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专题 01 实数
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：实数的分类 .....................................................................................................................................3
280171479
考点二：实数的相关概念................................................................................................................................3
考点三：实数的大小比较................................................................................................................................4
考点四：实数的运算........................................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：实数的分类........................................................................................................................................4
题型一：实数的分类................................................................4
题型二：无理数估值................................................................5
题型三：相反意义的量..............................................................5
考点二：实数的相关概念................................................................................................................................5
题型一：用数轴上的点表示数........................................................5
题型二：求数轴上两点之间的距离....................................................6
题型三：根据点在数轴上的位置判断式子正负..........................................6
题型四：数轴上的动点问题..........................................................7
题型五：求一个数的相反数..........................................................8
题型六：多重符号化简..............................................................9
题型七：相反数的应用..............................................................9
题型八：求一个数的绝对值..........................................................9
题型九：化简绝对值................................................................9
题型十：绝对值非负性的应用.......................................................10
题型十一：利用几何意义化简绝对值.................................................11
题型十二：乘方运算...............................................................12
题型十三：乘方的应用.............................................................12
考点三：科学记数法与近似数......................................................................................................................13
题型一：用科学记数法表示数.......................................................13
题型二：求一个数的近似数.........................................................13
考点四：实数比较大小..................................................................................................................................13
题型一：利用数轴法比较实数大小...................................................13
题型二：利用类比法比较实数大小...................................................14
题型三：利用作差法比较实数大小...................................................14
题型四：利用作商法比较实数大小...................................................15
题型五：利用平方法比较实数大小...................................................15
题型六：利用其它方法比较实数大小.................................................16
考点五：平方根、算术平方根、立方根......................................................................................................16
题型一：求一个数的算术平方根.....................................................16
题型二：利用算术平方根的非负性解题...............................................16
题型三：求一个数的平方根.........................................................16
题型四：已知一个数的平方根，求这个数.............................................16
题型五：求一个数的立方根.........................................................16
考点六：实数的运算......................................................................................................................................17
题型一：实数的简单运算...........................................................17
题型二：数的简便运算.............................................................17题型三：实数的混合运算...........................................................18
题型四：实数与数轴的综合运算.....................................................19专题 01 实数
模块一：基础知识
考点一 ： 实数的分类
1.按定义 2.按大小
正有理数
有限小数或
有理数 0 无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
考点二 ：实数的相关概念
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大
于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，
写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数
点前面的零）.
6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入
到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为 ，a的算术平方根表示为 .
（4）
8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为 .（3） .
考点三 ：实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
（2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（3）差值比较法： a-b＞0 a＞b;a-b=0 a=b;a-b＜0 a＜b
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⇔ ⇔ ⇔
（4）平方比较法：
a2
a＞√b⇒ ＞b(b＞0）
考点四 ：实数的运算
1.数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
2．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法
交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
3．零次幂;a≠0，则a0=1
4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则 .
5.-1的奇偶次幂： ；
模块二：题型分类
考点一：实数的分类
题型一：实数的分类
1.下列各数中，为有理数的是（ ）
280171479
87418458
π
A．√38 B．3.232232223???C． D．√2
3
2.下列数中，属于负数的是（ ）
280171479
87418458
1
A．2023 B．−2023 C． D．0
2023
1
3.在−2, ,√3,2中，是无理数的是（）
2 87418458
1
A．−2 B． C．√3 D．2
24.在实数√2，x0（x≠0），cos30°，√38中，有理数的个数是（ ）
87418458
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.下列各数中，正整数是（ ）
87418458
A．3 B．2.1 C．0 D．−2
题型二：无理数估值
1.下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．280171479
A． B． C． D．
2.下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
87418458
A． B． C． D．
3.估计 的值应在 （）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之
4.若 为两个连续整数，且 ，则 ．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 1372336 87418458
题型三：相反意义的量
1.负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支
出5元记作（ ）
A．−5元 B．0元 C．+5元 D．+10元
2.我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮
库把运进30吨粮食记为“+30”，则“−30”表示（ ）
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A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
3.月球表面的白天平均温度零上 ，记作+126°，夜间平均温度零下 ，应记作（ ）
A．+150° B． C．+276° D．
考点二：实数的相关概念
题型一：用数轴上的点表示数
1.如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．22.如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
1 1
A．2023 B．−2023 C． D．−
2023 2023
3.如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
4.如图，数轴上表示实数√7的点可能是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点S
题型二：求数轴上两点之间的距离
1.一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位到了相反数B点所在的位置，则点A所表示的是（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．4或﹣4
2.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若AB=6，则点A表示的数为（ ）
A．−3 B．0 C．3 D．−6
3.如图，点A，B，C在数轴上，点A表示数是−1，点B是AC中点，线段AB=√2，则点C表示的数是
13723366289 13723366289
．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 1372336
题型三：根据点在数轴上的位置判断式子正负
1.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．−c−c C．|a−b|=b−a D．|c−a|=a−c
2.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c(b−a)<0 B．b(c−a)<0 C．a(b−c)>0 D．a(c+b)>03.（多选）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
|a|
A． >1 B．−a0 D．−ab>0
b
4.如图，数轴上的点 分别对应实数 ，则a+b 0.(用“>”“<”或“=”填空)
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 1372336 87418458
题型四：数轴上的动点问题
1.如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点 A，则点 A 表示的数
是（ ）．
A．3 B．4 C．π D．2π
2.正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A,D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕
着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
3.如图，数轴上点M对应的数为−10，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形ABCD的边AD在数轴上．
矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个
单位长度的速度，从点A出发沿折线 绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各
自终点．已知AB=10，BC=30，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为
点Р对应的数．
(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不
必写范围）．(2)若a=60，当 ，即点Р在BC边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表
示）
(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则a= ．
4.如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行
移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正
方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示
b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若AB=3，求x的值．
5.如图，在数轴上，点P、A、B表示的数分别是﹣6、﹣3、2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向
右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点P、B运动的时间为t秒时，点P、B
分别位于数轴上P'、B'处．
(1)当t＝ 时，AB＝8．
(2)当P'A＝3P'B时，求t的值．
题型五：求一个数的相反数
1.2023的相反数是（ ）
1 1
A． B．−2023 C．2023 D．−
2023 2023
2.如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（ ）
1 1
A．9 B．− C． D．−9
9 9
3.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（ ）A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5题型六：多重符号化简
1.−(−2023)=（ ）
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1 1
A．−2023 B．2023 C．− D．
2023 2023
2.下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．−(+5)和−5 B．+(−5)和−5
C．+(−8)和−(+8) D．+(−8)和−(−8)
题型七：相反数的应用
(3 6)
1.能与− − 相加得0的是（ ）
4 5
3 6 6 3
A．− − B． +
4 5 5 4
6 3 3 6
C．− + D．− +
5 4 4 587418458
2.若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（ ）
1
A．2 B．﹣2 C．0 D．
2
3.若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b−4c的值为（ ）
A．−8 B．−5 C．−1 D．16
4.若m+1与−2互为相反数，则m的值为 .
题型八：求一个数的绝对值
1.计算： ．
2.下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③ 的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
3.下列计算结果为5的是（ ）
A． B． C． D．
4. 的运算结果等于（ ）
A．3 B． C． D．
题型九：化简绝对值
1.实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是（ ）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
2.已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3.有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4.已知有理数 ， ， 满足 ，且 ，则 ．
5.设a，b，c为有理数，则由 构成的各种数值是 ．
题型十：绝对值非负性的应用
1.已知a，b都是实数，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
2. 的三边长a，b，c满足 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
3.若实数m，n满足 ，则 ．
4.如图，在数轴上 点表示数 ， 点表示数 ，且 ．
(1) ______， ______；
(2)点 、点 开始在数轴上运动，若点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒2个单位
长度的速度向右运动．求 秒后点 、点 之间的距离（用含 的代数式表示）．5.先化简，再求值： ，其中 ．题型十一：利用几何意义化简绝对值
1.阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离；即 ；这个结论可以推广为
表示在数轴上数 ， 对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程 ．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的 ±4；
例2：解方程 ．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的 的值．在数轴
上，-1和2的距离为3，满足方程的 对应的点在2的右边或在-1的左边．若 对应的
点在2的右边，如图可以看出 ；同理，若 对应点在-1的左边，可得 ．所以原方程的解是
或 ．
例3：解不等式 ．
在数轴上找出 的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的
值就满足 ，所以 的解为 或 ．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程 的解为 ；
（2）方程 的解为 ；
（3）若 ，求 的取值范围．2.我们知道， 的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的， 的几何意义就是：
数轴上数 对应点之间的距离；比如：2和5两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们
的距离是3
（1）数轴上1和 两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是_______
（2）数轴上表示x和 的两点A、B之间的距离可以表示为AB= ；如果AB=2，结合几何意义，那么x的
值为 ；
（3）代数式 表示的几何意义是 ，该代数式的最小值是
题型十二：乘方运算
1.以下式子和 的值相同的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各对数中，相等的一对数是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
3.若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（ ）
A．45369 B．45371 C．45465 D．46489
4. 的相反数是（ ）
A．－1 B．1 C．－2023 D．2023
题型十三：乘方的应用
1.在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，
在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天2.有一张厚度是0.1mm的纸，将它对折20次后，其厚度可表示为（ ）mm
A． B． C． D．
3.《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的
一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是 ．
4.若 ，则 ．
考点三：科学记数法与近似数
题型一：用科学记数法表示数
1.我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改
变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超 亿次．将数据 亿用科
学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2.据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为
10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加
到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为 的形式，则 的值是
（备注：1亿＝100000000）．
4.我国古代数学家祖冲之推算出 的近似值为 ，它与 的误差小于0.0000003，将0.0000003用科学记
数法可以表示为 ．
题型二：求一个数的近似数
1.用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
2.第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101 527 000用科学记数法（精确
到十万位）（ ）
A．1.02×108 B．0.102×109 C．1.015×108 D．0.1015×109
3.用四舍五入法把某数取近似值为 ，精确度正确的是（ ）
A．精确到0.01 B．精确到0.1 C．精确到万分位 D．精确到千分位考点四：实数比较大小
题型一：利用数轴法比较实数大小
1.实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
a、b
2.已知有理数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
a
A． ab B． b 1 C． a b D． ab
题型二：利用类比法比较实数大小
1.在有理数 ， ，0，2中，最小的是（ ）
A． B． C．0 D．2
2.某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是 ， ， ， ，其中最低
气温是（ ）
A． B． C． D．
3.四个实数 ，0，2， 中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
题型三：利用作差法比较实数大小
1.课堂上，老师提出了下面的问题：
已知 ， ， ，试比较 与 的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较 与 的大小．
小华：∵ ，
∴ ．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小： __________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
2.阅读理解下面内容，并解决问题.
用求差法比较大小
学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求
它们的差来判断．如果两个数或式子为 和 ，那么
当 时，一定有 ；当 时，一定有 ；当 时，一定有 ．
反过来也正确，即
当 时，一定有 ；当 时，一定有 ；当 时，一定有 ．
因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大
小的方法被称为“求差法”．
例如：已知 ，比较 与 的大小．
解：
∵ ，∴ ， ， ，∴ ，∴ ．
“求差法”的实质是把两个数（或式子）的大小判断的问题，转化为一个数（或式子）与0的大小比较
的问题．一般步骤为①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．
请解决以下问题：(1)用“ ”或“ ”填空： ______ ．
(2)制作某产品有两种用料方案，方案 ：用 块 型钢板， 块 型钢板；方案 ：用 块 型钢板， 块
型钢板；已知 型钢板的面积比 型钢板的面积大，若 型钢板的面积为 ， 型钢板的面积为 ，则
从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由．
(3)已知 ，比较 与 的大小．
题型四：利用作商法比较实数大小
1.作商比较法的理论依据是 ， ，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．请
用作商法比较 与 的大小．
2.若a＞0，b＞0，且 ，则a＞b；若a＜0，b＜0，且 ，则a＜b．以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法．试利用作商比较法，比较 与 的大小．
题型五：利用平方法比较实数大小
1.比较大小： （填“>”“=”或“<”）
2.比较大小： （填“ ”，“ ”或“ ”）．
3.比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”）
题型六：利用其它方法比较实数大小
1.已知 ，则a、b、c的大小关系是( )280171479
A． B． C． D．
2.比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个）
3.比较大小： （填“＞”，“＜”或“=”）
4.比较大小： 1．（填“ ”“ ”或“ ”）280171479
考点五：平方根、算术平方根、立方根
题型一：求一个数的算术平方根
1.9的算术平方根是（ ）
A． B． C．3 D．
2.面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根
3.化简： ＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
题型二：利用算术平方根的非负性解题
1.若 ，则 ．
2.在 中， 的对边分别为a、b、c，且满足 ，则 的值
为 ．
题型三：求一个数的平方根
1. 的平方根是 ．2.64的算术平方根是 ， 的平方根是 ．
题型四：已知一个数的平方根，求这个数
1.若正数 的两个平方根是 与 ，则 为（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
题型五：求一个数的立方根
1.﹣8的立方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在
2.计算： ．
3. 的立方根是 ．
4.一个正数a的两个平方根是 和 ，则 的立方根为 ．
考点六：实数的运算
题型一：实数的简单运算
1.计算|−5|+20的结果是（ ）
A．−3 B．7 C．−4 D．6
2.计算(−7)−(−5)的结果是（ ）
A．−12 B．12 C．−2 D．2
3.计算(−3)×2，正确的结果是（ ）
A．6 B．5 C．−5 D．−6
4.计算：√4﹣1＝ ．
题型二：数的简便运算
1.请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（-15）；
4 1 3
（2）999×118 +999×（− ）-999×18 .
5 5 52 1 1 1
2.嘉琪同学在计算4 −2 + +3 时，运算过程正确且比较简便的是（ ）
3 2 2 3
2 1 1 1 2 1 1 1
A．(4 +3 )−(2 + ) B．(4 −2 )+( +3 )
3 3 2 2 3 2 2 3
2 1 1 1 2 1 1 1
C．(4 +3 )−(2 − ) D．(4 −3 )−( −2 )
3 3 2 2 3 3 2 2
( 47)
3.在简便运算时，把24× −99 变形成最合适的形式是（ ）
48
( 1 ) ( 1 )
A．24× −100+ B．24× −100−
48 48
( 47) ( 47)
C．24× −99− D．24× −99+
48 48
4.读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书
100
写不方便，为了简便起见，我们将其表示为∑❑n，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，计
n=1
2012
1
算∑❑ = ．
n(n+1)
n=1
题型三：实数的混合运算
1.观察下列各式：
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，…
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
2.计算：
(1) −1
−√3tan30°+(π−2023) 0+|−2|．
2
3.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合
n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1) 5×4
数，用符号Cm 表示，Cm= （n≥m，n、m为正整数）；例如：C2=
，
n n m(m−1)⋅⋅⋅1 5 2×18×7×6
C3= ，则C4+C5=（
）
8 3×2×1 9 9
A．C6 B．C4 C．C5 D．C6
9 10 10 10
4.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队
通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每
2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复
1 1
赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行 决赛， 决赛，最
8 4
后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名．
(1)本届世界杯分在C组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个C组分组积分赛对阵
表（不要求写对阵时间）．
(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
题型四：实数与数轴的综合运算
1.如图，数轴上从左到右依次有六个点A，B，C，D，E，F，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），
点B表示的数为−4，设这六个点表示的数之和为n．
(1)点F表示的数为__________（用含m的代数式表示）；
(2)已知点F表示的数是8，求n的值．
2
2.如图，直径为 个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．
π
(1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是 ；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是 ；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：+2，−1，+3，−4，−3．
①当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？
②在滚动过程中，共经过 次数轴上2表示的点；第 次滚动后，点A距离原点最远．
3.如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点A,B,C，其中AB=2,BC=1，设点A,B,C所对应数
的和是p．
(1)若以B为原点，写出点A,C所对应的数，并求出p的值；
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p的值．
4.已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10，B点对应的数为90．
(1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ___________；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A
点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是
_______；
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发，以8个单位/秒的速度向左运动，当P点到达A点时，立即返回向右运动，
到达B点停止．同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动到达B点停止，直
接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？
