文档内容
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模块二 图形与几何的基础
第 05 讲 四边形的证明与计算
（思维导图+2考点+16种题型）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 四边形的计算问题
►题型01 与多边形有关的角度计算
►题型02 利用平行四边形的性质求解
►题型03 利用矩形的性质求解
►题型04 利用菱形的性质求解
►题型05 利用正方形的性质求解
►题型06 与特殊的平行四边形有关的折叠问题
►题型07 构建中位线求解
►题型08 与特殊平行四边形有关的规律探究问题
►题型09 利用分类讨论思想解决特殊平行四边形计算问题
考点二 四边形的证明问题
►题型01 利用平行四边形的性质与判定求解
►题型02 与三角形中位线有关的证明
►题型03 利用矩形的性质与判定求解
►题型04 利用菱形的性质与判定求解
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►题型05 利用正方形的性质与判定求解
►题型06 与特殊平行四边形有关的多结论问题
►题型07 特殊平行四边形与函数综合
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
四边形作为中考数学的重要知识点，其证明与计算题目在历年考试中占据显著地位。
四边形相关题目在中考数学中占比相对稳定，通常在15%至25%之间。题型多样，包括选择
题、填空题、证明题和综合解答题。其中，选择题和填空题主要考查基础知识和基本技
能，而证明题和综合解答题则注重考查学生的逻辑推理能力和综合运用知识的能力。
【命题预测】
1. 重点考查特殊四边形的性质和判定：矩形、菱形、正方形的性质和判定一直是中考的热
点，选择题和填空题中常出现利用这些性质求角度、长度的问题。
2. 综合题的比重增加：近年来，中考数学越来越注重考查学生的综合能力，四边形相关的
综合题在考试中的比重逐渐增加。这些题目往往涉及多个知识点的综合运用，如三角形全
等、解直角三角形、二次函数等。
3. 实际应用与创新能力：中考数学命题趋势逐渐向实际应用和创新能力倾斜，四边形问题
可能结合实际情境，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，同时也会涉及一些新概
四边形的证
念题型，考查学生的创新思维和应变能力。
明与计算
【备考建议】
1. 扎实基础：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法是备考的基
础，要通过大量练习加深理解和记忆。
2. 注重图形变换：理解并掌握平移、旋转、翻折等图形变换在四边形问题中的应用，提高
解题的灵活性。
3. 强化综合训练：多做四边形与其他知识点相结合的综合题，提高综合运用数学知识解决
问题的能力。
4. 培养创新思维：注重培养创新思维和应变能力，学会从不同角度分析问题，提高解决实
际问题的能力。
通过对中考数学四边形证明与计算考情的分析，可以看出，掌握基础知识、注重图形
变换、强化综合训练、培养创新思维是备考的关键。希望广大考生能够有针对性地进行复
习，取得优异成绩。
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02知识导图·思维引航
三个角是直角的四边形
矩形
一组邻边相等
一个角是直角
或：对角线相等 或：对角线互相垂直
1)两组对边分别平行
2)两组对边分别相等
一个角是直角+一组邻边相等
四边形 3)一组对边平行且相等 平行四边形 正方形
4)两组对角分别相等
5)对角线互相平分
对角线互相垂直 对角线相等
或：一组邻边相等 或：一个角是直角
四条边都相等的四边形 菱形
两腰相等 等腰梯形
梯形
一个角是直角
直角梯形
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 四边形的计算问题
►题型01 与多边形有关的角度计算
1．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若
∠EFG=20°，则∠ABI= ．
2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为
半径作B´D，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
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3．（2024·四川德阳·中考真题）已知，正六边形ABCDEF的面积为6√3，则正六边形的边长为（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．4
4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是
．
►题型02 利用平行四边形的性质求解
5．（2024·海南·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别
1
以点M、N为圆心，大于 MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若
2
∠BCE=∠DCE，DE=4，则四边形BCDE的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点A(−7,0)，B(x,10)，C(−17,y)，在平行四边形ABCO
k
中，它的对角线OB与反比例函数y= (k≠0)的图象相交于点D，且OD:OB=1:4，则k= ．
x
7．（2024·浙江·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2,BD=2√3．过点A作
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AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变
的是（ ）
A．x+ y B．x−y C．xy D．x2+ y2
8．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P为边AB上的
动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接
PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q．
(1)若点P与点B重合，则线段MN的长度为______．
(2)随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理
由．
►题型03 利用矩形的性质求解
9．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长
DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为 ．
10．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，点M是AB边的中点，点
N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值
为（ ）
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A．15 B．5+5√5 C．10+5√2 D．18
11．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿
BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为 ．
►题型04 利用菱形的性质求解
12．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，
以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为
（ ）
π √3 √3 π 1
A． − B．π− C． − D．无法确定
2 4 4 2 4
13．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，
E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为 ．
14．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对
角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连
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接CE并延长交AB于点G．
(1)证明：△BEF∽△BCO；(2)证明：△BEG≌△AEG．
15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=2，E是BC边上一个动点，
连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N．连接EN,CN．
(1)求证：EN=CN；
(2)求2EN+BN的最小值．
►题型05 利用正方形的性质求解
16．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的
边长为√5，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 ．
17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．
E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF．若△≝¿与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长
是（ ）
A．2√2 B．2+√2 C．4−2√2 D．√2
18．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴
上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），下列结论正确的是（ ）
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m
A．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D． =1
n
19．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，
它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形
ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S ，正方形MNPQ的面积为S ．若BE=kAE(k>1)，
1 2
S
则用含k的式子表示 1 的值是 ．
S
2
20．（2024·天津·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3√2，对角线AC,BD相交于点O，点E在CA
的延长线上，OE=5，连接DE．
（1）线段AE的长为 ；
（2）若F为DE的中点，则线段AF的长为 ．
21．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，
连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF=α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
45°−α 90°−α 45°+α α
A． B． C． D．
2 2 2 2
►题型06 与特殊的平行四边形有关的折叠问题
22．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，
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使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
23．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB,BC上，沿垂直于EF
的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B'，C'处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF=α，则∠C'NM= （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD,AD上，点D落在正方形所在平面
内的点D'处，然后还原．若点D'在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，AE=4，EB=8，MN与GH
的交点为P，则PH的长为 ．
24．（2024·贵州贵阳·一模）综合与实践
(1)【操作发现】如图①，将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，
折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF的度数为 ；
(2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿EF折叠，点C的对应点恰好落在折痕
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AE上的点N处，若AB=3，求线段DF的长；
(3)【迁移应用】如图③，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折
叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，
AB=3，AD=5，请求出线段BE的长．
►题型07 构建中位线求解
25．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为
AD中点，连接BE．若BE=BC，CD=2，则BD= ．
26．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC=4，BD=6，
则AD+BC的最小值是 ．
27．（2025·上海闵行·一模）如图，点D、E分别是线段BC和AC的中点，AD、BE交于点O，且
AD⊥BE，BC=22，AC=16，那么OD长是 ．
►题型08 与特殊平行四边形有关的规律探究问题
28．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形OA A B中，OA=3，A A =2，连接OA ，以OA 为边，
1 1 1 1
2
作矩形OA A B 使A A = OA ，连接OA 交A B于点C；以OA 为边，作矩形OA A B ，使
1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 2 3 2
2 2
A A = OA ，连接OA 交A B 于点C ；以OA 为边，作矩形OA A B ，使A A = OA ，连接
2 3 3 2 3 2 1 1 3 3 4 3 3 4 3 3
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OA 交A B 于点C ；…按照这个规律进行下去，则ΔC C A 的面积为 ．
4 3 2 2 2019 2020 2022
29．（2020·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE=DA，连接EB，点F
1
是CD的中点，连接EF ，BF ，得到ΔEF B；点F 是CF 的中点，连接EF ，BF ，得到ΔEF B；
1 1 1 2 1 2 2 2
点F 是CF 的中点，连接EF ，BF ，得到ΔEF B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的
3 2 3 3 3
面积等于2，则ΔEF B的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
n
30．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为
(3,0)，△OAB是等边三角形，点B坐标是(1,0)，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方
向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A ，A 的坐
1 1
标是(2,0)；第二次滚动后，A 的对应点记为A ，A 的坐标是(2,0)；第三次滚动后，A 的对应点记为A ，
1 2 2 2 3
( √3 1)
A 的坐标是 3− , ；如此下去，……，则A 的坐标是 ．
3 2 2 2024
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31．（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以
CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）
A．（2√2）5 B．（2√2）6 C．（√2）5 D．（√2）6
►题型09 利用分类讨论思想解决特殊平行四边形计算问题
32．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边
的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP=3，连接CP，则PC+PE的值为 ．
33．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，
AB=2，A(1,0)，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB C D ，则点C 的坐标
1 1 1 1
是 ．
四边形 边 角 对角线 对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形
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矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称
图形
菱形 对边平行且四条边 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且 轴对称图形、中心对称
都相等 每一条对角线平分一组对角 图形
正方形 对边平行且四条边 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且 轴对称图形、中心对称
都相等 每一条对角线平分一组对角 图形
1．（2025·陕西西安·一模）如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点
E 处，折痕为GH．若点E恰好是BC的中点，则线段CH的长为（ ）
9 3
A． B．√3 C．3 D．
4 2
1
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC= ，BC=2，
2
AD=1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 ．
3．（2025·河北秦皇岛·一模）小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具
成为图1所示形状，并测得∠B=60°，接着活动学具成为图2形状所示，并测得∠ABC=90°，若图2中
对角线BD=10√2cm，则图1中对角线BD的长为（ ）
A．10cm B．10√2cm C．10√3cm D．10√6cm
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4．（2025·广东揭阳·一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为AB和BC的中点，CE=5，
15
DF= ，AB=4√2，则BC的长为（ ）
2
A．√33 B．√34 C．√35 D．√37
5．（2025·上海徐汇·模拟预测）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则
tan∠CAB=（ ）
√3 1 1
A． B．√3 C． D．
2 2 3
k
6．（2025·广西·模拟预测）如图，反比例函数y= (x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC
x
在x轴上，若点B(−1,3)，S =3，则实数k的值为（ ）
▱ABCO
A．−3 B．−6 C．−7 D．−8
7．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=12，点E在BC上，CE=4，若P、
Q分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则AP+QE的最小值
．
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8．（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点O与坐标原点重合，点
k k
A、C分别在反比例函数y= 1 (k ≠0)与y= 2 (k ≠0)的图象上，则k +k 的值为 ．
x 1 x 2 1 2
9．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，O为菱形ABCD的对称中心，
过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F,M为CD上的一点，连接OM．若CM+CF=5，则四边形
OEDM的面积为 ．
10．（2025·陕西西安·二模）如图，直线l与正五边形ABCDE的边CD，AB分别相交于点M、N，则
∠1+∠2的度数为 ．
11．（2025·江西·模拟预测）如图，正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段
AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠AEF的度数为 ．
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12．（2025·陕西西安·一模）（1）如图1，四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直，其中对角线BD长
为20cm，AC长为15cm，垂足为E．则四边形ABCD的面积为_________cm2．
（2）如图2，矩形ABCD中AD=6cm,AB=4cm，EF∥AD，点G，H分别是BC,AD上任一点，求四
边形EGFH的面积．
（3）如图3，四边形ABCD放在了一组平行线中，已知BD=6cm，四边形ABCD的面积为24cm2，则相
邻两条平行线间的距离为多少厘米．
13．（2025·陕西西安·一模）综合与探究：
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F．
（1）若∠B=30°，AB=2cm，则四边形AECF的面积为 cm2；
深入探究：
（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H．
①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD
的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点
Q，若AB=5，BE=4，求四边形AMNQ的面积．
14．（2025·广东深圳·三模）【问题提出】
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（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若
CE AB
∠FOC=90°，求证： = ；
DF AD
【迁移应用】
（2）如图2，在 ▱ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于
CE
点O，且∠COD+∠BAD=180°，求 的值；
DF
【拓展提高】
（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，
AB 1 BC 4 CE
∠BOC=∠BAD=∠BCD=120°， = ， = ，请直接写出 的值．
AD 3 CD 3 BD
考点二 四边形的证明问题
►题型01 利用平行四边形的性质与判定求解
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分
线，且E、F分别在边BC，AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
2．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直
径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交A´D于点F．
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OE
(1)求 的值；
AE
(2)求证：△AEB∽△BEC；
(3)求证：AD与EF互相平分．
3．（2024·安徽·中考真题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC
上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
AC
（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求 的值．
BD
►题型02 与三角形中位线有关的证明
4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE，
且S =S ．
△ABE △DCE
(1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H．
①求证：H是AC的中点；
②求AG:GH:HC；
(2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM,CE的延长线与AM相交于点N．试探究线
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段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
5．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，重足为点E，过点E
1
作EF∥BC、交AC于点F，G为BC的中点，连接FG．求证：FG= AB．
2
6．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接
E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
EFGH
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦
里尼翁(Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系
密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
1
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG= AC．（依据1）
2
DN DG 1
= DG=GC DN=NM= DM
NM GC 2
∴ ．∵ ，∴ ．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
1
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S =HG⋅MN= HG⋅DM．
▱HPQG 2
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1 1
∵S = AC⋅DM=HG⋅DM，∴S = S ．同理，…
△ADC 2 ▱HPQG 2 △ADC
任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形
EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长
度的关系，并证明你的结论．
►题型03 利用矩形的性质与判定求解
7．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
BC
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时 的值．
AB
8．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连接PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延
长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．
【变式求异】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点
P在边AB的延长线上，连接PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC=8，AC=10，
PQ
AD=2DB，求 的值．
QM
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【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C
重合），连接PQ，以Q为顶点作∠PQM=∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC=mAB，
PQ
CQ=nAC（m，n是常数），求 的值（用含m，n的代数式表示）．
QM
9．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，点D 是BC
上的一个点，沿AD 折叠后，点C 恰好落在AB 上的点C'处，求四边形ACDC'的面积．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD=20，AB=22，点E 为边AD上一动点，作EF⊥BC于点F，连接
EB、EC，分别作点F关于BE、EC的对称点G 、H，连接BG、CH、GH， 当四边形BGHC的面
积最小时，求BF的长．
►题型04 利用菱形的性质与判定求解
10．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边
BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．
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(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，
请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
11．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O
于点C，连接BC，∠ABC=120°，D为⊙O上一点且D´B的中点为M，连接AD，CD．
(1)求∠ACB的度数；
(2)四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若AC=6，求C´D的长．
12．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重
合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依
据是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB0)上第一象限内的两个动点(OD>OB)，以线段
k
BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y= 的图象经过点A．
x
【构建联系】
k
（1）求证：函数y= 的图象必经过点C．
x
（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1,2)时，
求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．
以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=3√2，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．
24．（2024·重庆·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为9的菱形，∠A=60°，动点P、Q分别以每秒
3个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C方向运动，点Q沿折线A→B→C方向运动，
当两点相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点P、Q两点间的距离为y．
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(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出点P、Q相距4个单位长度时t的值．（结果保留一位小数）
四边形 边 角 对角线
平行四 1）两组对边分别平行 两组对角分别相等 两组对角线互相平分
边形
2) 两组对边分别相等
3) 一组对边平行且相等
矩形 1）平行四边形+一直角 平行四边形+两条对角线相等
2）四边形+三直角
菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 平行四边形+两条对角线互相垂直
2）四边形+四条边都相等
正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直
矩形+对角线相等
平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角
1．（2025·湖南娄底·一模）如图，点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点．①图中有三个平行
四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形ADEF的周长=AB+AC；④
AD⋅AC=AF⋅AB．下列选项中，正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
1
2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，分别以点A,C为圆心，大于 AC的长为半径画
2
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弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN，分别交AD,BC于点E,F，连接AF和CE．已知
DE=3,AB=4，则以下四个结论中正确的是（ ）
1
①S = AC⋅EF；②AE=5；③∠FAC=∠ACF=30°；④EF=2√5．
四边形AFCE 2
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②
3．（2025·广东佛山·一模）如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点E，
F分别是矩形ABCD的边CD，AB的中点，两条平行线AK，CL分别经过菱形EGFH的顶点H，G和边
FG，EH的中点M，N．已知菱形EGFH的面积为6，则阴影部分的面积之和为 ．
4．（2025·上海崇明·一模）如图，长方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、
AC上．已知△ABC的边BC长120cm，高AH为40cm，且长方形DEFG的长DG是宽DE的2倍，那么
DE的长度是 cm．
5．（2025·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，四边形ABDE是
平行四边形，连接CE，DE，DE交AC于点F．
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(1)判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
(2)判断DF与AB的数量关系和位置关系，并说明理由．
6．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的
中点，连接EF，FG，GH，HE．
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若EF=4，∠FGC=30°，求菱形ABCD的面积．
7．（2025·上海嘉定·一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB的中点，连接CE，
作AF⊥CE，垂足为点F，连接BF．
(1)求证：△EFB∽△EBC；
DF
(2)取BC边的中点D，连接DF，求证： =√2．
EF
8．（2025·安徽·模拟预测）如图①，在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB，E为BC上一点，且
DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF=BF．
(1)求证：△ADE≌△FCD；
(2)如图②，连接DB交AE于点G．
①若AG=DC，求证：BC平分∠DBF；
CF
②若DB∥CF，求 的值．
BD
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