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第五章 四边形
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题
2．如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之
中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=（ ）
A．45° B．60° C．110° D．135°
3．如图，在 ▱ABCD中，一定正确的是（ ）
A．AD=CD B．AC=BD C．AB=CD D．CD=BC
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的
周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
5．下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
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C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
6．【创新题】如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的
值为（ ）
A．−1 B．−2 C．−3 D．−4
【几何模型】梯子模型
7．如图，已知∠MON=90°，线段AB长为6，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形
ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．则OC的最大值为（ ）
A．6+3√5 B．8 C．3+3√5 D．9
【几何模型】半角模型
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若
∠BAE=α，则∠FEC一定等于（ ）
A．2α B．90°−2α C．45°−α D．90°−α
9．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO
交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
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A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
10．如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的
动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是（ ）
1
①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是√3；③当MN最小时S = S ；④当OM⊥BC时，
△CMN 8 菱形ABCD
OA2=DN⋅AB.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【原创题】一个多边形的内角和与外角和之和为900°，则这个多边形的边数为 .
12．数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得
AC,BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 m．
13．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分
的面积为 ．
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【几何模型】十字架模型
14．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，连接EF
交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE=5，CN=8，则线段AN的
长为
15．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值
AP
时， 的值是 ．
PC
【几何模型】对角互补模型
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,S =10，则BE
四 边 形ABCD
的长为
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三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．
（1）
对角线条数分别为 、 、 、 ．
（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．
（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．
18．学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，
那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线
段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．
求证：OE=OF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB．
∴∠ECO= ① ．
∵EF垂直平分AC，
∴ ② ．
又∠EOC=___________③ ．
∴ΔCOE≅ΔAOF(ASA)．
∴OE=OF．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有
此特征．请你依照题意完成下面命题：
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过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
19．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．
【几何模型】中点四边形模型
20．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形
EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分
别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．
（不必证明）
【几何模型】折叠模型
21．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
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(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说
明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
22．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作∠ABC的角平分线；
(2)在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
23．如图，平行四边形ABCD中，AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4，点E为BC边上的动点（不与
B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
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(1)求证：△ABM∽△EBF；
(2)当点E为BC的中点时，求DE的长；
(3)设BE=x,△≝¿的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多
少？
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的一边 在 轴正半轴上，顶点 的坐标为 ，点
OABC OC x A (2,2√3) D
是边OC上的动点，过点D作DE ⊥ OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF．设
OD=x,△≝¿的面积为S．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
25．【原创题】如图，在直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C(0,3)，对称轴为直线x=−1，顶点为点D．
(1)求二次函数的表达式；
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(2)连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC=∠BCO；
(3)如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y=−x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平
移到点D 且CD =2CD，得到新抛物线y ，y 交y轴于点N．如果在y 的对称轴和y 上分别取点P，Q，
1 1 1 1 1 1
使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
9
