文档内容
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专题 13 特殊平行四边形
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）
知识模块一：矩形的性质与判定
知识模块二：菱形的性质与判定
知识模块三：正方形的性质与判定
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（12大基础考点）
考点一：根据特殊四边形的性质求角度
考点二：根据特殊四边形的性质求线段长
考点三：根据特殊四边形的性质求周长
考点四：根据特殊四边形的性质求面积
考点五：根据特殊四边形的性质求点的坐标
考点六：利用特殊四边形的性质证明
考点七：特殊四边形的折叠问题
考点八：证明四边形是特殊四边形
考点九：根据特殊四边形的性质与判定求角度
考点十：根据特殊四边形的性质与判定求线段长
考点十一：根据特殊四边形的性质与判定求周长
考点十二： 根据特殊四边形的性质与判定求面积
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（6大重难点）
重难点一： 与特殊平行四边形有关的最值问题
重难点二： 中点模型
重难点三： 十字架模型
重难点四： 半角模型
重难点五： 一线三垂直模型
重难点六： 对角互补模型
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）
易错点1： 未掌握矩形，菱形，正方形的判定定理
易错点2： 求菱形面积时出错
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知识模块一：矩形
知识点一：矩形的性质
性质 符号语言 图示
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边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC A D
角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°
O
对角线 两条对角线互相平分 ∵四边形ABCD是矩形
且相等 B C
∴AO=CO=BO=DO
【补充】
1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；
2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.
3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
知识点二：矩形的判定
判定定理 符号语言 图示
一个角是直角的平行四 在平行四边形ABCD中， A D
边形是矩形
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩
形
角
B C
三个角是直角的四边形 在四边形ABCD中， A D
是矩形
∵∠B=∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形
B C
对角线 对角线相等的平行四边 在平行四边形ABCD中， A D
形是矩形
∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形
O
B C
知识模块二：菱形
知识点一：菱形的性质
性质定理 符号语言 图示
边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=AD=BC A
对角 对角线互相垂直，且每一 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，
线 条对角线平分一组对角 B O D
AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，
AC平分∠BAD，AC平分∠BAD C
【补充】
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1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；
2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
4）菱形的面积公式：
A A
n
h
B D B m O D
a
C C
①菱形的面积=底×高，即
②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即 .
知识点二：菱形的判定
判定定理 符号语言 图示
四条边相等的四边形是 在四边形ABCD中，
边 菱形. ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是 A
菱形
B D
一组邻边相等的平行四 在平行四边形ABCD中，
边形是菱形. ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 C
对角线 对角线互相垂直的平行 在平行四边形ABCD中， A
四边形是菱形. ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形
B D
O
C
知识模块三：正方形
知识点一：正方形的性质
1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.
2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
【补充】
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.
3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半.
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知识点二：正方形的判定
定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边
形是正方形
判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形
矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形
菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形
菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形
考点一： 根据特殊四边形的性质求角度
1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，
连接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°，则∠AOF= ．
2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，
则β=（ ）
1 3 1 3
A．45°+ α B．45°+ α C．90°− α D．90°− α
2 2 2 2
3．（2023·山东·中考真题）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°
得到△CBF．若∠ABE=55°，则∠EGC= 度．
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考点二： 根据特殊四边形的性质求线段长
4．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长
DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为 ．
5．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A
顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1−√3 C．0 D．3−2√3
6．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F
EF
是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45°，则 的值为 ．
BC
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考点三： 根据特殊四边形的性质求周长
7．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，
AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=2√3，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．16√3 B．8√3+4 C．4√3+8 D．8√3+8
8．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边中
点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4+2√3 B．6+2√3 C．4+4√3 D．6+4√3
9．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边
长是80cm，则图中阴影图形的周长是（ ）
A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm
考点四： 根据特殊四边形的性质求面积
10．（2022·湖南邵阳·中考真题）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为
cm2．
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11．（2024·广东·中考真题）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若
△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
12．（2023·湖南·中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸
板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部
分的面积为 dm3．
考点五： 根据特殊四边形的性质求点的坐标
13．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−4,0)，点C的坐标为(0,2)．以
OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐
标为（ ）
A．(−4,−2) B．(−4,2) C．(2,4) D．(4,2)
14．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点
3
B在直线y= x上，若点B的横坐标是8，为点C的坐标为（ ）
4
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A．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)
15．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为
(−2，0)，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐
标为 ．
考点六： 利用特殊四边形的性质证明
16．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，
O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（ ）
A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO=FO
C．AE=CF D．EF⊥BD
17．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点
O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO= ．
18．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且
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BG=3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
4 3 5 2
考点七： 特殊四边形的折叠问题
19．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD
上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2 B．√2 C．√3 D．√5
20．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片ABCD中， 点E在边AB上，将纸片沿CE折叠， 点
B落在B'处，CB'⊥AD， 垂足为F 若CF=4cm，FB'=1cm， 则BE= cm
21．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边
AD上（点M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点
E,F，连接BM．
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(1)求证：∠AMB=∠BMP；
(2)若DP=1，求MD的长．
考点八： 证明四边形是特殊四边形
22．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点，
∠AOD=∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
23．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接
BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF
(1)求证：四边形ABEF是菱形：
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°，求AE的长．
24．（2023·湖北十堰·中考真题）如图， ▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，分别以点B,C为圆心，
1 1
AC, BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP,CP．
2 2
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(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
考点九： 根据特殊四边形的性质与判定求角度
25．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，
1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，
两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（ ）
A．64° B．66° C．68° D．70°
26．（2023·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边
AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．
(1)求证：△AEH≌△CGF；
(2)若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．
27．（2023·四川·中考真题）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是A´B上一点，CD⊥OA，
CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为( )
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25π 25π 25π 25π
A． B． C． D．
16 8 6 4
考点十： 根据特殊四边形的性质与判定求线段长
28．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意
一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（ ）
13 60 12 30
A． B． C． D．
2 13 5 13
29．（2024·山东德州·中考真题）如图， ▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
(1)求证： ▱ABCD是菱形；
(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
30．（2020·贵州黔西·中考真题）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中
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点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形EDF，点C恰在E´F上，则图中阴影部分的面积为 ．
考点十一： 根据特殊四边形的性质与判定求周长
31．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AD=12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，
连接OC．若OC=AB，则 ▱ABCD的周长为 ．
32．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，
连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．
(1)求证：△AEM≌△CFM；
(2)若AC⊥EF，AF=3√2，求四边形AECF的周长．
33．（2023·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，两锐角的角
平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF=45°，求△CEF的周长．
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考点十二： 根据特殊四边形的性质与判定求面积
34．（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，
如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，
∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少
时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？
35．（2023·西藏·中考真题）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分
的面积是（ ）
9 9√3
A． B．3√3 C． D．6√3
2 2
36．（2021·广西贵港·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝
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S
2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 △AMD =（ ）
S
△MBN
3 2 1
A． B． C．1 D．
4 3 2
重难点一： 与特殊平行四边形有关的最值问题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分
别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8
2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一
个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
3．（2021·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，
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则DN+MN的最小值为
重难点二： 中点模型
1．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接
E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
EFGH
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦
里尼翁(Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系
密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或
正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
1
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG= AC．（依据1）
2
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DN DG 1
= DG=GC DN=NM= DM
NM GC 2
∴ ．∵ ，∴ ．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
1
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S =HG⋅MN= HG⋅DM．
▱HPQG 2
1 1
∵S = AC⋅DM=HG⋅DM，∴S = S ．同理，…
△ADC 2 ▱HPQG 2 △ADC
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形
EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长
度的关系，并证明你的结论．
2．（2024·青海·中考真题）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学
兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
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如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线，
1 1
∴EF= AC，GH= AC（____ ____）
2 2
①
∴EF=GH．
同理可得：EH=FG．
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据①________
【探究二】
中点四边形形
原四边形对角线关系
状
不相等、不垂直 平行四边形
AC=BD 菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
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（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
中点四边形形状
原四边形对角线关系
________ ________
③ ④
结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．
重难点三： 十字架模型
1．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，
垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使
CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，
求CF的长．
2．（2023·河南·三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
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(1)操作判断
如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交
于点F．
根据以上操作，请直接写出图1中BE与CF的数量关系：______．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE
BE
于点G，与边CD交于点F，请求出 的值，并说明理由；
CF
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做
匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度
的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）
重难点四： 半角模型
1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角
尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两
边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
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【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：
∠CNM=∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．
EF
连接AC交BD于点O，求 的值．
NM
2．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，
CE=4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED'．
由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠CAD'，
∴∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°．
∴∠DAE=∠D' AE．
在△DAE和△D'AE中，
AD=AD'，∠DAE=∠D' AE，AE=AE，
∴___①___．
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∴DE=D'E．
又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°，
∴在Rt△ECD'中，___②___．
∵CD'=BD=3，CE=4，
∴DE=D'E=___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长
的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究
BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
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如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设
AD=x，CE= y，求y与x的函数关系式．
重难点五： 一线三垂直模型
1．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段
AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式
写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE=EF．
用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
2．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(−1,0)，点
D的坐标是(−2,4)，则点C的坐标是 ．
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重难点六： 对角互补模型
1．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，已知四边形的
面积为9，CD=2，则BC长为（ ）
11
A．5 B．4 C． D．3
3
2．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，两个半径长均为√2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，
扇形CFD的圆心C是A´B的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交
于点H，则图中阴影面积等于（ ）
π π
A． −1 B． −2 C．π−1 D．π−2
2 2
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易错点1： 未掌握矩形，菱形，正方形的判定定理
1．（2020·山东威海·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O
为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形
C．若AE=5，则四边形DEBF为菱形
D．若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形
2．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、
△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
易错点2： 求菱形面积时出错
1．（2021·西藏·中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱
形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
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