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备战2024年中考数学模拟卷01（全国专用）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中选一个正确
的答案）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．|﹣2|
2．“约会哈尔滨冰雪暖世界”哈尔滨冰雪季系列主题活动开展的如火如荼．“冰雪大世
界”由10万吨冰打造而成，占地面积81.67万平方米，建设规模创历史之最．其中10
万用科学记数法表示为（ ）
A．10×105 B．1×104 C．0.1×105 D．1×105
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．（﹣3a）2＝6a2
C．a2•a3＝a5 D．a9÷a3＝a3
4．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字 1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上
洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是3的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 四条边的中点，则四边形 EFGH 一定是
（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
6．对于抛物线y＝﹣ +3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）
D．开口向下，顶点坐标（5，3）
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7．如图，AB是 O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则OE为（ ）
⊙
A．2 B．3 C．4 D．3.5
8．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十
四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为
864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x
步，则所列的方程正确的是（ ）
A．x+（x﹣12）＝864 B．x+（x+12）＝864
C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864
9．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC
上，若AB＝2，AC′＝5，则B′C的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．抛物线y＝﹣x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解
析式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2
C．y＝﹣（x+2）2 D．y＝﹣（x﹣2）2+2
11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数 y＝ax+b和反比例函数 在同
一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
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12．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P
两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长
为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．因式分解：2m2﹣m＝ ．
15．若x ，x 是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x +x 的值为 ．
1 2 1 2
16．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示
占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85
分，现场展示90分，则他的综合成绩是 分．
17．用半径为24cm，面积为120 cm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底
面圆的半径为 cm．
π
18．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、
EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为
．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算： ．
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20．（6分）先化简，再求值：（ +1）÷ ，然后从1，2，3，4中选择一个合
适的数代入求值．
21．（8分）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
22．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为
了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅
读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅
读总时间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D
（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中a的值为 ，圆心角 的度数为 ；
（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
β
（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取 2名同
学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
23．（8分）如图，已知AB为 O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，
⊙
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交 O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是 O的切线；
⊙
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
⊙
24．（10分）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射
升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学
们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A
款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购
买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m
元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
25．（10分）李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜ ＜180°）
得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC与点F．
θ
【猜想证明】
（1）当 ＝90°时，四边形ABFE的形状为 ；（直接写出答案）
（2）如图2，当 ＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积；
θ
【能力提升】
θ
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在 ，使点F，E，D三点共线．若存在，请求
出此时BF的长度；若不存在，请说明理由．
θ
26．（10分）我们将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，b≠0且a≠b）与抛物线y＝bx2+cx+a称
之为“轮换抛物线”．例如：抛物线y＝3x2+4x+5与抛物线y＝4x2+5x+3就是一组轮换
抛物线．已知抛物线C ：y＝ax2+bx+4a﹣3，其轮换抛物线记作C ．
1 2
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（1）若C 与C 交于y轴上的同一点M，求a的值；
1 2
（2）在（1）的条件下且b＜0，抛物线C 与其轮换抛物线C 的另一个交点记作N点，
1 2
若将点M绕点N顺时针旋转90°后，M的对应点P恰好落在抛物线C 的图象上，求出此
1
时b的值；
（3）小明同学阅读了《苏科版（数学）》课本九年级下册18﹣19页《数学实验室》介
绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线 C ：y＝ax2+bx+4a﹣3及
1
其轮换抛物线C 的图象，C 与C 与y轴的交点分别记作P、Q（P、Q两点不重合）．
2 1 2
小明发现，不论a、b为何值时，两抛物线始终有一交点G点在与x轴垂直的某一固定
直线上运动．若PG＝QG，记S＝ab，求S的最大值．
6
