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2017-2018学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：每小题3分，共45分．在四个选项中只有一项是正确的．
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2 B．a2+a+1=（a+1）2 C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． 霾 B． 大雪 C． 拂尘 D． 大雨
3．一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使
得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
5．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．±1 C．1D．﹣1
6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值
为（ ）
A．1B．2C．3D．4
第1页（共23页）7．关于x的分式方程 的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
8．平行四边形的一边长为10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．20cm和30cm D．8cm和12cm
9．方程 ﹣ =0解是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
10．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
11．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．
若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列
方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（ ）
A．1B．1.5 C．2D．3
13．若方程组 的解为x，y，且x+y＞0，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4B．k＞﹣4 C．k＜4 D．k＜﹣4
14．如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形
三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（ ）
第2页（共23页）A． B． C． D．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD
的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
二、填空题：每题4分，共24分．
16．已知 ，则 = ．
17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 ．
18．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ．
19．分解因式：（m+n）2﹣n2= ．
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若
AC+BD=24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF= 厘米．
21．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的
中点，则四边形EFGH的周长是 ．
第3页（共23页）三、解答题：共7小题，满分51分．解答应写出文字说明过程或演算步骤．
22．解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来．
23．解方程： ．
24．先化简，再求值．
（1）（1+ ）÷ ，其中x=﹣5．
（2） ÷（m+2﹣ ），其中m2+3m+1=0．
25．端午节期间，滕州市某敬老院分别用300元，400元为老人们购买了他们最爱吃的甲、乙两种粽子
共260个，已知甲种粽子的单价比乙种粽子的单价高20%，求乙种粽子的单价是多少元？
26．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于
F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
第4页（共23页）28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，
到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间
为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP= ；DP= ；BQ= ；CQ= ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
第5页（共23页）2017-2018 学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共45分．在四个选项中只有一项是正确的．
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2 B．a2+a+1=（a+1）2 C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）
【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
C、xy﹣x=x（y﹣1），正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． 霾
B． 大雪
C． 拂尘
D． 大雨
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
第6页（共23页）【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全
重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与
自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣0.5，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为﹣0.5＜x≤5，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，
故选C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式
的解集求出不等式组的解集．
4．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使
得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
第7页（共23页）A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】旋转的性质．
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角
∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根
据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB=75°，
∴∠C′CA=∠CAB=75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=30°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹
角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
5．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．±1 C．1D．﹣1
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为零：分子等于零但分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x2﹣1=0且x﹣1≠0，
解得 x=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）
分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值
为（ ）
第8页（共23页）A．1B．2C．3D．4
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知
PA=PQ，可求得PQ=2．
【解答】解：
∵垂线段最短，
∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ=PA=2，
故选B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
7．关于x的分式方程 的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
【考点】分式方程的解．
【分析】由题意分式方程 的解为负数，解方程求出方程的解x，然后令其小于0，解出m的范
围．注意最简公分母不为0．
【解答】解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
∵x＜0，
∴﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
∴﹣1﹣m+1≠0，
第9页（共23页）∴m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故选：B．
【点评】此题主要考查分式的解，关键是会解出方程的解，此题难度中等，容易漏掉隐含条件最简公分
母不为0．
8．平行四边形的一边长为10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．20cm和30cm D．8cm和12cm
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两
边之和才能构成三角形．
【解答】解：A、∵2+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
B、4+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
C、10+10＞15，能构成三角形，故此选项正确；
D、4+6=10，不能够成三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，关键是掌握三角形第三边大于两边之差小
于两边之和．平行四边形的对角线互相平分．
9．方程 ﹣ =0解是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解．
【解答】解：去分母得：3x+3﹣7x=0，
解得：x= ，
第10页（共23页）经检验x= 是分式方程的解．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】多边形内角与外角．
【专题】常规题型．
【分析】由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则
可求得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理
是关键．
11．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．
若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列
方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】行程问题．
【分析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，根据用相同的时间甲走40
千米，乙走50千米，列出方程．
【解答】解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，
第11页（共23页）由题意得， = ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适
的等量关系，列出方程．
12．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（ ）
A．1B．1.5 C．2D．3
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC=AD=DE=3，又有CD=AB=5，可求EC的
长．
【解答】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=5，AD=BC=3．
根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
又∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED．
∴ED=AD=3，
∴EC=CD﹣ED=5﹣3=2．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三
角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
13．若方程组 的解为x，y，且x+y＞0，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4B．k＞﹣4 C．k＜4 D．k＜﹣4
【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式．
【分析】本题可将两式相加，得到4x+4y=k+4，根据x+y的取值，可得出k的值．
第12页（共23页）【解答】解：两式相加得：4x+4y=k+4
∵x+y＞0
∴4x+4y=4（x+y）＞0
即k+4＞0
k＞﹣4
故选B．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解的性质，通过化简得到x+y的形式，再根据x+y＞0求得k的
取值．
14．如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形
三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】规律型．
【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的 ，所以新三
角形周长是前一个三角形的 ．
【解答】解：△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的 ，所以：
第2个三角形对应周长为 ；
第13页（共23页）第3个三角形对应的周长为 × =（ ）2；
第4个三角形对应的周长为 × × =（ ）3；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为（ ）n﹣1；
所以第2015个三角形对应的周长为（ ）2014．
故选：D．
【点评】此题考查中位线定理，解决此题关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的
的规律，进行分析解决题目．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD
的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【考点】平行四边形的性质．
【分析】已知平行四边形的高AE、AF，设BC=xcm，则CD=（20﹣x）cm，根据“等面积法”列方程，求
BC，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：设BC=xcm，则CD=（20﹣x）cm，根据“等面积法”得
4x=6（20﹣x），解得x=12，
∴平行四边形ABCD的面积=4x=4×12=48．故选D．
【点评】本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边形的面
积=底×高，可用两种方法表示．
第14页（共23页）二、填空题：每题4分，共24分．
16．已知 ，则 = ．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，设x=3k，y=5k，代入即可求得 的值．
【解答】解：由题意，设x=3k，y=5k，
∴ = = ．
故答案为：
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示
出来，实现消元．
17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 7 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求
解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
解得n=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ± ．
【考点】分式方程的增根．
第15页（共23页）【专题】计算题．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣
3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，得
x﹣2（x﹣3）=m2，
∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得m=± ．
【点评】解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
19．分解因式：（m+n）2﹣n2= m （ m+2 n ） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【专题】计算题．
【分析】根据平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）分解即可．
【解答】解：原式=（m+n+n）（m+n﹣n）
=m（m+2n）．
故答案为m（m+2n）．
【点评】本题考查了运用公式法分解因式：平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若
AC+BD=24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF= 4 厘米．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
第16页（共23页）【分析】根据平行四边形的性质可知OA= AC，OB= BD，结合AC+BD=24厘米，△OAB的周长是20
厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC、BD的中点，
∵AC+BD=24厘米，
∴OB+0A= （AC+BD）=12厘米，
∵△OAB的周长是20厘米，
∴AB=20﹣12=8厘米，
∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF= AB=4厘米，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出
AB的长，此题难度不大．
21．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的
中点，则四边形EFGH的周长是 1 1 ．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一
半求出EH=FG= AD，EF=GH= BC，然后代入数据进行计算即可得解．
第17页（共23页）【解答】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC= = =5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG= AD，EF=GH= BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且
等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题：共7小题，满分51分．解答应写出文字说明过程或演算步骤．
22．解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】本题考查不等式组的解法，首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，
比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．
【解答】解：解不等式①，得x≥﹣1．
解不等式②，得x＜2．
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
在数轴上可表示为： ．
【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如
果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
23．解方程： ．
第18页（共23页）【考点】解分式方程．
【分析】首先找出最简公分母，进而去分母求出方程的根即可．
【解答】解：
方程两边同乘以x﹣2得：
1=x﹣1﹣3（x﹣2）
整理得出：
2x=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的根，故此方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确去分母得出是解题关键．
24．先化简，再求值．
（1）（1+ ）÷ ，其中x=﹣5．
（2） ÷（m+2﹣ ），其中m2+3m+1=0．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得
到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式= • = ，
当x=﹣5时，原式= ；
（2）原式= ÷ = • = ，
第19页（共23页）由m2+3m+1=0，得到m2+3m=﹣1，
则原式=﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．端午节期间，滕州市某敬老院分别用300元，400元为老人们购买了他们最爱吃的甲、乙两种粽子
共260个，已知甲种粽子的单价比乙种粽子的单价高20%，求乙种粽子的单价是多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，根据用300元，400元为老人们
购买的甲、乙两种粽子共260个，列方程求解．
【解答】解：设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，
由题意得， + =260，
解得：x=2.5，
经检验，x=2.5是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙种粽子的单价为2.5元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，
列方程求解，注意检验．
26．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于
F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=3，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的
中位线定理即可求解．
【解答】解：在△AGF和△ACF中，
第20页（共23页），
∴△AGF≌△ACF，
∴AG=AC=3，GF=CF，
则BG=AB﹣AG=4﹣3=1．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF= BG= ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．
27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE=CF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【解答】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4，
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
第21页（共23页）∴AE=CF；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共
有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，
到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间
为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP= t ；DP= 12﹣ t ；BQ= 15﹣2 t ；CQ= 2 t ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【考点】平行四边形的判定．
【专题】动点型．
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长
（2）当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题
意的t值即可；
（3）当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题
意的t值即可．
第22页（共23页）【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP=t，CQ=2t，PD=12﹣t，BQ=15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15﹣2t，解得t=5．
∴运动5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP=tcm，CQ=2tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD﹣AP=12﹣t，
如图1当PQ∥CD，且PQ=CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴12﹣t=2t，
解得t=4s，
即当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解
题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
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