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重难点突破 11 四边形压轴综合（17 种题型）
目 录
题型01 利用特殊四边的性质与判定解决多结论问题
题型02 利用特殊四边的性质与判定解决新定义问题
题型03 利用特殊四边的性质与判定解决规律探究
题型04 根据图象运动判断函数关系
题型05 四边形中的动点问题
题型06 四边形折叠与旋转中的角度问题
题型07 四边形折叠与旋转中的线段长度问题
题型08 四边形折叠与旋转中的坐标问题
题型09 四边形折叠与旋转中的周长和面积问题
题型10 四边形折叠与旋转中的最值问题
题型11 四边形中的线段最值问题
题型12 探究四边形中线段存在的数量关系
题型13 探究四边形中线段存在的位置关系
题型14 探究四边形与反比例函数综合运用
题型15 探究四边形与二次函数综合运用
题型16 探究四边形与三角形综合运用
题型17 探究四边形与圆综合运用
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题型 01 利用特殊四边的性质与判定解决多结论问题
1．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，
点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的
是（ ）
1
①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是√3；③当MN最小时S = S ；④当OM⊥BC时，
△CMN 8 菱形ABCD
OA2=DN⋅AB.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．（2020·内蒙古·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，按以下步骤作图：（1）
1
分别以点A,B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点（点M在AB的上方）；
2
（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；（3）用圆规在射线OM上截取OE=OD．连接
AD,AE,BE，过点O作OF⊥AC，垂足为F，交AD于点G．下列结论：①CD=2GF；②
BD2−CD2=AC2；③S =2S ；④若AC=6,OF+OA=9，则四边形ADBE的周长为25．其中
△BOE △AOG
正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过
点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接
EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，
96
S = ；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
△MPE 25
4．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB,BC上的两个动点，
且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，连接DE,DF分别与对角线AC交于点M，N．给出如下几个
结论：①若AE=2,CF=3，则EF=4；②∠EFN+∠EMN=180°；③若AM=2,CN=3，则MN=4；
MN
④若 =2,BE=3，则EF=4．其中正确结论的序号为 ．
AM
k
5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，点A在双曲线y= (k>0,x>0)上，点B在直线
x
y=mx−2b(m>0,b>0)上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有
√3
以下结论：①A(b,√3b) ②当b=2时，k=4√3③m= ④S =2b2 则所有正确结论的序
3 四边形AOCB
号是 ．
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6．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上
的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保
持∠EBF=45°，连接EF，PF，PD．以下结论：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；
④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为2√2−2．
其中所有正确结论的序号是 ．
题型 02 利用特殊四边的性质与判定解决新定义问题
7．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互
异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，则互异二次函数y=(x−m) 2−m与正方
形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
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5−√17 5+√17
A．4，-1 B． ，-1 C．4，0 D． ，-1
2 2
8．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践
√22n+1−1
定义：将宽与长的比值为 （n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．
2n
（1）概念理解：
当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长
(CD)的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边
AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长
与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
9．（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为
邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
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(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为
邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符
合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作
BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．
10．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，P(a,b)是第一象限内一点，给出如下定义：
a b
k = 和k = 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
1 b 2 a
(1)求点P(6,2)的“倾斜系数”k的值；
(2)①若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2，且a+b=3，求OP的长；
(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y=x运动，P(a,b)是正方形ABCD上任意一点，且点P的
“倾斜系数”k<√3，请直接写出a的取值范围．
11．（2020·湖南益阳·统考中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹
角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下
列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将ΔBCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对
应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD
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的距离为BE．
①求BE的长．
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值．
题型 03 利用特殊四边的性质与判定解决规律探究
12．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，
再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）
A．（2√2）5 B．（2√2）6 C．（√2）5 D．（√2）6
13．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点
O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OA B C D E ，当n=2022时，正六边形OA B C D E 的顶点
n n n n n n n n n n
D 的坐标是（ ）
n
A．(−√3,−3) B．(−3,−√3) C．(3,−√3) D．(−√3,3)
14．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，A 为射线ON上一点，B 为射线OM上一点，
1 1
∠B A O=60°,OA =3,B A =1．以B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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∠B A D =60°,C D 与射线OM交于点B ，得△C B B ；延长B D 交射线ON于点A ，以B A 为边
1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2
在其右侧作菱形A B C D ，且∠B A D =60°,C D 与射线OM交于点B ，得△C B B ；延长B D
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2
交射线ON于点A ，以B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且∠B A D =60°,C D 与射线OM交
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
于点B ，得△C B B ；…，按此规律进行下去，则△C B B 的面积 ．
4 3 3 4 2022 2022 2023
题型 04 根据图象运动判断函数关系
15．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴
上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D(2,√3)，P(−1,−1)．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点
A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，
△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AB=4，
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BC=4√3，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒√3个单位长度的速度平移，当直线MN与
CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC,BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正
方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大
致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB
上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点
M、作PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则
函数图象最低点E的坐标为（ ）
( 24) (32 24) (32 )
A．(5，5) B． 6, C． , D． ,5
5 5 5 5
18．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边
AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点
B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，
连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
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A． B． C． D．
19．（2021·湖南郴州·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°．点P从点A出发，
沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列
图象能反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
题型 05 四边形中的动点问题
20．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形ABCD中（顶点A,B,C,D按逆时针方向排列），
4
AB=12,AD=10,∠B为锐角，且sinB= ．
5
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(1)如图1，求AB边上的高CH的长．
(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C',D'．
①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．
②当△AC'D'是直角三角形时，求BP的长．
21．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且
BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，
EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（
t>0）
(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；
(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；
(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称
四边形时，直接写出t的取值范围．
22．（2023·山东济南·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=2，AD=2√3，点E在边BC上，将射线AE
绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
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DG
(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和 的值；
BE
(2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
(3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
23．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的
中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．
(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB'C'C的面积；
(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．
24．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，
顶点A的坐标为(2,2√3)，点D是边OC上的动点，过点D作DE ⊥ OB交边OA于点E，作DF∥OB交边
BC于点F，连接EF．设OD=x,△≝¿的面积为S．
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(1)求S关于x的函数解析式；
(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
25．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重
合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；
(2)延长FA，交射线BE于点G；
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若AB=√3+√6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
26．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点O是对角线AC的中点，动点
P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折
线BC−CD向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA−AB于点N，
连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（090°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如
下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进
一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC
的长．
31．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋
转角为α，点F在直线DE上，且AD=AF，连接BF．
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(1)如图1，当0°<α<90°时，
①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．
②求证：EF=√2BF．
(2)如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB=2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°<α<360°
）△ADG面积的最大值．
题型 07 四边形折叠与旋转中的线段长度问题
32．（2023·江苏扬州·统考中考真题）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角
板分别记作△ADB和△A'D'C,∠ADB=∠A'D'C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A'D'C的边AD、A'D'重合，再将△A'D'C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角
为α(0°≤α≤360°)，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
(1)当α=60°时，BC=________；当BC=2√2时，α=________°；
(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取BC的中点F，将△A'D'C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
33．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图1，在 ▱ABCD纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点
E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将 ▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对
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应点分别为C'、D'，射线C'E与射线AD交于点F．
(1)求证：AF=EF；
(2)如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______ ；
(3)如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C'D'于点N，连接AN、EN，求
△ANE的面积．
34．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，
连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
(1)求线段AE的长；
(2)求证四边形DGFC为菱形；
(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，
是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
35．（2021·吉林长春·统考中考真题）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD
的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为
AF，则∠EAF= 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，
点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF= 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证△ANP≌△FNE：．
（2）若AB=√3，则线段AP的长为 ．
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36．（2020·广西贵港·中考真题）已知：在矩形ABCD中，AB=6，AD=2√3，P是BC边上的一个动点，
将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．
（1）如图1，当点P与点C重合时，则线段EB=_______________，EF=_____________；
（2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连
接PF，ME，MA．
①求证：四边形MEPF是平行四边形：
1
②当tan∠MAD= 时，求四边形MEPF的面积．
3
37．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形
纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中
∠ACB=∠≝=90°,∠A=∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为
点B）．当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
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(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新
的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点
M,BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若
BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．
38．（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点
1
B,C为圆心，以大于 BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；
2
②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．
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【问题提出】
在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．
请你任选其中一种方案求线段CQ的长．
题型 08 四边形折叠与旋转中的坐标问题
39．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=−ax2+5ax+2(a>0)交y轴
于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
(1)求点C，D的坐标；
1
(2)当a= 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线
3
上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；
(1 )
(3)坐标平面内有两点E ,a+1 ,F(5,a+1)，以线段EF为边向上作正方形EFGH．
a
①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
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5
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 时，求a的值．
2
40．（2022·天津·统考中考真题）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点
A(3,0)，点C(0,6)，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点
P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ=30°，点O的对应点O'落在第一象限．设OQ=t．
(1)如图①，当t=1时，求∠O'QA的大小和点O'的坐标；
(2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，O'Q,O'P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示
O'E的长，并直接写出t的取值范围；
(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）．
题型 09 四边形折叠与旋转中的周长和面积问题
41．（2019·湖南岳阳·统考中考真题）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，
将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与
E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边
形PMQN.
(1)如图1，求证：BE＝BF；
(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；
(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.
①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并
证明；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.
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(不要求写证明过程)
42．（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是
BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交
AB,AC,BC于点E，G，F，H．
猜想证明：
(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．
问题解决；
(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交
AB,BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
43．（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，
在 ▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并
加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 ▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图
②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 ▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使
A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此
▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=2√5，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此
问题，直接写出结果．
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44．（2023·山东淄博·统考中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探
究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．
试判断：△ACF的形状为________．
(2)深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．
求线段DH长度的最大值和最小值．
题型 10 四边形折叠与旋转中的最值问题
45．（2023·辽宁·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕
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点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=3√2时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
46．（2023·陕西西安·校考三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴，x
轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=6，BC=2．
(1)取AB的中点E，连接OE，DE，求OE+DE的值．
(2)如图2，若以AB为边长在第一象限内作等边三角形△ABP，运动过程中，点P到原点的最大距离是多少？
题型 11 四边形中的线段最值问题
47．（2021·重庆·字水中学校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上任意一点，连接
AD，以点D为旋转中心，将线段DA顺时针旋转90°，点A的对应点是点E，连接AE，取AE的中点F，连
接DF．
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（1）如图1，若∠CAD=30°，DF=6，求线段CD的长．
（2）如图1，连接CF，求证：AC+CD=√2CF；
（3）如图2，若AC=6，BC＝8，点D在线段BC上运动，点G在线段DE上运动，连接AG，取线段AG的
中点P，连接BP、BF、PF，当线段PB最大时，直接写出△BPF的面积．
48．（2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作
DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．
(1)求证：△DEP∽△CEB；
BE 3 EF
(2)如图1，若 = ，求 的值；
BC 4 DF
(3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为DP、DE上的动点，若CP=5，请直接写出GF+GQ的最
小值．
题型 12 探究四边形中线段存在的数量关系
49．（2023·青海西宁·统考中考真题）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质
解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D
落在点D'处，M D'与BC交于点N．
【猜想】】MN=CN
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【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠∴∠CMD=
∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC（矩形的对边平行）
∴∠CMD= （ ）∴ = （等量代换）
∴MN=CN（ ）
【应用】
如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线M D'上，点A落在点A'处，点B落在点B'处，
折痕为ME．
（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；
（2）若CD=2，MD=4，求EC的长．
50．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，
点O又是正方形A B C D O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A B C D O绕点
1 1 1 1 1 1 1 1
1
O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 .想一想，这是为什么？（此问题不
4
需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点
PA
P落在线段OC上， =k（k为常数）．
PC
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N.
①填空：k=______；
②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可
过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说
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明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．
51．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为
点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．
(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=___________°；
(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．
52．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]
如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接
PD、PB．
①求证：PD=PB；
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变
化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，
并说明理由．
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题型 13 探究四边形中线段存在的位置关系
53．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如
图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形
A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．
(1)【观察发现】A'D与B'E的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接B'C，判断∠DEC与∠B'CE是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长DC交A'B'于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG，请写出B'C、
EG、DG之间的数量关系，并说明理由．
54．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，
D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接
DG，交PC于点H．
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(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
CH
(4)求 的最大值．
CE
55．（2022·山东东营·统考中考真题）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出
发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.
(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是____________，位置
关系是____________；
(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明理由；
(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边
形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
56．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重
合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
AD AG
(1)如图1，当 ＝ ＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
AB AE
AD AG
(2)如图2，当 ＝ ＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
AB AE
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，
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若AB＝√5，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
57．（2021·山东烟台·统考中考真题）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，
点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．
【观察猜想】
（1）线段DE与AM之间的数量关系是____________，位置关系是___________；
【探究证明】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，
线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
题型 14 探究四边形与反比例函数综合运用
8
58．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y= (x>0)的
x
图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称
点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
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1 k
59．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，一次函数y= x+1的图象与反比例函数y= (x>0)的图象
2 x
交于点A(a,3)，与y轴交于点B．
(1)求a，k的值；
(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求
出所有符合条件的点P坐标．
60．（2023·江苏泰州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，
m m−a
B(m−a，0)(a>m>0)的位置和函数y = (x>0)、y = (x<0)的图像如图所示．以AB为边在x
1 x 2 x
轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y 的图像相交于点E，CD边与函数y 、y 的图像分别相交于点G、
1 1 2
H，一次函数y 的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
3
(1)m=2，a=4，求函数y 的表达式及△PGH的面积；
3
(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y 的图像上？并说明理由．
2
61．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C
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k
两点的坐标分别为(4,0)，(4,m)，直线CD：y=ax+b(a≠0)与反比例函数y= (k≠0)的图象交于C，
x
P(−8,−2)两点．
(1)求该反比例函数的解析式及m的值；
(2)判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
m
62．（2021·四川雅安·统考中考真题）已知反比例函数y= 的图象经过点A(2,3)．
x
（1）求该反比例函数的表达式；
m
（2）如图，在反比例函数y= 的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG
x
交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D
三点共线；
②若AC=2OA，求证：∠AOD=2∠DOH．
63．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数
k
y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E，且点D为AB的中点．
x
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(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
k
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之
x
间的部分时（点M可与点D,E重合），直接写出m的取值范围．
题型 15 探究四边形与二次函数综合运用
64．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图（1），二次函数y=ax2−5x+c的图像与x轴交于A(−4,0)，
B(b,0)两点，与y轴交于点C(0,−4)．
(1)求二次函数的解析式和b的值．
1
(2)在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点M，使S = S ？若存在，请求出点M的坐标；若
△BOM 3 △ABC
不存在，请说明理由．
(3)如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E'是圆在x轴上方圆弧上
的动点（点E'不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点
A A'
E'，线段AE的对应线段为A'E'，连接E'C，A' A，A' A的延长线交直线E'C于点N，求 的值．
CN
65．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点
C，点B的坐标为(1,0)，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交
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抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P
的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
66．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、
D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、
Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
67．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度
的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点
C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
68．（2020·山东聊城·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，
与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和
线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角
形与△DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
题型 16 探究四边形与三角形综合运用
69．（2023·江苏镇江·统考中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：
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（1）取AB，AC的中点D，E，在边BC上作MN=DE；
（2）连接EM，分别过点D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足为G，H；
（3）将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋
转180°至四边形AEST的位置；
（4）延长PQ，ST交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q，A，T在一条直线上；
②四边形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四边形FPGS与△ABC的面积相等．
【任务1】请你对结论①进行证明．
【任务2】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，P，Q分别是AB，CD的中点，连接PQ．求证：
1
PQ= (AD+BC)．
2
4
【任务3】如图3，有一张四边形纸ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB= ，小
5
丽分别取AB，CD的中点P，Q，在边BC上作MN=PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形
ABCD分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．
70．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几
何问题：
如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．
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求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从
而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．
①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．
②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．
71．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接
CE交AB于点C，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．
（1）如图1，求证：CE=BH；
（2）如图2，若AE=AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（
ΔAEG除外），使写出的每个三角形都与ΔAEG全等，
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题型 17 探究四边形与圆综合运用
72．（2023·广东·统考中考真题）综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'，连接
AA'交BD于点E，连接CA'．
(1)求证：AA'⊥CA'；
(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'=√3CA'；
②如图3，⊙O与CA'相切，AD=1，求⊙O的面积．
73．（2023·上海·统考中考真题）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F为边
OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．
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(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
(2)如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求边OB的长；
OG
(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求 的值．
OD
74．（2021·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=12，
BC=14，AD=9，线段BC上的点P从点B运动到点C，∠ADP的角平分线DQ交以DP为直径的圆M于
点Q，连接PQ．
(1)当点P不与点B重合时，求证：PQ平分∠BPD；
(2)当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，请直接写出此时BP的长度；
(3)动点P从点B出发，运动到点C停止，求点Q所经过的路程．
75．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，
FH交于点E，已知CF=CH．
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(1)线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
KH AK
(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证： = ．
CH AC
CP
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求 的值．
PF
76．（2020·陕西·统考中考真题）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作
DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 ．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是A´B上一点，且P´B=2P´A，连接AP，BP．∠APB的平分线
交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且
CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，
PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆
内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m
时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．
77．（2020·江苏连云港·中考真题）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作
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EF//BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE=2，PF=6，△AEP的面积为S ，△CFP的面积为S ，
1 2
则S +S =________；
1 2
（2）如图2，点P为 ▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形
AEPH的面积为S ，四边形PFCG的面积为S （其中S >S ），求△PBD的面积（用含S 、S 的代数式表
1 2 2 1 1 2
示）；
（3）如图3，点P为 ▱ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作EF//AD，HG//AB，与各边分别相
交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S ，四边形PGCF的面积为S （其中S >S ），求
1 2 2 1
△PBD的面积（用含S 、S 的代数式表示）；
1 2
（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、
PC、B´C围成的封闭图形的面积为S ，PA、PD、A´D围成的封闭图形的面积为S ，△PBD的面积为S ，
1 2 3
△PAC的面积为S ．根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S 、S 、S 、S 的等式（写出一种情况即
4 1 2 3 4
可）．
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