是π，
故选：C．
【点睛】本题考查数轴上表示的数，明确圆向前滚动了一个圆周长的距离是解题的关键．
2.正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A,D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕
着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【提示】先翻转一次和两次确认点B、C对应的数，再根据正方形的性质归纳类推出每个顶点对应的数的
规律，从而即可得出答案．
【详解】翻转一次可得：点B对应的数为2；再翻转一次可得：点C对应的数为3
在正方形纸板连续翻转的过程中，各顶点对应的数的规律归纳类推如下：
点A对应的数分别为1,5,9,?,1+4n，n为非负整数
点B对应的数分别为2,6,10,?,2+4n，n为非负整数
点C对应的数分别为3,7,11,?,3+4n，n为非负整数
点D对应的数分别为0,4,8,?,4n，n为非负整数
由此可知，只有点D对应的数可以为2020，此时n=505为非负整数，符合要求
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴的定义的实际应用，读懂题意，归纳类推出规律是解题关键．
3.如图，数轴上点M对应的数为−10，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形ABCD的边AD在数轴上．
矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个
单位长度的速度，从点A出发沿折线 绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各
自终点．已知AB=10，BC=30，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为
点Р对应的数．
(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不
必写范围）．
(2)若a=60，当 ，即点Р在BC边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示）
(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则a= ．
【答案】(1)t−10
(2)3t−20
(3)100
【提示】（1）根据线段的和与差可得OA=MA−MO，即可求得；
（2）根据P的速度和矩形的周长，求得P运动的总时间，进一步求得矩形的速度，即可求得；
（3）根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动方向和运动速度，求解即可．
【详解】（1）解：若矩形速度为l，则点A的速度也为l，则运动的距离为MA=t，故
OA=MA−MO=t−10，
即A的值为t−10
故答案为：t−10．
（2）解：点P的速度为2，则运动总时间为(10+30)×2÷2=40（秒），
从M到N，长度为70，所以矩形运动速度为(70−30)÷40=1，
所以当点Р在BC边上时，点Р对应的数为2t−10+t−10=3t−20，
故答案为：3t−20．
（3）解：点P对应的数不变，说明矩形向右运动，点Р向左运动，二者速度“抵消”了，
所以矩形的运动速度与点P的运动速度相等，
a+10−30
所以 =2，
40
解得a=100，
故答案为：100．
【点睛】本题看了数轴，矩形的周长，动点问题等，根据点Р对应数轴上的数不变，判定矩形和P的运动
方向和运动速度是解题的关键．
4.如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行
移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正
方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示
b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若AB=3，求x的值．
1
【答案】(1) ；
4
(2)B点表示的数为-21；
(3)x的值为4或6．
【提示】（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据题意可知当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点
向左移动2(12-a)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可；
（3）刚开始的距离是15，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到
结果．
【详解】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，
故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ，
3 1
则P(奇数)= = ，
6 2
1 1
∴P(B点移动到4)= ×
❑=
；
2 2 4
（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，
当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
当b=0时，3a-30=0，
∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，
∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；
（3）解：刚开始AB的距离等于15，
均为偶数时，AB距离缩短3，
均为奇数时，AB距离缩短3，
均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，
当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；
当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值为4或6．
【点睛】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.如图，在数轴上，点P、A、B表示的数分别是﹣6、﹣3、2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向
右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点P、B运动的时间为t秒时，点P、B
分别位于数轴上P'、B'处．
(1)当t＝ 时，AB＝8．
(2)当P'A＝3P'B时，求t的值．
【答案】(1)3
21 27
(2) 或
4 8
【提示】（1）首先表示出点B运动t秒对应的数，再根据AB＝8列出方程，求解即可；
（2）首先表示出数轴上P'对应的数，再根据P'A＝3P'B列出方程，求解即可．
【详解】（1）点B运动t秒对应的数为2＋t，
∵AB＝8，
∴2＋t﹣（﹣3）＝8，
解得t＝3．
故答案为：3；
（2）由题意可得，数轴上P'对应的数为﹣6＋2t．
∵P'A＝3P'B，
∴|﹣6＋2t﹣（﹣3）|＝3|﹣6＋2t﹣2|，
即2t﹣3＝3（2t﹣8），或2t﹣3＝﹣3（2t﹣8），
解得t ，或t ．
21 27
故所求t的值为 或 ．
4 8
【点睛】本题结合动点问题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，表示出点P、B在数
轴上运动t秒后对应的数是解题的关键．
题型五：求一个数的相反数
1.2023的相反数是（ ）
1 1
A． B．−2023 C．2023 D．−
2023 2023
【答案】B【提示】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：2023的相反数是−2023，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（ ）
1 1
A．9 B．− C． D．−9
9 9
【答案】D
【提示】先根据数轴得到A表示的数，再求其相反数即可．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是9，相反数为−9，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴和相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
3.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（ ）
A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5
【答案】A
【详解】﹣0.5的相反数是0.5，
故选A．
题型六：多重符号化简
1.−(−2023)=（ ）
1 1
A．−2023 B．2023 C．− D．
2023 2023
【答案】B
【提示】−2023的相反数是2023．
【详解】−(−2023)=2023，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数等知识，掌握相反数的概念是解题的关键．
2.下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．−(+5)和−5 B．+(−5)和−5
C．+(−8)和−(+8) D．+(−8)和−(−8)
【答案】D
【提示】先将各数化简，再根据相反数的定义逐个进行判断即可．
【详解】解：A、−(+5)=−5与−5不是互为相反数，故A选项不符合题意；B、−(+5)=−5与−5不是互为相反数，故B选项不符合题意；
C、+(−8)=−8与−(+8)=−8不是互为相反数，故C选项不符合题意；
D、+(−8)=−8与−(−8)=8，是互为相反数，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多重符号的化简，相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反
数．
题型七：相反数的应用
(3 6)
1.能与− − 相加得0的是（ ）
4 5
3 6 6 3
A．− − B． +
4 5 5 4
6 3 3 6
C．− + D．− +
5 4 4 5
【答案】C
(3 6)
【提示】利用加法与减法互为逆运算，将0减去− − 即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，
4 5
(3 6)
直接得到能与 − − 相加得0的是它的相反数即可．
4 5
[ (3 6)] (3 6) 3 6 6 3
【详解】解：方法一：0− − − =0+ − = − =− + ；
4 5 4 5 4 5 5 4
(3 6) (3 6)
方法二：− − 的相反数为 − ；
4 5 4 5
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它
们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变．
2.若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（ ）
1
A．2 B．﹣2 C．0 D．
2
【答案】A
【提示】根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：∵1的相反数是﹣1，∴a＝1，
∴a+1=2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数，熟记相反数的定义是解题的关键．
3.若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b−4c的值为（ ）
A．−8 B．−5 C．−1 D．16
【答案】C
1
【提示】根据a，b互为相反数，可得a+b=0，c的倒数是4，可得c= ，代入即可求解．
4
【详解】∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∵c的倒数是4，
1
∴c= ，
4
3a+3b−4c =3(a+b)−4c
∴ ，
故选：C
1
【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得a+b=0，c= 是解题的关键．
4
4.若m+1与−2互为相反数，则m的值为 .
【答案】1.
【提示】根据相反数的性质即可求解.
【详解】m+1+(-2)＝0，所以m＝1.
【点睛】此题主要考查相反数的应用，解题的关键是熟知相反数的性质.
题型八：求一个数的绝对值
1.计算： ．
【答案】2023
【提示】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【详解】解： 的相反数是2023，
故 ，
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2.下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③ 的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【提示】根据相反数、绝对值、倒数的定义逐个判断即可．
【详解】①－2022的相反数是2022，故此说法正确；
②－2022的绝对值是2022，故此说法正确；
③ 的倒数是2022，故此说法正确；
正确的个数共3个；
故选：A．
【点睛】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个
数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，熟知定义是解题的关键．
3.下列计算结果为5的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据去括号法则及绝对值化简依次计算判断即可．
【详解】解：A、-（+5）=-5，不符合题意；
B、+（-5）=-5，不符合题意；
C、-(-5)=5，符合题意；
D、 ，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查去括号法则及化简绝对值，熟练掌握去括号法则是解题关键．
4. 的运算结果等于（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【提示】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，，
故选：B；
【点睛】本题考查去绝对值符号，解题的关键是熟练掌握负数的绝对值等于它的相反数．
题型九：化简绝对值
1.实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【提示】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 是解题的关键．
2.已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据数轴上点的位置可得 ， ，据此化简求解即可．
【详解】解：由数轴上点的位置可得 ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的除法，正确得到 ，
是解题的关键．3.有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A4
【提示】由图可知， ， ， ， ，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，计算答案．
【详解】解：由图可知 ， ， ， ， ， ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项，解题的关键是判断出 ， ， ．
4.已知有理数 ， ， 满足 ，且 ，则 ．
【答案】
【提示】当 时，则 结合已知条件得到 ，不合题意舍去，从而
＜ 可得 ＜ 再化简代数式即可得到答案．
【详解】解：当 时，则
，
，
，所以不合题意舍去，
所以 ＜
，＜
故答案为：
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，绝对值的化简，同时考查去括号，合并同类项，掌握以上知识是
解题的关键．
5.设a，b，c为有理数，则由 构成的各种数值是 ．
【答案】 ，0
【提示】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；
【详解】解：∵a，b，c为有理数，
①若 ，
∴ ；
②若a，b，c中有两个负数，则 ，
∴ ，
③若a，b，c中有一个负数，则 ，
∴ ，
④若a，b，c中有三个负数，则 ，
∴ ，
故答案为： ，0．
【点睛】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨
论的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
题型十：绝对值非负性的应用
1.已知a，b都是实数，若 ，则 的值是（ ）A． B． C．1 D．2023
【答案】B
【提示】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值．
2. 的三边长a，b，c满足 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【提示】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的60值，再由 的
关系，可推导得到 为直角三角形．
【详解】解∵
又∵ ∴ ，∴ 解得 ，
∴ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非
负数均为0，和勾股定理逆定理．
3.若实数m，n满足 ，则 ．
【答案】7
【提示】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．【详解】解：由题意知，m，n满足 ，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，
∴m=3，n=-2，
∴ ，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论
可以求解这类题目．
4.如图，在数轴上 点表示数 ， 点表示数 ，且 ．
(1) ______， ______；
(2)点 、点 开始在数轴上运动，若点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒2个单位
长度的速度向右运动．求 秒后点 、点 之间的距离（用含 的代数式表示）．
【答案】(1) ，5
(2)
【提示】（1）由绝对值非负数的性质和平方非负数的性质可得 ， ，即可求得 的值；
（2）先表示出 秒后点 、点 表示的数，再根据数轴上两点之间的距离进行计算即可．
【详解】（1）解： ，且 ，
， ，
， ，
故答案为： ，5；
（2）解： 点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒2个单位长度的速度向右运动，
秒后点 表示的数为： ，点 表示的数为： ，
秒后点 、点 之间的距离为： ．
【点睛】主要考查了绝对值非负性的应用，数轴上两点之间60的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握以
上知识点是解题的关键．
5.先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，12
【提示】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则
计算得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和为0、及整式的化简求值．解决本题的关键是利用非负数
的和为0确定a、b的值．
题型十一：利用几何意义化简绝对值
1.阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离；即 ；这个结论可以推广为
表示在数轴上数 ， 对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程 ．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的 ±4；
例2：解方程 ．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的 的值．在数轴
上，-1和2的距离为3，满足方程的 对应的点在2的右边或在-1的左边．若 对应的点在2的右边，如图可以看出 ；同理，若 对应点在-1的左边，可得 ．所以原方程的解是
或 ．
例3：解不等式 ．
在数轴上找出 的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的
值就满足 ，所以 的解为 或 ．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程 的解为 ；
（2）方程 的解为 ；
（3）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）x=2或x=-8（2）x=-2或x=2018（3）x≥5或x≤-6
【详解】试题提示：1）分类讨论：x<-3，x≥-3，可化简绝对值，根据28解方程，可得答案；
（2）分类讨论：x<-1，-1≤x<2017，x≥2017，根据绝对值的意义，可化简方程，根据解方程，可得答案；
（3） 表示的几何意义分情况讨论即可求解.
试题解析：（1）当x<−3时，原方程等价于−x−3=5.解得x=−-8；
当x −3时，原方程等价于x+3=5，解得x=2，
故答⩾案为x=2或x=-8；
（2）当x<−1时，原方程等价于−x+2017−x-1=2020，解得x=−2，
当−1 x<2017时，原方程等价于−x+2017−+x+1=2020，不存在x的值；
当x ⩽2017时，原方程等价于x−2017+x+1=2020，解得x=2018，
综上⩾所述：x=-2或x=2018是方程的解；（3）∵ 表示的几何意义是在数轴上分别与-4和3的点的距离之和，
而-4与3之间的距离为7，
当 在-4和3时之间，
不存在 ，使 成立，
当 在3的右边时，
如图所示，
易知当 时，满足 ，
当 在-4的左边时，
如图所示，易知当 时，满足 ，
所以 的取值范围是 或 ．
点睛：本题主要考查了绝对值，通过阅读材料，理解绝对值的几何意义，结合数轴，通过数形结合对材
料进行提示来解答题目..
2.我们知道， 的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的， 的几何意义就是：
数轴上数 对应点之间的距离；比如：2和5两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们
的距离是3
（1）数轴上1和 两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是_______
（2）数轴上表示x和 的两点A、B之间的距离可以表示为AB= ；如果AB=2，结合几何意义，那么x的
值为 ；
（3）代数式 表示的几何意义是 ，该代数式的最小值是
【答案】（1） ；4；（2） ； 或-1；（3）数轴上表示数x的点到1和 两点的距离的
和；3
【提示】（1）根据两点间的距离表示即可得到结构；（2）根据 的几何意义就是：数轴上数 对应点之间的距离判断即可；
（3）根据两点间的距离表示几何意义即可，然后根据 ， ， 计算最小值即可；
【详解】（1）数轴上1和 两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是4；
故答案是： ；4；
（2）数轴上表示x和 的两点A、B之间的距离可以表示为 ，
由AB=2，得 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
故答案是： ； 或-1；
（3）由题意可知：代数式 表示的几何意义是数轴上表示数x的点到1和 两点的距离的和；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
∴最小值是3．
故答案是：数轴上表示数x的点到1和 两点的距离的和；3．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，准确提示计算是解题的关键．
题型十二：乘方运算
1.以下式子和 的值相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】应用有理数的乘方运算法则和负整数指数幂计算法则进行计算即可得出答案．
【详解】解： ， ， ， ，
∴ 与 的值相同，
故选C．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．2.下列各对数中，相等的一对数是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】C
【提示】先化简，再比较即可．
【详解】A. ∵ =1， =-1，∴ ≠ ，故不符合题意；
B. ∵ =-1， =1，∴ ≠ ，故不符合题意；
C. ∵ =-1， =-1，∴ = ，故符合题意；
D. ∵ = ， = ，∴ ≠ ，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一
切负数，两个负数，绝对值大的反而小．正确化简各数是解答本题的关键．
3.若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（ ）
A．45369 B．45371 C．45465 D．46489
【答案】A
【提示】根据有理数的乘方运算求出x、y即可解答．
【详解】解：∵x、y、z是三个连续的正整数，
∴y=x+1，
∵x2＝44944=2122，
∴x=212，
∴y=213，
∴y2=2132=45369，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键．
4. 的相反数是（ ）
A．－1 B．1 C．－2023 D．2023
【答案】B
【提示】先计算 ，然后根据相反数的定义即可求解．【详解】解：∵ ，
∴ 的相反数是1．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方法则，相反数的定义，掌握乘方法则是解题的关键．
题型十三：乘方的应用
1.在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，
在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【答案】B
【提示】根据题意以及图形提示，根据满七进一，即可求解．
【详解】解：绳结表示的数为
故选B
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解“满七进一”是解题的关键．
2.有一张厚度是0.1mm的纸，将它对折20次后，其厚度可表示为（ ）mm
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据有理数的乘方的定义，找出规律，即可得出答案．
【详解】解：对折1次厚度为： mm；
对折2次厚度为 mm；
对折3次厚度为 mm；
……
依次规律即可得到对折20次后，厚度为 mm，
故选：C【点睛】本题考查了乘方的意义，根据折纸的过程找出规律是解题的关键．
3.《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的
一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是 ．
MAC 地址 B0-A4-60-28-3B-3D
【答案】
【提示】根据题意依次每一天剩余木棍的长度，即可求得第4天截取后木棍剩余的长度．
【详解】解：第一天截取后剩： （米）；
第二天截取后剩： （米）；
第三天截取后剩： （米）；
第四天截取后剩： （米）；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键．
4.若 ，则 ．
MAC 地址 B0-A4-60-28-3B-3D
【答案】1，0，－2
【提示】根据 ， 的偶次方根为1，非零实数的0次幂等于1，即可求出答案.
【详解】解：∵ ，
又∵ ， 的偶次方根为1，非零实数的0次幂等于1，
当 时，则 ；
当 时，则 ；
当 时，则 ，
此时 为偶数，
∴ ；
∴m的值为：1，0，－2；
故答案为：1，0，－2.
【点睛】本题考查了乘方的运算，解题的关键是熟练掌握乘方等于1的式子.考点三：科学记数法与近似数
题型一：用科学记数法表示数
1.我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改
变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超 亿次．将数据 亿用科
学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： 亿 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
2.据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为
10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】将10870写成 的形式，其中 ，n为正整数．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握 中 ，n与小数点移动位数相同．
3.新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加
到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为 的形式，则 的值是
（备注：1亿＝100000000）．
【答案】9
【提示】将13.6亿= 写成 （ ，n为整数）的形式即可．
【详解】解：13.6亿= = ．故答案为9．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成 （ ，n为整数）的形式，确定a和n的
值是解答本题的关键．
4.我国古代数学家祖冲之推算出 的近似值为 ，它与 的误差小于0.0000003，将0.0000003用科学记
数法可以表示为 ．
【答案】
【提示】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法
不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000003用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
题型二：求一个数的近似数
1.用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
【答案】B
【提示】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可．
【详解】解：0.0158≈0.016．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键．
2.第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101 527 000用科学记数法（精确
到十万位）（ ）
A．1.02×108 B．0.102×109 C．1.015×108 D．0.1015×109
【答案】C
【提示】先用四舍五入法精确到十万位，再按科学记数法的形式和要求改写即可．
【详解】解：
故选：C
【点睛】本题考查了近似数和科学记数法的知识点，取近似数是本题的基础，熟知科学记数法的形式和
要求是解题的关键．3.用四舍五入法把某数取近似值为 ，精确度正确的是（ ）
A．精确到0.01 B．精确到0.1 C．精确到万分位 D．精确到千分位
【答案】D
【提示】将数还原后，原数最后一个数字2所在的位置即是该数精确的位置．
【详解】解： =0.052，
故选：D．
【点睛】此题考查数的精确度，正确将科学记数法表示的数还原是解题的关键．
考点四：实数比较大小
题型一：利用数轴法比较实数大小
1.实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【提示】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可．
【详解】解：由图可知， ，
故选：C．
【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键．
a、b
2.已知有理数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
a
A． ab B． b 1 C． a b D． ab
【答案】D
【分析】根据数轴的特征得到有理数a、b的大小关系，逐项判断即可得到答案．
a、b a0b a b
【详解】解：由有理数 在数轴上的对应点的位置可知 ，且 ，则
a0b ab
A、由 可知 错误，不符合题意；
a a
B、由 a0b 、 a b 得到 ab 且 b 0，可知 b 1错误，不符合题意；a b a b
C、由题意可知 ，可知 错误，不符合题意；
a0b a0、b0 a0b ab
D、由 得到 ，从而 ，即 正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴的特征及数大小的比较，熟练掌握数轴的特征是解决问题的关键．
题型二：利用类比法比较实数大小
1.在有理数 ， ，0，2中，最小的是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【提示】根据有理数大小比较的方法：正数 负数，负数绝对值大的反而小，进行比较即可．
【详解】解：根据题意可得： ，
∴最小的是 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数大小比较的方法：正数 负数，
负数绝对值大的反而小．
2.某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是 ， ， ， ，其中最低
气温是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据有理数的大小比较，即可作出判断．
【详解】解： ，
故温度最低的城市是哈尔滨，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．
3.四个实数 ，0，2， 中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【提示】根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴最大的数是2．故选：C
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
题型三：利用作差法比较实数大小
1.课堂上，老师提出了下面的问题：
已知 ， ， ，试比较 与 的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较 与 的大小．
小华：∵ ，
∴ ．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小： __________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）根据作差法求 的值即可得出答案；
（2）根据作差法求 的值即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解： ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
2.阅读理解下面内容，并解决问题.用求差法比较大小
学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求
它们的差来判断．如果两个数或式子为 和 ，那么
当 时，一定有 ；当 时，一定有 ；当 时，一定有 ．
反过来也正确，即
当 时，一定有 ；当 时，一定有 ；当 时，一定有 ．
因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大
小的方法被称为“求差法”．
例如：已知 ，比较 与 的大小．
解：
∵ ，∴ ， ， ，∴ ，∴ ．
“求差法”的实质是把两个数（或式子）的大小判断的问题，转化为一个数（或式子）与0的大小比较
的问题．一般步骤为①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．
请解决以下问题：(1)用“ ”或“ ”填空： ______ ．
(2)制作某产品有两种用料方案，方案 ：用 块 型钢板， 块 型钢板；方案 ：用 块 型钢板， 块
型钢板；已知 型钢板的面积比 型钢板的面积大，若 型钢板的面积为 ， 型钢板的面积为 ，则
从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由．
(3)已知 ，比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)应选方案 ，理由见解析
(3)当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【提示】（1）利用求差法进行大小比较即可；
（2）先表示方案 的面积，再表示方案 的面积，最后求差比较方案 和方案 的大小即可；
（3）利用求差法分情况讨论即可得到正确的结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵若 型钢板的面积为 ， 型钢板的面积为 ，∴方案 的面积为： ；方案 的面积为： ，
∴ ，
∵ 型钢板的面积比 型钢板的面积大，
∴ ，
∴ ，
∴方案 省料．
（3）解：∵ ，
∵ ，
∴①当 ，即 时， ，
∴ ，
∴②当 ，即 时， ，
∴ ，
∴③当 ，即 时， ，
∴ ，
综上可知：当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【点睛】本题考查了求差法比较实数的大小，整式的加减，读懂阅读材料是解题的关键．
题型四：利用作商法比较实数大小
1.作商比较法的理论依据是 ， ，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．请
用作商法比较 与 的大小．
【答案】
【提示】用 除以 ，结果与1比较大小即可．【详解】解： ， ，
，
．
【点睛】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则．
2.若a＞0，b＞0，且 ，则a＞b；若a＜0，b＜0，且 ，则a＜b．以上这种比较大小的方法，叫
做作商比较法．试利用作商比较法，比较 与 的大小．
【答案】
【详解】
因为 ， ， ，所以
题型五：利用平方法比较实数大小
1.比较大小： （填“>”“=”或“<”）
【答案】
【提示】一个无理数和一个整数比较大小，可以采取把两个数先分别平方，再来比较平方后的两个数的
大小，进而得到答案.
【详解】解：∵ ，22 = 4,
∴5＞4
∴ ＞4.
故填 ＞.
【点睛】本题主要考查了无理数比较大小的方法, 对比较大小的数同时进行平方运算后, 化为我们熟悉的
整数再比较大小.
2.比较大小： （填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】【提示】根据实数大小比较解答即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答．
3.比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”）
【答案】>
【提示】先利用平方法比较它们的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可
比较．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：>．
【点睛】本题考查实数的大小比较，掌握平方法是解题关键．
题型六：利用其它方法比较实数大小
1.已知 ，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】由 ， ，进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2.比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个）
【答案】＜【提示】利用平方法比较两数大小关系．
【详解】解：∵7＜9，
∴ ＜ ，
即 ＜3，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查实数比较大小．含有根号的实数在比较大小时，通常采用平方法进行比较 ．
640223198810290515
3.比较大小： （填“＞”，“＜”或“=”）
【答案】
【提示】根据无理数的大小估算得出 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，估算出 的大小是解题的关键．
4.比较大小： 1．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【提示】运用作差法进行比较大小即可．
【详解】解： ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，运用作差法是解题的关键．考点五：平方根、算术平方根、立方根
题型一：求一个数的算术平方根
1.9的算术平方根是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】由 ，可得9的算术平方根．
【详解】解：9的算术平方根是3，
故选C
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键．
2.面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵面积等于边长的平方，
∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根．
故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正
数x叫做a的算术平方根．
3.化简： ＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
题型二：利用算术平方根的非负性解题
1.若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得 的值进而求得 的算术平方根即可求解．【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得 的值是解
题的关键．
2.在 中， 的对边分别为a、b、c，且满足 ，则 的值
为 ．
【答案】 /
【分析】由 ，可得 ，求解 ，证
明 ，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理
的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明 是解本题的关键．
题型三：求一个数的平方根
1. 的平方根是 ．【答案】±2
【详解】解：∵
∴ 的平方根是±2．
故答案为±2．
2.64的算术平方根是 ， 的平方根是 ．
【答案】 8
【分析】根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
【详解】解： ，
的算术平方根是8，
， ，
的平方根是 ，
故答案为：8， ．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根
的方法是解决本题的关键．
题型四：已知一个数的平方根，求这个数
1.若正数 的两个平方根是 与 ，则 为（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】C
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解．
【详解】解：∵正数 的两个平方根是 与 ，
∴ ，
解得： ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
题型五：求一个数的立方根
1.﹣8的立方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在
【答案】C
【分析】根据立方根的定义进行解答．【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故选C．
【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义．
2.计算： ．
【答案】3
【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义
计算可得．
【详解】解： ∵33=27，
∴ ．
故答案为3．
【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键．
3. 的立方根是 ．
【答案】2
【分析】 的值为8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】解： ，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
4.一个正数a的两个平方根是 和 ，则 的立方根为 ．
【答案】2
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将 和 相加等于0，列出方程，解出b，再将b代
入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将 算出后，求立方根即可．
【详解】∵ 和 是正数a的平方根，
∴ ，
解得 ，将b代入 ，
∴正数 ，
∴ ，
∴ 的立方根为： ，
故填：2．
【点睛】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互
为相反数．
考点六：实数的运算
题型一：实数的简单运算
1.计算|−5|+20的结果是（ ）
A．−3 B．7 C．−4 D．6
【答案】D
【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：|−5|+20 =5+1=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂是解题的关
键．
2.计算(−7)−(−5)的结果是（ ）
A．−12 B．12 C．−2 D．2
【答案】C
【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】解：(−7)−(−5)=(−7)+5=−2；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键．
3.计算(−3)×2，正确的结果是（ ）
A．6 B．5 C．−5 D．−6
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：(−3)×2 =−6，
故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
4.计算：√4﹣1＝ ．
【答案】1
【分析】先计算算术平方根，然后计算减法．
【详解】解：原式=2-1=1．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数
x叫做a的算术平方根．
题型二：数的简便运算
1.请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（-15）；
4 1 3
（2）999×118 +999×（− ）-999×18 .
5 5 5
【答案】(1)-14985；(2)99900.
【分析】（1）根据题目中所给的规律，运用凑整法求解即可；
（2）根据题目中所给的规律，运用提同数法解决即可．
【详解】解：（1）999×（-15）
=（1000-1）×（-15）
=15-15000
=-14985;
4 1 3
（2）999×118 +999×（− ）-999×118
5 5 5
4 1 3
=999×[118 +（− ）-18 ]
5 5 5
=999×100
=99900．
2 1 1 1
2.嘉琪同学在计算4 −2 + +3 时，运算过程正确且比较简便的是（ ）
3 2 2 32 1 1 1 2 1 1 1
A．(4 +3 )−(2 + ) B．(4 −2 )+( +3 )
3 3 2 2 3 2 2 3
2 1 1 1 2 1 1 1
C．(4 +3 )−(2 − ) D．(4 −3 )−( −2 )
3 3 2 2 3 3 2 2
【答案】C
【分析】原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可．
2 1 1 1
【详解】解：嘉琪同学在计算4 −2 + +3 时，运算过程正确且比较简便的是
3 2 2 3
2 1 1 1
(4 +3 )−(2 − )．
3 3 2 2
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律与加法结合律是解本题的关键．
( 47)
3.在简便运算时，把24× −99 变形成最合适的形式是（ ）
48
( 1 ) ( 1 )
A．24× −100+ B．24× −100−
48 48
( 47) ( 47)
C．24× −99− D．24× −99+
48 48
【答案】A
【分析】根据乘法分配律即可求解．
( 47) ( 1 )
【详解】24× −99 =24× −100+ 计算起来最简便，
48 48
故选A．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的运用．
4.读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书
100
写不方便，为了简便起见，我们将其表示为∑❑n，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，计
n=1
2012
1
算∑❑ = ．
n(n+1)
n=12012
【答案】
2013
1 1 1
【分析】先根据求和公式列出算式，再依据 = − 裂项求和即可．
n(n+1) n n+1
1 1 1
【详解】解：∵ = − ，
n(n+1) n n+1
2012
1 ( 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 1 )
∴∑❑ = 1− + − + − +⋅⋅⋅+ −
n(n+1) 2 2 3 3 4 2012 2013
n=1
1
=1−
2013
2012
= ，
2013
2012
故答案为： ．
2013
【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式，并熟练掌握
1 1 1
= − ，是解题的关键．
n(n+1) n n+1
题型三：实数的混合运算
1.观察下列各式：
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，…
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
50 2600
【答案】50 /
51 51
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】S +S +⋯+S
1 2 50
1 1 1
=1+ +1+ +⋯+1+
1×2 2×3 50×51
1 1 1 1 1
=50+(1− + − +⋯+ − )
2 2 3 50 51
50
=50 ，
51
50
故答案为：50 ．
51
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．2.计算：
(1) −1
−√3tan30°+(π−2023) 0+|−2|．
2
【答案】4
【分析】先化简各式，再进行加减运算即可．
√3
【详解】解：原式=2−√3× +1+2
3
=2−1+1+2
=4．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，
是解题的关键．
3.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合
n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1) 5×4
数，用符号Cm 表示，Cm= （n≥m，n、m为正整数）；例如：C2=
，
n n m(m−1)⋅⋅⋅1 5 2×1
8×7×6
C3= ，则C4+C5=（
）
8 3×2×1 9 9
A．C6 B．C4 C．C5 D．C6
9 10 10 10
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)
【详解】解：∵Cm=
，
n m(m−1)⋅⋅⋅1
9×8×7×6 9×8×7×6×5
∴C4+C5= + =126+126=252，
9 9 4×3×2×1 5×4×3×2×1
9×8×7×6×5×4
A选项，C6= =84，
9 6×5×4×3×2×1
10×9×8×7
B选项，C4 = =210，
10 4×3×2×1
10×9×8×7×6
C选项，C5 = =252，
10 5×4×3×2×1
10×9×8×7×6×5
D选项，C6 = =210，
10 6×5×4×3×2×1
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求实数混合运算．正确理解新定义是解题的关键．4.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队
通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每
2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复
1 1
赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行 决赛， 决赛，最
8 4
后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名．
(1)本届世界杯分在C组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个C组分组积分赛对阵
表（不要求写对阵时间）．
(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
【答案】(1)C组分组积分赛对阵表见解答过程；
(2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
(3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可；
1 1
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场， 决赛， 决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案；
8 4
1 1
（3）分组积分赛48场， 决赛一共8场， 决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛
8 4
各1场，相加即可．
【详解】（1）C组分组积分赛对阵表：
阿根廷 沙特 墨西哥 波兰
阿根廷 阿根廷：沙特 阿根廷：墨西哥 阿根廷：波兰
沙特 沙特：阿根廷 沙特：墨西哥 沙特：波兰
墨西哥 墨西哥：阿根廷 墨西哥：沙特 墨西哥：波兰
波兰 波兰：阿根廷 波兰：沙特 波兰：墨西哥
1 1
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场， 决赛， 决赛，半决赛，决赛又踢了4场，
8 4
∴一共踢了3+4=7（场），
∴本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
（3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共8×6=48（场）；1 1
决赛一共8场， 决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场；
8 4
∴一共踢了48+8+4+2+1+1=64（场）；
∴本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则．
题型四：实数与数轴的综合运算
1.如图，数轴上从左到右依次有六个点A，B，C，D，E，F，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），
点B表示的数为−4，设这六个点表示的数之和为n．
(1)点F表示的数为__________（用含m的代数式表示）；
(2)已知点F表示的数是8，求n的值．
【答案】(1)﹣4+4m
(2)3
【分析】（1）根据相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为−4，即可得到答案；
（2）根据点B表示的数为−4，点F表示的数是8，求出m的值，分别得到点A，B，C，D，E，F分别
对应的数，求和即可得到n的值．
【详解】（1）解：∵相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为−4，
∴点F表示的数为﹣4+4m，
故答案为：﹣4+4m
（2）∵BF=8−(−4)=12，
4m=12，
解得m=3；
∴点A，B，C，D，E，F分别对应的数为：−7，−4，−1，2，5，8，
∴n=−7+(−4)+(−1)+2+5+8=3.
【点睛】本题考查了有理数的加减法、数轴，根据BF的长度求m的值是解题的关键．
2
2.如图，直径为 个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．
π
(1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是 ；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是 ；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：+2，−1，+3，−4，−3．
①当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？
②在滚动过程中，共经过 次数轴上2表示的点；第 次滚动后，点A距离原点最远．
【答案】(1)−2
(2)±4或0
(3)①−6；②4，3
【分析】（1）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点C对应的
B0
数；
（2）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点D对应的数；
（3）①利用滚动的方向即周数，结合数轴，算出最后A点位置；②根据（1）得出圆片沿数轴滚动1周，
点A在数轴上是2个单位，然后再根据圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的
周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：+2，−1，+3，−4，−3，分别得出滚动过程，即可得出答
案．
2
【详解】（1）解：∵π× =2，
π
∴把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是−2，
故答案为：−2；
2
（2）解：∵π× ×2=4，
π
①把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是±4，
②把圆片沿数轴向左滚动一周然后再向右滚动一周，或把圆片沿数轴向右滚动一周然后再左右滚动一周，
点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是0，
故答案为：±4或0；
（3）解：①+2−1+3−4−3=−3，即向左滚动了3周，
2
∵π× ×3=6，
π
∴圆片结束滚动时，点A对应的数是−6；
②∵第1次：从0滚动到了4，经过数轴上2表示的点；
第2次：从4滚动到了2，经过数轴上2表示的点；
第3次：从2滚动到了8，经过数轴上2表示的点；
第4次：从8滚动到了0，经过数轴上2表示的点；
第5次：从0滚动到了−6，不经过数轴上2表示的点；
∴共有4次经过数轴上2表示的点，第3次滚动后，点A距离原点最远．
故答案为：4，3．【点睛】本题考查了有理数的混合运算、圆的周长公式、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
3.如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点A,B,C，其中AB=2,BC=1，设点A,B,C所对应数
的和是p．
(1)若以B为原点，写出点A,C所对应的数，并求出p的值；
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p的值．
【答案】(1)点C表示1，点A表示−2，−1
(2)−88
【分析】（1）以B为原点，先分别求出A，B，C三点对应的数即可解决问题；
（2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，分别求出A，B，C三对应的数即可．
【详解】（1）解：∵ B是原点，AB=2,BC=1，
∴点C表示1，点A表示−2，
∴p=−2+0+1=−1；
（2）解：∵原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，
3D
∴点C表示−28，点B表示−29，点A表示−31，
∴p=−28+(−29)+(−31)=−88．
【点睛】本题考查数轴，有理数的加法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
4.已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10，B点对应的数为90．
(1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ___________；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A
点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是
___________；
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发，以8个单位/秒的速度向左运动，当P点到达A点时，立即返回向右运动，
到达B点停止．同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动到达B点停止，直
接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？
【答案】(1)40；(2)30；
1
(3)9秒或11秒或15秒或18 秒．
3
【分析】（1）先求-10与90和的一半，进一步可得M点对应的数；
（2）先求出AB的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相
遇时点Q移动的距离，进而可得出C点对应的数；
（3）分为2只电子蚂蚁相遇前相距10个单位长度和相遇后相距10个单位长度；追上前相距10个单位长
度和追上后相距10个单位长度，依此列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵AM=[90-(-10)]÷2=50，
∴点M表示的数为-10+50=40．
故答案为：40；
（2）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10，B点对应的数为90，
∴AB=90+10=100，
设t秒后P、Q相遇，
∴3t+2t=100，解得t=20；
∴此时点Q走过的路程=2×20=40，
∴此时C点表示的数为-10+40=30．
答：C点对应的数是30．
故答案为：30；
3D
（3）相遇前：(100-10)÷(2+8)=9（秒)，
相遇后：(10+100)÷(2+3)=11（秒)，
追上前：100÷8+(100÷8×2-10)÷(8-2)=15（秒)，
1
追上后：100÷8+(100÷8×2+10)÷(8-2)=18 （秒)．
3
1
故经过9秒或11秒或15秒或18 秒长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度．
3
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系以及数轴直观性是解决问题的关
键．
